椭圆的定义及标准方程wjl.doc

2.1.1 椭圆及其标准方程(1)高考要求：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质；理解椭圆的参数方程一：教学目标：知识与技能目标: 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.情感、态度与价值观目标: 通过引入参量,对椭圆方程的化简，培养学生用对称的美学思维来体现数学的简洁美、对称美；通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度.二：教学重难点重点：椭圆的定义及其标准方程．难点：椭圆标准方程的推导．三：教学过程1. 引入探究：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个什么图形？ 并让计算机再演示一遍，并引导学生观察的同时思考：笔尖（动点）满足什么几何条件？即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）2. 类比圆的定义，探究椭圆的定义圆的定义是什么?圆的标准方程的形式怎样？如何推导圆的标准方程呢？由引入得到一个结论：与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫作椭圆。

此时再引导学生思考：这个作为椭圆的定义，严密吗？如果不严密，该如何修改呢？接着通过动画演示两种特殊的情况，从而完善并得出椭圆的定义深化概念:注：1、平面内.2、若，则点P的轨迹为 椭圆.若，则点P的轨迹为线段.若, 则点P的轨迹不存在.准确理解椭圆的定义.联系生活：情境1.生活中,你见过哪些类似椭圆的图形或物体?情境2.让学生观察倾斜的圆柱形水杯的水面边界线，并从中抽象出数学模型.情境3.联系天体运行的轨道.航天神七渗透数学源于生活,圆锥曲线在生产和技术中有着广泛的应用.定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距3.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴 设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是 （）.则，又设P与距离之和等于 (为常数）由椭圆的定义，椭圆就是集合，，化简，得 ，由定义, 令代入，得 ，两边同除得 此即为椭圆的标准方程（它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中）思考：1)在上图中， 能否找出表示的线段吗？2)有没有其他的建系方法，从而得到椭圆的另一个标准方程。

一般步骤: (1) 建系设点 (2) 写出点的集合 (3) 写出代数方程 (4) 化简方程 (5)证明如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程 （加强理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在与这两个标准方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦点在哪个轴上）4. 阶段性练习1 椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）2.椭圆的焦点坐标是（ ）3.椭圆 的焦距为4, 则 m 的值为 设计这个练习目的是想及时复习椭圆的定义，并为下面的例题做铺垫）5. 例题讲解例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：1) 两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；2) 已知椭圆焦点的坐标分别是(-2,0)(2,0),且经过点, 求它的标准方程解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为　 所以所求椭圆标准方程为 （2）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为　 由椭圆的定义可知：， ，略（2）另解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，则 （着重分析让学生明白题目中所给的两个条件应该如何用，可以为我们求解a和b以及判断椭圆的焦点位置提供怎样的帮助。

例2 已知椭圆经过点和, 求它的标准方程分析：因为不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上，所以设它的标准方程为　 6. 小结本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:1.椭圆的定义中, ；2.用待定系法求解椭圆的标准方程应分三个步骤：即“定”“设”“求” 其中,焦点的位置看,的分母大小来确定； 3.、、的几何意义及关系 7. 作业布置： 课本42页习题2椭圆及其标准方程(2) 知识与技能目标1. 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；2. 使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系3. 使学生掌握转移法（也称代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决教学重点：运用中间变量法求动点的轨迹教学难点：运用中间变量法求动点的轨迹例1 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程．例2 如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程． 解法剖析：设点，则，；代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程．练习：如图，设△的两个顶点，，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程．例3 已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程解：设动点的坐标为，则的坐标为 因为点为椭圆上的点，所以有 ，即所以点的轨迹方程是 练习：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程．解法剖析：①设，；②∵为线段的中点，∴；③点在椭圆上 ∴， 得到点的轨迹方程为；例4 长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M分AB的比为，求点M的轨迹方程解：设动点的坐标为，则的坐标为 的坐标为 因为，所以有 ，即 ，点的轨迹方程是 例5 已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程 分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论： 上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆 解 已知圆可化为：圆心Q(3，0)，，所以P在定圆内 设动圆圆心为，则为半径 又圆M和圆Q内切，所以，即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，，故动圆圆心M的轨迹方程是： 三、课堂练习：1）已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是 （ ）A.2 B.3 C.5 D.7 答案：D2）已知椭圆方程为,那么它的焦距是 （ ）A.6 B.3 C.3 D. 答案：A3）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.（0，+∞） B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1) 答案：D4)已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（），则椭圆标准方程是_____ 答案：5）过点A(-1,-2)且与椭圆共焦点的椭圆标准方程是____6）过P（，-2），Q（-2，1）两点的椭圆标准方程是_____ 四、小结 ：用转移法求轨迹方程的方法 转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点又在有规律的曲线上运动，这种情况下才能应用的，运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系 五、课后作业：1．已知圆＝１，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PP′，求线段PP′的中点M的轨迹.选题意图：训练相关点法求轨迹方程的方法，考查“通过方程，研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想.解：设点M的坐标为，则点P的坐标为.∵P在圆上，∴，即.∴点M的轨迹是一个椭圆2．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.解：设顶点A的坐标为.依题意得 ，∴顶点A的轨迹方程为 .说明：方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为(0，-6）与(0，6)应舍去.3．已知椭圆的焦点是，Ｐ为椭圆上一点，且｜｜是｜｜和｜｜的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠＝120°，求.选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.解：(1)由题设｜｜＋｜｜＝2｜｜＝4∴， 2c=2， ∴ｂ＝∴椭圆的方程为.（２）设∠，则由正弦定理得：由等比定理得：整理得： 故.说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答第1页。