终极布朗尼蛋糕盘涉及一等奖论文.doc

最终的布朗尼蛋糕盘Team #23686February 5, 2013摘要 Summary/Abstract为了解决布朗尼蛋糕最佳烤盘形状的选择问题，本文首先建立了烤盘热量分 布模型，解决了烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题 又建立了数 量最优模型，解决了烤箱所能容纳最大烤盘数的问题 然后建立了热量分布最优 模型，解决了烤盘平均热量分布最大问题 最后，我们建立了数量与热量最优模 型，解决了选择最佳烤盘形状的问题模型一：为了解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题， 我们假设烤盘的任意一条边为半无限大平板，结合第三边界条件下非稳态导热公式， 建立了不同形状烤盘的热量分布模型， 模拟出不同形状烤盘热量分布图 最后得 到结论：在烤盘由多边形趋于圆的过程中，烤焦的程度会越来越小模型二：为了解决烤箱所能容纳最大烤盘数的问题， 本文建立了随烤箱长宽比变化下的数量最优模型求解得到烤盘数目N随着烤箱长宽比和烤盘边数n变 化的函数如下：cont2cont2cont W L2.2 n si n - n4A模型三：本文定义平均热量分布 H为未超过某一温度时的非烤焦区域占烤 盘边缘总区域的百分比。

为了解决烤盘平均热量分布最大问题， 本文建立了热量 分布最优模型，求解得到平均热量分布随着烤箱长宽比和形状变化的函数如下：结论是：当烤箱长宽比为定值时，正方形烤盘在烤箱中被容纳的最多，圆形 烤盘的平均热量分布最大当烤盘边数为定值时，在长宽比为 1:1的烤箱中被容 纳的烤盘数量最多，平均热量分布 H最大模型四：通过对函数N W,n作无量纲化处理，结合各自的权重p和1 p，本文建立了数量和热量混合最优模型，得到烤盘边数 n随p值和WL的函数当 W 0.7273, p 0.5977时，此时的n 6Contents1 An alysis 32 Model Assumptions 33 Modeling and solving 33.1 Definition .4.3.2 Model 1 4.3.3 Model2 103.4 Model3 113.5 Model4 134 Refere nces 155 Appe ndix 151. 问题分析Analysis本文讨论了在有限的烤箱内，不同形状烤盘的外部边缘的热量的分布问题 当烤箱内部预热到一定时间时，烤箱内温度达到一个均衡值由于预热的一段时 间很短，我们假设在烤箱的工作时间，炉内热量分布是均匀的。

因此烤箱内的气 体可以看成为温度不变的流体烤盘的每一条边都可以看成无限大平板在一维时 的情况可以建立半无限大平板在第三类边界条件下的一维非稳态导热函数， 并结合多维非稳态导热的乘积解法，可以得到多边形烤盘在二维的热量分布然后 模拟出多边形烤盘热量分布的图像， 通过观察，得到各种形状烤盘所受到的热量 分布情况问题二：讨论烤箱所能够容纳烤盘数最多的情况 实际上也就是讨论多边形在W L区域内的平铺问题在这里，我们假设W L为定值一方面当W分别L 为不同值时，多边形的平铺区域面积会有不同的值另一方面，多边形在区域 W L的烤盘数量N会随着多边形边数的变化而变化因此，平铺数量 N会随着 W和边数n的变化而变化讨论烤盘平均热量最大的情况，实际上也就是讨论非烤焦区域面积占总区域面积比例的问题 我们认为烤焦区域面积为温度出现重 叠的区域面积一方面，当W分别为不同值时，热量平均分布H会有不同的值L另一方面，多边形在区域W L的热量平均分布会随着多边形边数的变化而变化 因此，热量平均分布H会随着W和边数n的变化而变化结合以上相关结论，L我们可以得到边数n会随着热量平均分布H和W和数量N变化而变化通过作L无量纲化处理，数量N和平均热量分布H的权重分别为p和1 p，所以边数n会随着一和P的变化而变化。

L2. 模型假设 Model Assumptions1. 忽略不同食材，烘焙时间长短等因素对蛋糕成熟的影响；2. 当烤箱工作时，烤箱内的温度为定值；3•假设烤箱内传热主要为导热传热3. 不同形状烤盘热量分布模型3.1烤盘，烤箱的定义 本文考虑的烤箱的结构简图（Figure 1）：Figure 1烤箱结构图本文忽略盘烤的高度，仅考虑烤盘在二维空间内的导热问题 ，如图2所示:Figure 2烤盘形态图图3.2模型建立模型解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题 当只考虑烤盘的一条边时，此时烤盘相当于半无限大平板在一维非稳态传热过程中烤盘内的 温度坐标分布如图3所示：Figure 3半无限大平板加热过程中的温度分析由上图可知，烤盘厚度为 时烤盘的加热情况：第一阶段stepl:当烤制时间 （0, 2）时，空气流体不断的向烤盘内部导热,但是烤盘仍然有部分处于初始温度，未开始加热当 2时，空气流体对烤盘的热量正好传到烤盘的内边缘；第二阶段step2:当 （2, 4）时，空气流体对整个烤盘加热的一段时间；第三阶段step3:当 4时，烤盘的温度到达新的稳定状态烤盘的加热过程的微分方程⑴为：(1)2t2其中，t为烤盘的温度，to为烤盘的初始温度，tf为空气流体的温度，且 tf to。

hf为空气流体与烤盘间的对流换热系数，且为常数 为加热时间，为烤盘边缘的厚度， 为热量传输系数（或导热系数）定解条件：0， 0 x ，t t00，X 0,亠 0 （对称性）X X 00， x ， — hf tf -t xX x 0引入过余温度：tf -t 0tf -ttf -t0a2-r2 e nn 1sin n cos ns —Sin n cos n在此定解条件下微分方程解的结果为:式中的n是下列超越方程的根，称为特征值tan nBi1,2,3从上式看出解得结果可表示为:x, tf -t X,t f -t0f Fo,Bi,X从上述的结果可知，烤盘的加热过程函数是一个无穷级数，计算工作量较大但对比计算表明，当傅里叶系数 Fo 0.2时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的差别小 0.1%这样的误差在计算中是被允许的，因而 当此Fo 0.2后可以采用以下简化结果：2^_cos itf -t 2sin 1 ； e o t f - to 1 sin 1 cos 1其中特征值n n 1,2,3, 的值与Bi有关从上式可知得当Fo 0.2以后平板中的任意一点的过余温度X,与平板中心的过余温度 X, m之比为:——cos 1 (5)m非稳态导热的这一阶段就是所谓的导热正规状况或充分发展阶段。

确认正规状况阶段的存在具有重要的意义，因为本文计算中关心的非稳态导热过程常常处 于正规状况阶段，此时的计算可以采用上述的简化公式为了便于计算，人们广泛采用按分析解的级数第一项而绘制的一些线算图（诺曼图）其中用以确定温度分布的线算图称为海斯勒（Heasler）图以无限大平板为例，它首先根据等式（4）中给出的m 0随F及Bi变化的曲线（此时/ 0），然后再根据等式（5）确定 / 的值于是平板中任意一点的便为：Him：©XnI. j畑巾遁I无限大平板的的计算图⑵如图4和图5所示:IC1IJ1* 1 ■ % 芯气?応气产聞奮E5帀h!-i r L T Figure 4无限大平板中心无量纲温度图3.3模型求解设烤盘密度26.10kg/m3，比热容 c 904J/(kg. C)，导热率120W /（m C），对流换热系数h 100W /（m2 C），烤盘的宽度 0.5m，烤箱内的温度tf 200 C当时间 10s时，根据图4和图5和等式⑹得到若干 大平板的温度和大平板距离的散点数据，拟合出大平板的温度和大平板距离的曲线如图6所示:Figure 6大平板的温度和大平板距离的拟合曲线Figure 7烤盘形状为四边形的受热图 四边形的烤盘可以看做成由四个半无限大平板所围成的， 的乘积解法可以得出如下结果：x,y, -tf t x, -tft0 -tf t0 -tf31boardty, -tft0-t f⑺qboard图像如图8所示:boardboard12tx, -tfto -tft y, -tf t0 -tf3.4四边形烤盘情况烤盘形状为四边形的受热情况：根据多维非稳态导热Figure 8四边形烤盘的热量分布图3.5五边形烤盘情况烤盘形状为五边形的受热情况:Figure 9烤盘形状为五边形的受热图五边形的烤盘可以看做成由五个半无限大平板所围成的，根据多维非稳态导热 的乘积解法可以得出如下结果：x,y.-tft x, -tft y, -tft x, -tft0 -tft0 - tft° - t f1 board 2 boardt0 - tf 5 board(8)图像如图10所示:Figure 10五边形烤盘的热量分布图3.6多边形烤盘情况烤盘形状为n边形的受热情况：：Figure 11烤盘形状为n边形的受热图n边形的烤盘可以看做成由n个半无限大平板所围成的，根据多维非稳态导热 的乘积解法可以得出如下结果：x, y,-tft x,-tft y, -tft x, -tft0 -tft0 --tft° - t f1 board 2 boardt0-tf n board图像如图12所示:(9)Figure 12多边形烤盘的热量分布图4烤盘数量最优模型当用相同多的材料做成烤箱时，存在以下等式：L W Co nt式中，L为烤箱的长度，W为烤箱的宽度，Co nt为常数。

多边形的边长数为n当n 5时，多边形的形状可以近似看做其多边形的外 圆则n边形的排列方式如图：Figure 13n边形的排列方式其中，三角形的面积：1 2Striangle ' S" (10)式中： —,r为多边形所外外接圆的半径;n经过推到可以得到多边形的面积为：n 2 . 2r sin -2 n式中，A为烤盘的面积则:2An si n2n每层的烤盘总数K :L2rW2r烤箱有两层，则烤箱能够放的烤盘总数N 2：2Ai 2 n sin - I nI n sin2A2化简得到:WLn sinN n4A(13)当用相同多的材料做成烤箱时，存在: 可推出L Cont2W L cont2 co nt WLc°nt ...-1 WL(13.5)结合式（13）和式(13.5)可得函数:22 2cont W.cont cont …L1 WL4An sin(13.55)1m，A0.002。