《现代数值计算》课件3.2 正交多项式.ppt

第三章 函数逼近 总结总结2 连续区间上连续区间上的正交多项式的正交多项式1 离散点集离散点集上上的正交多项式的正交多项式3.23.2 正交多项式和最佳平方逼近正交多项式和最佳平方逼近第三章 函数逼近 3.2 正交多项式和最佳平方逼近正交多项式和最佳平方逼近　　正交多项式是数值计算中的重正交多项式是数值计算中的重要工具，这里只介绍正交多项式的要工具，这里只介绍正交多项式的基本概念、某些性质和构造方法基本概念、某些性质和构造方法离散情形的正交多项式用于下节的离散情形的正交多项式用于下节的数据拟合，连续情形的正交多项式数据拟合，连续情形的正交多项式用于生成最佳平方逼近多项式和下用于生成最佳平方逼近多项式和下章的高斯型求积公式的构造它们章的高斯型求积公式的构造它们在数值分析的其他领域中也有不少在数值分析的其他领域中也有不少应用第三章 函数逼近定义定义3.1 设有点集设有点集 {xi} i=0,1,…,m ,函数函数 f (x) 和和 g (x) 在在离散意义下的内积离散意义下的内积定义为定义为 (1)其中其中 i>0为给定的权数在离散意义下，函数为给定的权数。

在离散意义下，函数f (x)的的2-范数定义为范数定义为(2)有了内积，就可以定义正交性若函数有了内积，就可以定义正交性若函数 f (x) 和和 g (x) 的内积的内积 (f , g)=0，则称两者正交则称两者正交1 离散点集上的正交多项式离散点集上的正交多项式第三章 函数逼近若若多项式组多项式组{ k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足在离散意义下的内积满足(3)则称多项式组则称多项式组{ k(x)}k=0,…n为为在离散点集在离散点集 {xi}i=0,1,…,m 上的带权上的带权 {  i}i=0,…m的正交多项式序列的正交多项式序列.下面给出离散点集上正交多项式的构造方法下面给出离散点集上正交多项式的构造方法 .第三章 函数逼近 给定点集给定点集{xi} i=0,1,…,m和权数和权数{  i}i=0,…m ，并且，并且点集点集 {xi} i=0,1,…,m中至少有中至少有n+1个互异，则由下列个互异，则由下列三三项递推公式项递推公式 （4）给出的多项式序列给出的多项式序列 是正交多项式序列，是正交多项式序列，其中其中（5） 三项递推公式（三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公）是构造正交多项式的简单公式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一步讨论。

步讨论第三章 函数逼近 例例3.3 已知点集已知点集 {xi} i=0,1,…,4 ={0,0.25,0.5,0.75,1} 和和 权数权数{  i}i=0,…4 ={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关试用三项递推公式求关于该点集的正于该点集的正交多项式交多项式 解解 先令先令 P0(x)=1 ，由此得，由此得第三章 函数逼近由此得由此得从而有从而有第三章 函数逼近2 连续区间上正交多项式连续区间上正交多项式 连续区间上的正交多项式的概念与离散连续区间上的正交多项式的概念与离散点集上的正交多项式概念相似，只要将内积点集上的正交多项式概念相似，只要将内积的定义作相应的改变的定义作相应的改变 定义定义3.2 函数函数f (x)和和 g (x)在在连续意义下的内积连续意义下的内积定义为定义为 （6）其中的其中的  (x) 0为给定的权函数为给定的权函数 按连续意义下的内积，若多项式组按连续意义下的内积，若多项式组{ k(x)}k=0,…n 满足条件满足条件(7),则称它为则称它为在区间在区间[a,b] 上的带权上的带权  (x)的的正交多项式序列正交多项式序列。

第三章 函数逼近事实上事实上，，例例3.4 三角函数组三角函数组上是关于上是关于权函数权函数1 1的正交组的正交组第三章 函数逼近正交多项式的三项递推公式正交多项式的三项递推公式: : 是首项系数为是首项系数为1的的i次多项式，则次多项式，则 满足递推公式满足递推公式:第三章 函数逼近下面给出几种常用的正交多项式下面给出几种常用的正交多项式. (1) 勒让德（勒让德（Legendre）多项式）多项式.正交多项式记为正交多项式记为 ，，由三项递推公式得由三项递推公式得(8)它们是在区间它们是在区间 [-1,1]上的带上的带权权  (x)=1的正交多项式的正交多项式.它们的根都是在开区间它们的根都是在开区间 (-1,1)上的单根上的单根,并且与原点对称并且与原点对称.第三章 函数逼近 (2)第一类第一类Chebyshev多项式多项式. 第一类第一类Chebyshev多项式可由三项递推公式多项式可由三项递推公式给出给出.它们是在区间它们是在区间[-1,1]上上的带的带权权 　　的正交多项式的正交多项式.(9)第三章 函数逼近它们的根都在开区间它们的根都在开区间（（-1，，1））上的单根，并且与上的单根，并且与原点对称。

原点对称前几个第一类前几个第一类Chebyshev多项式如下多项式如下:第三章 函数逼近（（3）拉盖尔）拉盖尔(Laguerre)多项式 Laguerre多项式可由三项递推公式多项式可由三项递推公式给出它们是在区间给出它们是在区间[0,+∞)上带上带权权 的正交多项式前几个的正交多项式前几个Laguerre多项式如下多项式如下: 第三章 函数逼近它们的根都是在区间（它们的根都是在区间（0，，+∞）上的单根上的单根第三章 函数逼近(4) Hermite 多项式多项式Hermite多项式可由三项递推公式多项式可由三项递推公式给出它们是在区间给出它们是在区间（（-∞，，+∞）上）上带权带权 的正交多项式的正交多项式第三章 函数逼近它们的根都在区间（它们的根都在区间（-∞，，+∞）上的单根，并且与原点对称）上的单根，并且与原点对称前几个前几个Hermite多项式如下：多项式如下：。