2015华中科技大学自主招生数学试题.doc

2015华中科技大学自主招生一、填空题 1.对抛物线=2x,若其焦点为F，准线上一点为P，y轴上一点为N，△NPF是以∠NPF=90°的等腰直角三角形，则N点的纵坐标为___________2.=_________3.(-lnn)存在，则=___________4.在边长为1的正方形(含边界)中9个点中，其中必有3个点，它们构成的三角形面积不超过______________5.某人打靶，打中8环、9环、10环的概率分别为0.15、0.25、0.2，现他开三枪，不少于28环的概率是______________二、解答题6.若对任意实数x,y有=-2x+,求7.求所有的实数,b，使得|-x-b|≤成立，其中x∈[0,1]8.若复数z满足|z|=1，求的最小值9.若关于x的三次方程+bx+c=0有三个实数根⑴若三个实数根为，且，为常数，求c变化时,的取值范围⑵若三个实数根为，b,c,求，b,c##Answer##1.△PNF为直角△，斜边FN的中点M为外接圆圆心，于是|MF|=|MP|,又|MF|等于M到准线的距离d,于是d=|MP|,MP与准线垂直,M在抛物线上；设N(0,),则M(,)，=2×=±2。

填±22.原式=-1++…+=-1=15，填153. 设(-lnn)=x, =(1-+-+-+……+)当n为奇数时，设n=2k+1，原式=[1+(-1)++(-)++(-)+…+(-)](-)=[-ln(2k+2)-(-ln(2k+2))]=[-ln(2k+2)]-(-ln(k+1)-ln2)]=x-(x-ln2)=ln2n为偶数时，原式=[1+(-1)++(-)++(-)+…+(-)+](-+)=[-ln(2k)-(-ln(2k))+]=[-ln(2k)]-(-lnk-ln2)+]=x-(x-ln2)+0=ln2总之，填ln24.如图，填5.射击的三枪，至少有一次超过9环；按超过9环的个数分为三类：⑴只有一环超过9环，⑵有两环超过10环，⑶三环全超过对于⑴只能为10+9+9，概率=0.0375；⑵为10+10+9或10+10+8，概率=0.048；⑶为10+10+10，概率=0.008总之，概率为0.0375+0.048+0.008=0.0935填0.09356.令y=x得到=再令x=y=0得到，==0或1=0时，=x；=1时，=x±1总之=x或=x+1或=x-17. |-(x+b)|≤四分之一圆,x∈[0,1]上点到两顶点连线l:x+y=1的最大距离为1-=,此时圆上点记作P，如图只有过PN的中点且平行于直线l的直线才能满足条件，于是=-1,b=； 8.设z=x+yi,(x,y∈R)，则=1，======4||=4[|=4[|=4()设其为,=8()=6(2x+1)(3x-2)==(另法) =====4-2(z+)-()+2()=4-2()-[-2]+2()[-3] -8x+6设为，用导数法求最值9.⑴设=+bx+c由三次函数的性质知：的最值在过极值点或拐点处取到。

设的极值点为t，此时+bx+c=(x-m)+bx+c=-(m+2t)+(+2tm)x-m,,消去t得到m=,从而=又=6x+的拐点为x=-,不等于-的解为x=，|x-(-)|=总之，的范围是[,]⑵+bx+c=(x-)(x-b)(x-c)由③得，c=0或=-1c=0时，于是或=-1时，，消去c,+2=0(b+1)(-2b+2)=0b+1=0或-2b+2=0b+1=0时，-2b+2=0时，设b=,=+3u(),+(3u-2)()+2=0令3u-2=0得到u=,+2=0,=-1±,,b=,,c=总之，满足条件的(,b,c)有(0,0,0),(1,-2,0),(1,-1,-1),(-,b, ),其中b=，第 4 页 共 4 页。