高等数学之多元函数积分学教学幻灯片.ppt

第六节一、格林公式 二、平面曲线积分与路径无关的条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式、平面曲线积分与 路径无关的条件 第九章 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD一、格林公式1. 单连通域与复连通域定理12、格林公式例1. 计算解: 令故L 为以和 为边的三角形的正向闭曲线.例2. 计算其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令, 则利用格林公式 , 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件)计算平面面积例如, 椭圆所围面积GyxoBA如果在区域G内有二、曲线积分与路径无关的条件1、曲线积分与路径无关的定义二、平面曲线积分与路径无关的条件定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 说明: 根据定理2 , 若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算其中解: 由于因此所给曲线积分与路径无关，由图形可知为圆周 在第一象限内的弧段. 因为在 上，因为在 上，例5. 计算其中L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D , 则例6. 验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使。

机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 格林公式2. 等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有作业P156：2；3；5（1）.。