14-2图形旋转变换及常用辅助线.doc

14-2图形旋转变换及其常用辅助线一、回顾：旋转问题的突破口 当旋转角是60°时，作一个图形旋转后的图形的存在等边三角形；当旋转角是90°时，存在等腰直角三角形.反之，如果图形中存在两个等边三角形或等腰直角三角形，可以从图形旋转的角度分析图形关系. 相应的，我们通过添加辅助线能够构造出满足旋转的条件时，则仍然可以用旋转的角度进行复习图形 解决几何压轴题我们常遇到的难题为：找不到那两个三角形全等，若满足旋转的条件，则对于静止的图形我们让其动起来，找到两个全等的三角形例题回顾：【例1】 已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．求证：．补充：(1)求证：CD=CE(2)求证：平分．练习：快速解答下列问题1如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．2(年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，段同侧作两个等边三角形和()，点与点分别是线段和的中点，则是_____________A．钝角三角形 　　B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形3如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．二、 简单的辅助线的添加添加一条辅助线即可以构造相应的旋转对应1如图，是等边内的一点，且，，，问的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由． 2(2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值． 延伸：如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．【例2】 (2004河北)如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且． 求证：．【解析】 证明：因为四边形是正方形，所以，．因为，所以，所以 ，故≌，故． 【补充】如图所示，在四边形中，，，于，若四边形 的面积是16，求的长_____________。

解析】 如图，过点作，延长交于点，容易证得(实际上就是把逆时针旋转，得到正方形)正方形的面积等于四边形面积为，∴．【例3】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：． 【解析】 延长至，使，连结，易证，，．再证，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有．课堂练习如图，正方形的边长为，点段上运动，平分交边于点．求证：．　　　　三、 真题选讲08北京25．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．DCGPABEF图2DABEFCPG图1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出上述比的值（用含的式子表示）．09北京24. 在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.FDCBAEG2G1P1HP22011北京24．(7分)在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．(1)在图1中，证明：CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．BBADADCCEFEGFABCDEGF图1图2图3作业3、（2009年牡丹江）已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（2009东营）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）DFBACE图③FBADCEG图②FBADCEG图① 24. （1）如图1：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=60°时，猜想AB与BD+CD数量关系，请直接写出结果 ； （2）如图2：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=45°时，猜想AB与BD+CD数量关系并证明你的结论；（3）如图3：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=（20°≤≤70°）时，直接写出AB与BD+CD数量关系(用含的式子表示)。