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由蛋糕分割问题所想到的由蛋糕分割问题所想到的 ——对欧拉公式的再认识 安徽省岳西中学 储炳南 （246600） 1.问题的提出问题的提出 在某同学的生日聚会上，共来了 20 位同学，在分食生日蛋糕时，有人提出：为了使每个人都能分到一块蛋糕（不要求每块蛋糕大小都一样） ，至少要切几刀？ 2.数学模型的构建与求解数学模型的构建与求解 按习惯，在切蛋糕时总是沿竖直方向向下切，如果我们共切了 n 刀，则每刀在蛋糕的上表面的切痕是 n 条直线，于是可构造如下数学模型： 数学模型Ⅰ：数学模型Ⅰ： “平面内 n 条直线最多能将平面分成多少个区域？” 模型Ⅰ的求解：模型Ⅰ的求解： 为了保证 n 条直线能将平面分成的区域数 f(n)最大，则这 n 条直线必须两两相交且没有三条直线过同一点 易算出 f(1)=2，f(2)=4，f(3)=7，f(4)=11，f(5)=16，…… 由于： f(2)－f(1)=2 f(3)－f(2)=3 f(4)－f(3)=4 f(5)－f(4)=5 … … … 图 1 猜想： f(n)－f(n－1)=n 将以上各式相加得：f(n)－f(2)=2＋3＋4＋ … ＋n ⇒ f(n)=121 212++nn。

下面我们可用数学归纳法证明猜想成立（证明略） 由 f(n)=1112++≥20 ⇒ n≥6 如果我们按竖直方向和水平方向进行切割，则可构建如下数学模型： 模型Ⅱ模型Ⅱ：如果所切的 n 刀是按两个方向切割的，即竖直方向切 k 刀，水平方向切（n－k）刀并记最多切割块数为 g(k，n) 模型Ⅱ的求解：模型Ⅱ的求解： 由模型Ⅰ知，竖直方向切 k 刀，最多能将蛋糕切成 f(k)= 121 212++kk块由于水平方向切（n－k）刀，能将每块蛋糕分成（n－k+1）块故： g(k，n)= ()()[]()nknknnkkknkk≤≤++−++−=+− ++0221211121 21232将 g(k，n)对 k 求导得：()()012321,'2=−++−=nnkknkg ⇒3332−++=nnnk, 3332−+−=nnnk(舍去) Q当 k   −++∈33302nnn，时，()nkg,'>0； 当 k   −++∈，nnnn 3332 时, ()nkg,'<0 ∴ ()nkg,在   −++ 33302nnn，上单调递增,在   −++，nnnn 3332 上单调递减。

由于3332−++=nnnk不一定是正整数，下面我们对 n 在不同取值加以讨论 当 n=2 时，Znnnk∉≈+=−++=5 . 1372 3332 ，此时 g(1,2)= g(2,2)=4,即切两刀最多只能切成四块. 当 n=3 时，Znnnk∉≈+=−++=3 . 23153 3332 ，此时 g(2,3)=8，g(3,3)=7,即切 3 刀最多只能将蛋糕切成 8 块. 刀最多只能将蛋糕切成 8 块. 当 n=5 时，Znnnk∉≈+=−++=7 . 33375 3332 ，此时 g(3,5)=21，g(4,5)=22,即切 5 刀最多只能将蛋糕切成 22 块.所以要使 20 名同学每人能分到一块蛋糕，最少需要切 5 刀,且有两种不同的切法 3.对问题的再认识对问题的再认识 对模型Ⅰ的求解，我们使用的是——“先猜后证”的探求方法，但就问题本身而言，这是一个涉及到平面图形的顶点数、棱数和面数的问题由此联想到平面图形的欧拉公式，于是笔者提出如下问题： 问题问题 1：平面图形的欧拉公式对于非封闭图形是否成立？：平面图形的欧拉公式对于非封闭图形是否成立？ 问题问题 2：空间图形的欧拉公式对于非封闭图形是否成立？：空间图形的欧拉公式对于非封闭图形是否成立？ 对问题 1 的回答是肯定的。

证明如下： 证明：因为非封闭图形（如图 3）可以看作是由封闭图形（如图 2）将线段向两个方向无限延伸而得到的，如果记封闭图形（如图 2）的顶点数、棱数、面数分别为V、E、F，非封闭图形（如图 3 的顶点、棱数、面数分别为 V’ 、E’ 、F’ ，则易知在n 条直线组成的非封闭的平面图形中，V’=V，由于每条直线上都有两条“射线” ，故共有 2n 条“射线” ，所以 E’=E+2n，而这 2n 条“射线”又将平面的外围区域分为 2n 个小区域，所以：F’=F+2n， ∴V’＋F’－E’=V＋F＋2n－（E＋2n） =V＋F－E=1，即：V’+ F’－E’=1 ⇒ 图 2 图 3 进一步展开联想：将问题 1 中的“n 条直线”改为“n 条曲线” ，其结论是否成立A B E D C F E D C B A F 续变换成“曲线段”后，这并不影响顶点数、面数和棱数，如图 4、图 5 所示，于是有： 推论推论 1：在平面“曲边形”中，顶点数为在平面“曲边形”中，顶点数为 V， “棱” （线段或曲线段）数为， “棱” （线段或曲线段）数为 E， “面”， “面”（线段或曲线段所围成的区域）数为（线段或曲线段所围成的区域）数为 F，则有：，则有：V＋＋F－－E = 1。

⇒ 图 4 图 5 图 6 推论推论 2：在平面内有：在平面内有 n 条非封闭的曲线所组成的平面图形中（如图条非封闭的曲线所组成的平面图形中（如图 6 所示） ，顶点所示） ，顶点数（数（非封闭的曲线的交点）记为）记为 V’ ， “棱” （’ ， “棱” （顶点将曲线分成的每一段曲线段或曲射线①）数记为）数记为 E’ ， “面”’ ， “面” （（棱将平面分割成的区域）数记为）数记为 F’则有：’则有：V’’+ F’’－－E’’=1 注：①只有一端点的曲线，我们不妨称为“曲射线” 证明：易知在 n 条非封闭的曲线所组成的平面图形中（如图 6 所示） ，V’=V，由于每条曲线 上都有两条“曲射线” ，故共有 2n 条“曲射线，所以 E’=E＋2n，而这 2n 条“曲射线”又将平面的外围区域分为 2n 个小区域，所以：F’=F＋2n， ∴V’＋F’－E’=V＋F＋2n－（E＋2n）=V＋F－E=1，即：V’+ F’－E’=1 为了进一步探讨问题 2笔者首先给出如下定义： 定义定义 1：在空间，我们把平面、半平面或平面多边形统称为“面” ；面与面的交线：在空间，我们把平面、半平面或平面多边形统称为“面” ；面与面的交线（线段或射线）称为“棱” ；棱与棱的交点称为“顶点” ；面将空间分成的区域称（线段或射线）称为“棱” ；棱与棱的交点称为“顶点” ；面将空间分成的区域称为“体” 。

并记顶点数、棱数、面数、体数分别为：为“体” 并记顶点数、棱数、面数、体数分别为：V、、E、、F、、T 下面，笔者对空间中平面数分别为 1、2、3 时，V、E、F、T 之间的关系列出A B E D C B A D C E 平面数平面数 V E F T 图图 形形 1 0 0 1 2 2 0 0 2 3 0 1 4 4 3 0 0 3 4 0 2 7 6 0 1 6 6 0 3 9 7 1 6 12 8 根据以上表格所列数据，笔者提出如下猜想： 在空间中的在空间中的 n 个平面所组成的“几何体”中，顶点数为个平面所组成的“几何体”中，顶点数为 V，棱数为，棱数为 E，面数为，面数为F，体数为，体数为 T则 E＋＋T－－V－－F=1 4.应用举例应用举例 例例 1 平面内有 n 条两两相交的直线，这 n 条直线没有任何三条通过同一点，求这n 条直线将平面分成的区域数 f(n) 解：∵V’=() 212−=nnCn，且每条直线上都 有 n－1 个交点，这 n－1 个交点将这条直线分为 n 条棱所以 E’= n2，由问题 1 的结论知： F’=E’－V’＋1 = ()1212+−−nnn = ()2212++ nn ∴f(n)= ()2212++ nn。

例例 2 平面内有 n 个两两相交的圆，其中没任何三个圆相交于同一点，求这 n 个圆将平面分成的区域数 f(n) 解：∵任何两个圆都相交， 图 7 ∴V=2()12−=nnCn ∴E=2(n－1)n 由推论 1 知：F=E－V＋1=2(n－1)n－n(n－1)＋1= n2－n＋1，即 n 个圆所围成的区域数为：F= n2－n＋1，所以 f(n)=F＋1= n2－n＋2 例例 3 连结凸七边形的所有对角线， 问这些对角线最多能将七边形分成多少个区域？ 分析：欲使对角线将七边形分成的区域最多，应没有任何三条对角线相交于同一点 解：因为任何凸四边形的对角线的交点有且仅有一个，所以七边形的所有对角线的交点最多有4 7C =35 个，所以 V=35+7=42；又因为七边形共有()142377=−×条对角线，在这 14 条对角线上共有 35 个交点，由于每一个交点都将某两条对角线一分为二，则 14 条对角线被这 35 个交点共分成了： 14+35×2=84 段， 所以 E=84＋7=91。

由 V＋F－E=1⇒F=91＋1－42=50，即对角线最多能将七边形分成 50 个区域 评注评注： 对于例 1、 例 2、 例 3 传统的处理方法是： 特殊化 （求出 f(1)、 f(2)、 f(3)、 …的值） ——归纳——猜想——再用数学归纳法加以证明其解题过程繁长，而用推论 1或推论 2 解题则简捷方便 5.有待进一步解决的问题有待进一步解决的问题 （1）如果笔者的上述猜想成立的话，那么我们可以说“无论是在二维空间还是在无论是在二维空间还是在三维空间欧拉示性数均为三维空间欧拉示性数均为 1” 有兴趣的读者可对此作出证明或否定 （2）象例 3 这类“平面图形分割问题” ，如果 n 较大时，我们通过归纳——猜想——再证明的方法处理问题，由于归纳难度大，一般很难凑效而事实上，例 3给出了此类问题的一种求解通法有兴趣的读者自已可以证明： “凸凸 n 边形的所有边形的所有对角线将凸对角线将凸 n 边形分成的区域数：边形分成的区域数：()123)(4+−+≤nnCnfn（（n≥≥4） ”） ” 而由模型Ⅱ我G F A B E D C 图 8 。