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放缩法证明数列不等式,学生 　 放缩法证明数列不等式 　2021.03 一、基础知识： 　在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧 1、放缩法证明数列不等式的理论依据不等式的性质： 　（1）传递性：若 , a b b c > > ，则 a c > （此性质为放缩法的基础，即若要证明 a c > ，但无法直接证明，则可寻找一个中间量 b ，使得 a b > ，从而将问题转化为只需证明 b c > 即可 ） 　（2）若 , a b c d > > ，则 a c b d + > + ，此性质可推广到多项求和： 　若 ( ) ( ) ( )1 21 , 2 , ,na f a f a f n > > > ，则: ( ) ( ) ( )1 21 2na a a f f f n + + + > + + + 　 （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若 0, 0 a b c d > > > > ，则 ac bd > ，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法： 　（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： 　① 等差数列求和公式：12nna aS n+= ，na kn m = + （关于 n 的一次函数或常值函数） 　② 等比数列求和公式：( )( )1111nna qS -= -，nna k q = （关于 n 的指数类函数） 　③ 错位相减：通项公式为"等差 等比的形式 ④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项 （2）与求和相关的不等式的放缩技巧： 　① 在数列中，"求和看通项，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向） 　③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

　④ 若放缩后求和发现放"过了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试 　（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧： 　① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备"依项同构的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项） 　② 等比数列：所面对的问题通常为"nS < 常数的形式，所构造的等比数列的公比也要满足( ) 0,1 q ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为11aq -的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可例如常数122=1314-，即可猜想该等比数列的首项为12，公比为14，即通项公式为124n 　注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响 （4）与数列中的项相关的不等式问题： 　① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 ② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可"累加或"累乘的形式，即 ( )1 n na a f n+- < 或 ( )1 nnaf na+< （累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过"累加或"累乘达到一侧为na ，另一侧为求和的结果，进而完成证明 3、常见的放缩变形： 　（1）( ) ( )21 1 11 1 n n n n n< <+ -，其中 2, n n N ：可称21n为"进可攻，退可守，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。

　注：对于21n，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：( )( )2 21 1 1 1 1 11 1 1 2 1 1 n n n n n n < = = - - - + - + ，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子此外还可以构造放缩程度更小的，如： 　( )( )2 221 1 4 1 1 1 114 1 2 1 2 1 2 2 1 2 14n n n n n nn < = = - - - + - + - （2）1 2n n n=+，从而有：( ) ( )2 1 22 1 2 11 1n n n nn n n n n+ - = < < < - -+ + + - 注：对于1n还可放缩为：12, 2, n n n n Nn*< - - 　（3）分子分母同加常数： 　( ) ( ) 0, 0 , 0, 0b b m b b mb a m a b ma a m a a m+ +> > > > > > > >+ + 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系 　（4）( )( )( ) ( )( ) ( )( )1212 2 2 22 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 12 1n n n nn n n n n nn--= < =- - - - - -- 　( )11 12,2 1 2 1n nn n N*-= - - - 可推广为：( )( )( ) ( )( ) ( )( )1211 1 1 1 11n n n nn n n n n nnk k k kk k k k k k kk--= < =- - - - - -- 　( )11 12, 2, ,1 1n nn k k n Nk k*-= - - - 二、典型例题： 　例 1：已知数列 { }na 的前 n 项和为nS ，若 ( )14 2 1 1n nS n a+= - + ，且11 a = 　.（1）求证：数列 { }na 是等差数列，并求出 { }na 的通项公式（2）设1nn nba S= ，数列 { }nb 的前 n 项和为nT ，求证：32nT < 　例 2：设数列 { }na 满足：1 11, 3 ,n na a a n N *+= = ，设nS 为数列 { }nb 的前 n 项和，已知10 b ，1 12 ,n nb b S S n N * - = 　（1）求数列 { }{ } ,n na b 的通项公式（2）求证：对任意的 n N* 且2 n ，有2 2 3 31 1 1 32n na b a b a b+ + + <- - - 　 例 3：已知正项数列 { }na 的前 n 项和为nS ，且12 ,n nna S n Na*+ = （1）求证：数列 { }2nS 是等差数列 （2 2 ）记数列31 21 1 12 ,n n nnb S Tb b b= = + + + ，证明：1 3 112 1nTn n- < -+ 　例 4：已知数列 { }na 满足21 112, 2 1 ,n na a a n Nn+ + = = + （1）求证：数列2nan 是等比数列，并求出数列 { }na 的通项公式 （2 2 ）设nnnca= ，求证：1 21724nc c c + + + < 　 例 5：已知数列 { }na 的前 n 项和 ( ) 3 1 ,n nS na n n n N * = - - ，且317 a = 　（1）求1a （2）求数列 { }na 的前 n 项和nS （3）设数列 { }nb 的前 n 项和nT ，且满足nnnbS= ，求证：23 23nT n < + 　例 6：已知数列 { }na 满足( )( )1111, 2,41 2nn nnaa a n n Na--= = - - 　（1）试判断数列 ( )11nna + - 是否为等比数列，并说明理由 （2）设( ) 2 1sin2n nnb ap -= ，数列 { }nb 的前 n 项和为nT ，求证：对任意的4,7nn N T* < 　 例 7：已知数列 { }na 满足：132a = ，且( )1132,2 1nnnnaa n n Na n*--= + - （1）求数列 { }na 的通项公式 （2 2 ）证明：对于一切正整数 n ，均有1 22 !na a a n < 　例 8：已知函数 ( ) ( ) 2ln , 1 0bf x ax x fx= - - = 　（1）若函数 ( ) f x 在 1 x = 处切线斜率为 0 ，" 21111nna f na n+ = - + - + ，已知14 a = ，求证： 　2 2na n + （2）在（1）的条件下，求证：1 21 1 1 21 1 1 5na a a+ + + <+ + + 　例 9：已知数列 { }na 的各项均为正值，对 n N*" ， ( ) ( )21 21 4 1 , log 1n n n n na a a b a+- = + = + ，且11 a = （1）求数列 ,n na b 的通项公式 （2 2 ）当 7 k > 且 k N* 时，证明对 n N * " ，都有1 2 11 1 1 1 32n n n nkb b b b+ + -+ + + + > 成立 　例 10：数列 { }na 是公差不为零的等差数列，56 a = ，数列 { }nb 满足：1 1 1 23, 1n nb b bb b+= = + 　（1）当 2 n 时，求证：111nnnbbb+-=- 　（2）当31 a > 且3a N * 时，1 23 5, , , , , ,nk k ka a a a a 为等比数列 ① 求3a 　 ② 当3a 取最小值时，求证：1 21 2 31 1 1 1 1 1 141 1 1nn k k kb b b b a a a + + + + > + + + - - - 。