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有限单元法讲义 有限单元法讲义第 1 章 概 论计算力学是根据力学中的理论，利用现代电子计算机和各种数值方法，解决力学中的实际问题的 门 新 兴 学 科它横贯力学的各个分支，不断扩大各个领域中力学的研究和应用范围，同时也逐渐发展自己的理论和方法有限单元法是计算力学的重要分支，是一种将连续体离散化，以求解各种力学问题的数值方法在大学里学习过四大力学（理、材、结、弹）众所周知，结构力学的研究对象是杆件结构（如框架、桁架）；弹性力学的主要研究对象是板、壳、实体结构（如平板、水坝）在结构力学的位移法中，是将计算对象转换成若干已知的单跨超静定梁（如 图 1-1）图 1-1 位移法计算简图在有限单元法的刚度法中,是将计算对象划分成有限个容易求解的单元（“E l e m e n t s ，又称元素“C o m p o n e n t s”或元件）如 图 1-2 所示深梁,可划分成若干个矩形单元、三角形单元，单元与单元之间用结点联结，常以结点的位移分量作为基本未知量根据结构受力特性的不同，确定相应的位移分量，如图示深梁，则取每个结点的u,v 位移为基本未知量而图示平板则每个结点取3个位移分量（w,（px,基本结构一 位移条件位移法：原 结 构 一 基本结构一 平衡条件有限元法则一般要同时考虑这些因素，即所谓的解题三条件：1.静力平衡条件：各单元结点力应与该结点的外力平衡。

见深梁图）2.几何条件：各单元在同一结点上产生的位移应协调一致3.物理条件：单元结点位移与结点力关系（应力、应变等）据此便可获得与原结构情形相同的解答三、解题步骤的程序框图一个完整的有限元位移法解题过程（程序），用框图表示则为:此图常称其为有限元程序的总框图下面将逐一讨论各框图的具体内容1.3 单元分析(element analysis)1.3 单元分析(element analysis)一、对象、任务对象：研究有限大小的个体(element)任务：1.建立应变与结点位移分量之间的关系；2.建立应力与结点位移分量之间的关系；3.建立结点力与结点位移分量之间的关系；4.把作用在单元内的外载转化成结点荷载下面通过用能量原理推导梁单元刚度矩阵的具体过程来说明有限单元法的单元分析二、用能量原理推导梁单元刚度矩阵在有限元法中，各种单元的单刚常采用能量原理推导，下面以平面杆单元为例，介绍用这种方法推导单刚的过程1.杆端力和杆端位移列阵从结构中取出典型单元e,假定其杆端力和杆端位移的正向如图1-5所示:杆端移列向量=%V,.uj vy.夕 J (1-3-D杆端力列向量 F =N,Q i,M i,N j,Q j,M j T(1-3-2)杆端力与杆端位移之间的关系 F =K e d K e即为要推导的单元刚度矩阵。

2.设定单元位移函数轴向位移描述已知杆系在弹性阶段轴向变形与剪、弯变形互不藕联，故假定按线性变化，任意点轴向位移变化规律：u =ax+a2x(1-3-3)由边界条件确定常数囚、2：当 x=0 时，U j =ax当 x=l 时，u+a2l由此解得：U,-U jj；a?=代入(a)式 得：1-x xU =-U,+I I J切向位移U和转角夕的描述设位移函数U为三次多项式：23v=a +a 2%+3%+4x(1-3-4)由微分关系，转角UV _ r 2(P-=-CL1 LOL-fX 3ccxdx由边界条件确定常数%：切向位移当 x=0 时，丫 =匕当 x=/时，v=u,转角当 一 =0 时，夕=仍当 =/时，夕=叼将上述边界条件代入式(c)、式(d)可得：(1-3-5)i =匕 2 =3 2 3 1%=一户匕1 6+-jTvj+7%2 12 1%=广匕-j 7?_/将其代回式(卜3-4)、(1-3-5)式并与(1-3-3)组合，经整理后得到以矩阵形式表示的单元位移函数：U/(%)=(p.00.3x2r+2x30003x2 2x3下一下6x 6x2%匕6UJv.i%N称为形函数矩阵；NiW 是梁单元的形状函数(shape functions of the displacement field),数学上称为插值函数，它的物理意义是：当单元相应位移分量为1,其它全为零时的变形曲线方程，如：M o o N2 o oN,So M、o N5 N6风 deN de0 N N 30 N N4 5 6叫(1-3-6)N,=13 x -+革2 x-表 示 当V i=l时的曲线方程M=-x+三2 x 表x示当 i=l时的曲线方程3.几何矩阵 B 已知杆件的轴向应变：x=-,由弯曲变形引起的曲率：K=0。

由此可得单dx dx-元的儿何方程：du dx d T N o 0 乂 0 0 =，=/,de=de=B W(1-3-7)k J d2Nv 0 -M-乂 0 -M-乂_.d)於，式中儿何矩阵：p v；0 0 M o o -0 0 7 0 00 -N3-N4 06 _nx6 1 2 x 2 6 x-F-l2-I3-I I24 .应力 矩 阵 o 已知由轴向应变引起的应力：叫=E q；由弯曲应变(曲率)引起的应力：a2=EyK.由此可得单元的应力矩阵：b =VNi 0 Nj 0 Nm 00 Ni 0 Ni 0 NmViU;V-1(2-l-4)antm J或,u =NdV(2-1-4)b三、单元的应变和应力1、应变几何矩阵B由弹性力学知，弹性力学平面问题的儿何方程：_du _dv _du.dvx dx,-v dy *dy dx用矩阵表示Sxy d_ d_dy dx或,4=/7(2-1-5)H称为微分符矩阵，又称为微分算子，实际上不是一般的矩阵乘，可以称为微分符矩阵H作用在 上，其作用规律符合矩阵乘积规定，实际上是按H对日求导将 2-1-4 式的f=Nd代入:=HNd=Bd 2-1-6dx式中：可=%N卜0d不o Nn)0Nj 0 N,A 0C i bib.00勺CJ bJbm 00 c,(2-1-7)称为儿何矩阵，对于上述三角形单元，B是常量矩阵，因此常把这种三角形单元称为常应变单元2、应力矩阵S由弹性力学知，由应力求应变的物理方程是:y _%_2（l +）/初一G E xy由上式解出应力，得到由应变表示应力的物理方程:=_ 从2 （邑 +,）耍 式 胪+叫._ E 1-用矩阵表示：可=9；=。

报T 中?片01一/0 0号12-1-8称为弹性矩阵将2-1-6式 e =B d代入上式得：同平 力 固 画 =印 2-1-9式中：同平心4 吟 瓦 b,jucm=-7-彳曲 q 曲 q 曲”cmI -r -ju-nb _-nb-/J i-；z.2Ci 丁 4，rCj 丁 D j 2Cm rbm2-1-1 0上式称为应力矩阵,是结点位移与应力之间的关系矩阵，在上述三角形单元中它也是一个常量矩阵（常应力单元）四、单元刚度矩阵有了儿何矩阵 B 和弹性矩阵 D 后,我们便可将其代入在 1-3中推导出的单元刚度矩阵的一般表达式：V对于平面问题，积分 必=九 是单元的厚度，并假定t 在单元内不变化(常数)，所以三角形单元的单刚：积分式内的两个矩阵都是常量，矩阵乘后,积分得三角形单元的单元刚度矩阵：K K ij Kim K 卜 J q Kj m 2-1-11K K K八加八对m m子块：E t b s+】I，c&4a.es+12也(r,s=i,j,m)K，S 4(1/)/的 +与*q c,q+与出上式常称为各向同性常应变单刚(stiffhess matrix fbr isotropic constant strain triang lein plane stress)上面的 K 是在图1 及 2-1-1式的位移排列顺序和(2-l-2)a下导得的，对此作些改变,便会获得不同的单元刚度矩阵形式，如将位移列阵的排列改为：d=ui uj um vi vj vm TO(可自行推导，此种单元刚度矩阵的显式可参见 Finite Element Analysis Fundamentals)作业3：1.求形函数Ni(x,y)在三角形形心(xc,%)上的函数值。

2.设图中i 点有水平位移5=1,试由单元刚度方程写出各链杆的反力；并证明各水平、竖向反力之和为03.求图示单元1、2 的单元刚度矩阵和应力矩阵结论：将单元逆时针转动180度，则单刚无影响而应力矩阵反号)彳2.2三角形单元中几个问题的讨论一、形函数的物理意义由(2-l-4)a可以看出，当th=1淇 它5个位移分量为0时,u(x,y)=Ni(x,y),或 当Vj=l其 余 为0时v(x,y尸Nj(x,y)(如图所示)故 形 函 数Ni(x,y)表 示 当 结 点i发生单位位移时，在单元内部产生的位移分布状态，函数Nj,N m亦具有类似的性质,因此,Ni,Nj,Nm称为位移的形状(态)函数,简称形函数,N即称形函数矩阵(shape function)0二、形函数的几何意义在单元分析中，很重要的一步是构造位移函数，得出以形函数和结点位移乘积表示的单元位移场町，孙%-_O项曲OON/NooMMo.-4e八其中形函数:而 =xjym-xmyibyj-ym将其代回：M f%+(y厂%)x+(%_Xj)y1 X y 271 XJ yj1 xn,ym若从单元内任意点p(x,y)向各顶点引连线，将其分成三个小三角形,则上式中的行列式恰好是小三角形pjm面积的2倍即:Ni=T4XX.Jxmyyj%2Ai_ 42A4111同理可得:由此可得如下结论(三角形单元的儿何性质)1.任意一点形函数之和等于1,(Ni+Nj+Nm=l)2.形函数为 20,且 C、LISP、PROLOG等有着各自特长的程序语言也逐步进入土木工程领域的计算机程序设计中。

过去人们通常认为，程序设计的中心问题就是学会使用一种程序语言，用以编写程序然而学会用程序语言编程只是整个程序设计中的一部分据有关资料介绍，编写程序在整个系统的研制过程中仅 占 1 5%的工作量在一个大型程序系统的整个存在阶段的工作量中，在系统投入使用后的维护工作量为原来研制工作量总和的两倍(这一点在作者所从事的软件开发工作中也得到充分的证明)维护工作量是如此之高，这就使我们必须注意到，在程序研制阶段便即应当考虑为以后的维护工作提供方便，哪怕是为此要增加一些额外的工作量也是值得的要编制一个好的程序系统并没有一种绝对的规则，就象是工程设计没有一种绝对规则样.但对于程序设计的好坏现在已逐渐形成了一套评价的客观标准这些标准大致分为以下几个主要方面:(1)程序的可读性；(2)正确性与可靠性；(3)使用方便且效率高；(4)软件的可移置性；(5)易于调试与维护直 到 1970年代中期人们才认识到软件的维护是软件研究的个关键领域造成软件维护工作量大的原因之一是与程序研制过程中所采用的设计方法不够科学化有关为了解决这一问题，人们开展了对于程序设计方法论的研究与实践，其目标是使软件正确、可靠和降低整个软件研制活动的费用。

总的来说，程序设计已从强调灵活的技巧和局部效率向着强调程序结构化和整体功能的方向发展这实际上就是逐步发展起来的关于程序设计编写与调试的一套方法论，其要点可归纳为以下几方面：(1)编程结构化为了使程序设计者能按照一定的结构形式，而不是随心所欲地设计和编写程序,使编制的程序易读、易修改，以提高程序设计和维护工作的效率，荷兰学者Dijkstra提出了“结构化程序设计方法”结构化程序规定了三种基本的结构形式，他们是顺序结构、分支选择结构和循环结构编程结构化又称结构化程序设计，他可使编写的程序层次分明，逻辑清楚，容易阅读2)分层处理技术为了解决现实世界中的许多复杂问题，人们往往需要根据问题的内在联系将其分割成有层次的一系列问题来分别求解对于一个大型程序系统设计来说，也需采用分层的办法来处理，在每一层里集中解决一个问题，并为下一层的执行作好准备分层处理技术的主要内容是将程序划分为多个层次的若干模块，每个模块完成一个(或几个)预定的功能为了保证模块的独立性，各模块之间只能通过接口与其他模块连。