拓扑学第四章紧致性.docx

第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓 扑概念，也是一个最基本的拓扑性质我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在 实分析中，闭区间具有良好的性质）§4-1度量空间（X,d）中紧性（简单复习）定义1设A是（X,d）的一个子集如果A中任一无穷点列有子列收敛于X中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A中每个收敛子列的极限点都属于A，则称A是列紧的；如果（X,d）本身是列紧的，则称为列紧空间注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的•下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出）（1） 有限子集总是列紧的2） 列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）3） 若A是（X,d）的列紧子集，则A是（X,d）的有界闭集4） 在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果（X,d）是列紧空间，则A列紧=A是闭集5） 列紧的度量空间必是可分的•进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的人们找出了 一种非序列亥U画的方式定义2设A是（X,d）的一个子集U是X的一族开集，满足U U二A，则称U为A在XU EU中的开覆盖；若U中只有有限个子集，称U为有限开覆盖；若X本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X为紧致空间（有的书成为紧空间）★理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。

即列紧空间o紧致空间 （这在泛函分析书中都有介绍）§4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间［a,b］具有某些极好的性质，它对于证明极 大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知所以，最早人们认为［a,b］上这个特性 取决于［a,b］上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念后来研究发现，在拓扑空间 上，序列并不是个好的表达形式因此，列紧性并未触及到问题的本质进一步深入研究，认为用“开集”表达形式更为自然并且从实分析理论中知道“：实数空间 R 的子集为有界闭集O它的每一开覆盖都有有限子覆盖”这种描述的优点：①用有限族去代替无穷族(序列)的研究；②无须度量描述解释：为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛定义3设X为拓扑空间，如果X的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称X为紧致空间★显然，每一紧致空间也都是Lindel6f空间(X的每一开覆盖都有可数子覆盖)，反之不然 定义4设A为拓扑空间X的非空子集，若A作为X的子空间是紧致的，则称A为X的紧致子 集例1实数集R不是紧致空间因为A = {(—n，n)| n w N}为R的开覆盖，但是A中任何有限子集族{(-n ,n ),(-n ,n ),L ,(-n ,n )}1 1 2 2 k k的并集为(-max{n ,n ,L ,n },max{n ,n ,L ,n })，它不能覆盖R，即A没有有限子覆盖(解释:1 2 k 1 2 k要覆盖R只有n *。

但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到)例 2 R 的开区间 (0,1) 不是紧致的因为开区间族A:(2'叫,1),L ,(-,1)n是(0,1)的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖(0,1)例3 R的子空间A = {0}u{-In e N} ( N为正整数集)是紧致的n因为，任给A的一个开覆盖A ， A中有一个成员包含0,记这个成员为U (开区间)于是， 开区间U除了有限个“-”外，它要包含A的所有其余的点，因此，对于A中的每一个U未包含 n的点，从A中选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的例4 任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的• 重新看一下定义4:说A为拓扑空间X的紧致子集，是指A中的开集构成的A的覆盖都有有限子覆盖，并没有明 显说明：每一X的开集构成的A的覆盖都有有限子覆盖因此，下面的定理是必要的定理1拓扑空间X的子集A是X的紧致子集O每一由X的开集构成的A的覆盖都有有限 子覆盖证明：(=)假设A是紧致的令A二{B } 是由X的开集组成的A的一个覆盖，那么，a aeF{B c A a er}就是A中开集所组成的A的一个开覆盖由于A是紧致的，从而有一个有限子族{B c A, B c A,L , B c A}a1 a 2 a可以覆盖A，即它就是A的一个覆盖A的有限族。

u)反之，设A的每一由X的开集构成的覆盖都有有限子覆盖设A = ｛U er｝为A的a由 X 的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为{U ,U ,L ,U } a1 a2 an而 1 2 n(U n A) o (U n A) o L o (U n A)二 A a1 a 2 a n故 A 是 X 的紧致子集 1 2 n定理2设B为拓扑空间X的基，若由B的成员构成的X的每一覆盖(自然是开的)都有有 限子覆盖，则X为紧致空间证明：设A是X的任一开集对于VA e A，则A是开集，故存在B的子族B，使得 UABeBA由A 二 U B令U B (即，覆盖A中所有成员A的B中集族)AAeAU B」(U b) a 二 X_ BeA AeA BeB A AeA即，A是B中成员构成的X的覆盖 _如果A有有限子覆盖，不妨设为｛B , B ,L ,B ｝. VB e A_故存在A e A，使得B e B ,1 2 n i i i Ai 从而B u A于是，A的有限子集族｛A , A ,L , A ｝ 一定是X的子覆盖所以，X为紧致空间i i 1 2 n定理3紧致空间的每一闭子集都是紧致子集证明：设A是紧致空间X的闭子集，于是Ac是X的一个开集。

如果A是X的任一开覆盖，不难看出｛Ac,A ｝构成X的一个开覆盖又因为X是紧致的，故｛Ac,A ｝中存在有限集族｛U ,U ,L ,U , Ac｝是X的有限子覆盖，而1 2 m｛U ,U ,L ,U ｝是A的一个有限子覆盖，即闭集A的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以，A是紧 1 2 m致的•下面的几个定理不加以证明的给出定理 4 每一拓扑空间都是某一紧致空间的子空间定理5若X , X ,L , X均为紧致空间，则积空间X x X xL x X为紧致空间1 2 n 1 2 n定理6设f : X T Y是从拓扑空间X到Y的连续映射,若A是X的紧致子集，则f (A)是Y 的紧致子集上述定理的解释▲定理 4 说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些元素的方法，使其成为紧致空间，N并将这个紧致空间称为原空间的加一点的紧致化实直线的单点紧致化同胚于圆周(补充点N)；R 2的单点紧致化同胚于球面S2同时，从定理4 又可以看出，紧致空间的子空间未必是紧致的 即，紧致性不是可遗传性质▲定理 6 说明：紧致集在连续映射下的象也是紧致集▲从前面的定义知：紧致性是用一族开集的并运算定义的（开覆盖），那么，根据集合论中的摩根定律，“开集的并 运算”与“闭集的交运算”是对偶的。

所以，空间的紧性也可以利用另一种方式来定义尽管这种 定义是较费解的，但是在拓扑学的某些证明中还是有用的）定义5令X为任意非空集合，A是X的任一子集族如果A的每一有限子集族的交集都是 非空的，则称A具有有限交性质定理7拓扑空间X是紧致的 O X的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交关于定理7的注释（不证明）：关于“ X 的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交”的含义是：设｛A ｝ 是X上的一族闭集合，它中的任何有限个集合的交集都是非空的，即是有限交性质a aeT的则应由1 A H0，即，闭集族｛A ｝ 都必含有某个相同元素a a aeTaeT§4-3紧致性与分离公理（Hausdorff空间的紧致子集）本节讨论紧致空间和T公理共同作用下得到的拓扑空间性质2定理8设A是Hausdorff空间X的紧致子集，若x笑A，则x与A有不相交的邻域证明：对于Vy e A，则y丰x由于X是T空间，则有x和y的开邻域U ,V （注：下标均为y,表2 y y示这两个邻域与y的选择有关），且U n V =0y y当y取遍A时，有｛V |y e A｝构成A的开覆盖y又由于A是紧致子集，故存在有限子覆盖，设为｛V ,V丄,V ｝。

y1 y2 ynV = V o V 5 o V U = U o U 5 o Uy1 y2 yn y1 y2 yyiV则V是A的开邻域，U是x的开邻域又，对于任意V (i = 1,2,L ,n)均有U nV =0所以, UnV=0定理9 Hausdorff空间的不相交紧致子集有不相交的邻 域证明方法与定理8雷同，证略它的意义如右图所示由定理8和定理9，可以得到如下的推论推论1 Hausdorff空间的每一紧致子集都是闭集注释：因为x电A，则x电A （闭包），所以x不是A的聚点，即A是含有聚点的集合，故A是 闭集推论2紧致的Hausdorff空间的子集为闭集 O 它是紧致子集注释：根据推论1得到U；由定理3“紧致空间的闭子集是紧致子集”得到=★ 于是，有如下关系：紧致空间： 闭集 n 紧致子集Hausdorff空间： 闭集U紧致子集紧致Hausdorff空间： 闭集O紧致子集另外，由定理9,我们得到如下结论推论3每一紧致的Hausdorff空间都是T空间4注释：根据紧致Hausdorff空间的紧致子集是闭集，且闭集也是紧致集则由定理9,有不相 交邻域，则是T空间4推论4每一紧致的Hausdorff空间都是T空间。

3注释：由紧致Hausdorff空间的紧致子集等价于闭集，再由定理8,则是T空间3于是，我们又推出如下关系：★对于紧致空间：Hausdorff空间 O 正则空间 O 正规空间广注：已知： 正规空间 n 正则空间 n Hausdorff空间 （）＜又，紧致空间是Lindel6f空间，而对Lindel6f空间有T O T，于是3 4正则空间O正规空间J又由推论3和4,故有（）成立定理10从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射必为闭映射证明：设X为紧致空间，Y为Hausdorff空间f : X T Y为连续映射设A是X的任一闭集，故而是紧致子集（由定理3）,则f （A）是Y的紧致子集（由定理6） 由推论1, f （A）是闭集故f为闭映射定理11 X为紧致空间，Y为Hausdorff空间，f： X T Y是在上的一一连续映射，则f是 同胚证明：（提示：只要证明/-1 : Y T X是连续的）在第二章§2-5 “连续映射与同胚”中定理1 （3）已有结论：“F : U T V，若V的闭集在F下的原象是闭的，则F连续”在此，记F二f -i,U二Y,V二X ；于是利用定理10，有f -i是连续的。

故f是同胚★关于“欧氏空间的紧致子集”一节略，同学们可以自己看§ 4-4几种紧致性的关系（简介）在微积分学中，实数空间R的子集A上，下述命题是等价的：（1） A是有界闭集；（2） A的每一开覆盖都有有限子覆盖；（3） A中每一无限子集都有聚点在A中；（4） A中每一序列都有收敛的子序列收敛于A中的点；★ 同时，（2）可以写成（5。