(完整版)概率论与数理统计习题集及答案.pdf

1 -概率论与数理统计作业集及答案第 1 章概率论的基本概念 1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3 次，观察正面H、反面 T 出现的情形 .样本空间是： S= _ (2) 枚硬币连丢3 次，观察出现正面的次数.样本空间是： S= _ ;2. (1)丢一颗骰子 .A : 出现奇数点，贝U A= _ ; B:数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢2 次， A : 第一次出现正面，则A= _ ;B:两次出现同一面，则= _ ;C : 至少有一次出现正面，则C= 1 .2 随机事件的运算1?设 A、B C 为三事件，用A B C 的运算关系表示下列各事件：(1) _ A、B、C 都不发生表示为：.(2)A 与 B 都发生，而 C 不发生表示为：(3) A 与 B 都不发生，而 C 发生表示为：.(4)A 、B C 中最多二个发生表示为：(5)A、B、C 中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C 中不多于一个发生表示为：2.设Sx : 0 x 5, A x :1x 3, B x:24: 则( 1) AB, ( 2) AB,( 3)AB( 4) AB= , ( 5) AB =。

1.3概率的定义和性质1. 已知P(A B) 0.8, P(A) 0.5, P(B) 0.6，则(1) P(AB) , (2)( P( A B) )= , (3) P(A B)= . 2. 已知P(A) 0.7, P(AB) 0.3,则P(AB)=. 1 .4 古典概型1. 某班有 30 个同学，其中 8 个女同学，随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率(2) 最多有 2 个女同学的概率 ,(3)至少有 2 个女同学的概率 .2. 将 3 个不同的球随机地投入到4 个盒子中，求有三个盒子各一球的概率. 1 .5 条件概率与乘法公式1 ?丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1 的概率是 _ 2.已知P(A) 1/4, P(B | A) 1/3, P(A| B) 1/2,则P(A B) _ 1 .6 全概率公式1. 有 10 个签，其中 2 个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中的概率相同2. 第一盒中有 4 个红球 6 个白球，第二盒中有5 个红球 5 个白球，随机地取一盒，从中随机地取-2 -一个球，求取到红球的概率。

1 .7 贝叶斯公式1. 某厂产品有 70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（ 1） 该厂产品能出厂的概率，（2 ）任取一出厂产品，求未经调试的概率2. 将两信息分别编码为A 和 B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作 B 的概率为 0.02 ，B 被误收作 A 的概率为 0.01，信息 A 与信息 B 传递的频繁程度为3 : 2 ，若接收站收到的信息是A, 问原发信息是A 的概率是多少？ 1 .8随机事件的独立性1.电路如图，其中A,B,C,D 为开关设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为 p,求 L与 R 为通路（用 T 表示）的概率A B/L 1C D _ RC - D- /3. 甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5 和 0.6，是否命中，相 互独立， 求下列概率：（1） 恰好命中一次，（2）至少命中一次第 1 章作业答案 1 .1 1：( 1) S HHH ,HHT ,HTH ,THH ,HTT,THT,TTH ,TTT;( 2) S 0, 1, 2, 3 2：( 1) A 1, 3, 5 B 3, 4, 5, 6;( 2) A 正正，正反, B 正正，反反, C 正正，正反，反正 。

1 .2 1 : (1) ABC ; (2) ABC ； (3) ABC ； (4) A B C ； (5) AB AC BC ;(6) A BACBC或ABC ABC ABC ABC ；2： ( 1) A Bx:1x 4；ABx : 2 x 3 ;(3)AB x : 3 x 4；(4) AB x:0 x1或2x 5 ； ( 5) AB x: 1 x 4 1 .3 1: (1) P(AB)=0.3, (2) P(AB)= 0.2, (3) P(A B) = 0.7. 2 ：P(AB)=0.4.-3 -2: P43 / 43. 1 .5 1 : . 2/6; 2: 1/4设 B 表示第二人“中”，则P(B) = P(A)P(B|A) + P( A)P(B| A) = _2 1 _8 2 _2 10 9 10 9 To 两人抽“中的概率相同，与先后次序无关2: 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：p = 0.5 X 0.4 + 0.5 X 0.5 = 0.45 1 .7 1 : ( 1) 94% ( 2) 70/94 ; 2: 0.993 ; 1 .8. 1 : 用 A,B,C,D 表示开关闭合，于是T = AB U CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) =P(A)P(B) + P(C)P(D) - P(A)P(B)P(C)P(D) 2 2 4 2 4 P P P 2p p 2: (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38 ;(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第 2 章随机变量及其分布 2.1 随机变量的概念，离散型随机变量1 一盒中有编号为1, 2, 3, 4, 5 的五个球，从中随机地取3 个，用 X 表示取出的3 个球中的最大号码 .，试写出 X 的分布律 .2 某射手有 5 发子弹，每次命中率是0.4，次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用 X 表示射击的次数，试写出 X 的分布律。

2.2 0 1 分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从入 =4 的泊松分布，求(1)每分钟恰有 1 次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1 次呼叫的概率；每分钟最多有1 次呼叫的概率；2设随机变量X 有分布律：X 2 3 , Y ?n (X), 试求：p 0.4 0.6 ( 1) P(X=2,Y 2); (2)P(Y W 2); (3)已知 Y 2,求 X=2 的概率 2.3 贝努里分布1 一办公室内有5 台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有 2 台计算机被使用的概率是多少？(2) 至少有 3 台计算机被使用的概率是多少？28 10 10 1?4 1：(1) C8 C22 /C30 ,(2)( ( C22 C89 22 C8C22) / C30 ,(3)1-( C；0c；c；2)/c 10 30 1 .6 1 : 设 A 表示第一人 中”， 贝 U P(A) = 2/10 -4 -(3) 至多有 3 台计算机被使用的概率是多少？(4) 至少有 1 台计算机被使用的概率是多少？-5 -2 设每次射击命中率为0.2, 问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于 0.9 ？ 2.4 随机变量的分布函数Ax x 0 1x ，求( 1) 常数 A，P 10 x 0 2.5 连续型随机变量(3) 用二种方法计算P(- 0.5X0.5). 0 x 1 2 设连续型随机变量x 0 勺分布函数为： F(x) = in x 1 x e1x e 0 x11设随机变量 X 的分布函数是：F(x)=0.51x 11x 1(1 求 P(X 1), (2)写出 X 的分布律。

2 设随机变量1 设连续型随机变量X的密度函数为：f(x)kx 0 x 1 0 其他(1) 求常数k的值； ( 2) 求 X 的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形 , 并用二种方法计算P(X0.5). -6 -(1)求 X 的密度函数f (x)，画出f (x)的图形 , 2.6 均匀分布和指数分布1 设随机变量K 在区间(0, 5)上服从均匀分布，求方程有实根的概率4 x2+ 4Kx + K + 2 = 0 -7 -2 假设打一次所用时间（单位：分）X 服从0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进亭，试求你等待：（1）超过 10 分钟的概率；（ 2）10 分钟 到 20 分钟的概率 2.7 正态分布1 随机变量X ? N (3, 4),求 P(2X 5) , P(-4X 2), P(X3) ;(2)确定 c, 使得 P(Xc) = P(Xc)2 某产品的质量指标X 服从正态分布，卩 =160 , 若要求 P（120X0.80 ，试问最多取多大？ 2.8 随机变量函数的分布1 设随机变量X的分布律为；X012p0.30.40.3Y = 2X - 1,求随机变量X的分布律2: X 1 2 3 4 5p 0.4 0.6 为.4 0.6 为.6 J0.4 0.6 &6 为.6 E.4 0.6 为.6 J0.6 E.6 2.2 1 : (1) P(X = 1) = P(X 1) -P(X 2) = 0.981684 -0.908422 = 0.073262,2 设随机变量X的密度函数为：f（X）2(1 x) 0 x 1 0 其他Y X2; 求随机变量 Y 的密度函数。

3. 设随机变量X服从（ 0,丫2lnX，求随机变量Y 的密度函数第 2 章作业答案 2.1 X3 4 5P0.1 0.3 0.61:-8 -(2) P(X 1) = 0.981684, (3) P(X 2) = 1 -0.908422 = 0.091578-9 -2: (1)由乘法公式 : P(X=2,Y W 2) = P(X=2) P(Y W 2 | X=2)= 0.4 (e 2e 2 2e 2)= 2e 2由全概率公式：P(Y 2) = P(X=2) P(Y W 2 | X=2) + P(X=3) P(Y 2 | X=3) 2 17 3 =0.4 + 0.6 1 e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 2 由贝叶斯公式： P(X=2|Y W 2)=旦冬 空引0.270670.516 P(Y 2) 2 :(1)f(x)1/x 10 x e他(2) P(X2)1 In 2 2.6 13/52:(1) e 2(2)e2 e4 2.7 1:(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5; (2) c = 32:dW 31.25 2.8 1:Y-113P0.30.40.32:fY(y)1 (1 3 )=4 4(3) P(X W 3 ) = 1 - C5 0.6 0.40.65(4)P(X2：至少必须进行11 次独立射击 . 2.4 1: ( 1) P(X W 0 )=0.5 ; P 0X1 = 0.5 ; (2) X 的分布律为：X-11P0.50.52： (1) A = 1, (2) P 1X 2= 1/60 x 0 2.5 1 : ( 1) k 2, ( 2) F(x)2 x0 x 1C：0.640.4 0.650.450.5 (3) P(- 0.5X 1 ) = 1 - P(X 1) = 0.5 ,C；0.630.42设 X 表示在同一时刻被使用的台数，贝y X? B(5, -10 - 3.1 二维离散型随机变量1.设盒子中有 2 个红球， 2 个白球， 1 个黑球，从中随机地取3 个，用 X 表示取到的红球个数，用 Y表示取到的白球个数，写出(X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。

2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为：X Y012试根据卜列条件分别求a 和 b 的值；00.10.2a(1)P(X 1) 0.6 ; 10.1b0.2 P(X 1|Y 2) 0.5 ；(3)设F(x)是Y 的分布函数，F(1.5) 0.5 3.2 二维连续型随机变量求( 1)。