线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结材料.doc

特殊行列式及行列式计算方法总结几类特殊行列式1.2.上〔下〕三角行列式、对角行列式〔教材 P7例5、例6〕3.分块行列式〔教材P14例10〕以副对角线为标准的行列式0 0 川 0 ama11 a12 a1n0 川 a2,n」a2n0 W 0 气a21 a22 川 0+ f 4 < r+ h d ri h0 山 ae 0：♦ ■ ■ ■++ F 4 1 r0 •' 0 0+ q q ，0 an」,2 川 an」H an」,n+ann 0 0 01 L Jan1 HI 0 0an1 *111 an,n」 揣n(n J)K-1) 2 3^2同||旧1般化结果:An Cn m0n mBm0n>mAnCn >mABmCm知Bm0m知=(-1)" A Bm0m n BmACm n4.范德蒙行列式〔教材P18例12〕注：4种特殊行列式的结果需牢记!以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握!低阶行列式计算二阶、三阶行列式一一对角线法那么 〔教材P2、P3〕高阶行列式的计算【五种解题方法】1)利用行列式定义直接计算特殊行列式;2)3)利用行列式的性质将高阶行列式化成结果的特殊行列式;利用行列式的行〔列〕扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算适用丁行歹0式的某一行或某一歹0中有很多零元素， 并且非零元素的代数4)递推法或数学归纳法;5)升阶法〔乂称加边法〕余子式很容易计算;【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式例1 〔2001年考研题〕IIIIII020000199900IIIIIIIII002001分析：该行歹0式的特点是每行每歹0只有一个元素,因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。

解法一：定义法D =〔 _i〕心2...，2，顷2001!寸i〕0 1 2 ... 1999 0 2001! = 2001!解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n-1,n-2,…,2,1行交换〔这里n=2001〕,即进行2000次换行以后，变成副对角行列式D =〔-1 〕2001』IIIIIIIII2001002001 〔2001」〕二〔一 1〕200J〔 _ 1〕 22001! = 2001!0200019990IIIIII解法三：分块法IIIIII02000019990000III 0 0 2001IIIIII利用分块行列式的结果可以得到D=2001 -0200019990IHIII2000(2000-1)=2001 (-1) 22000!=2001!IHIH解法四：降阶定理展开 按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成结果的特殊行列式1+a 111—11 -a11——111 + b11111 -b很多，可以通过r1 —r2 和 r3分析：该行歹0式的特点是1D-%来将行列式中的很多1化成0.解:a a 0 0110 0110 01 1 —a 1 11 1-a 1 1「2-A0 -a 1 1=ab=ab0 0 b b0 0 11「4-A0 0 1 11 1 1 1 —b1 1 1 1 —b0 0 1 1 -b|D =1=ab1000-a000110011-b2b23 a3a?3a3a%afb?a2b3a，4a〔b2a2b2姑b3b：分析：该类行歹0式特点是每行a的次数递减，b的次数增加特点与范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性质将 D化成范德蒙行列式解:1 &〕81〔写81点〕811 〔4〔垣〕2〔虫〕8282821 〔野凸2凸8383831〔%也〕2也〕8484843333C 3 3 3 3D =81828384 -3 3 3 3=a〔 828384bi b2 b3 b4、v〔—,—,—,—〕8i 82 83 843 3 3 3 川 bj\aj= 81828384 I ］〔— -一〕1 •司＜4 8i练习：〔11-12年IT专业期末考试题〕’’1假设实数x, y, z各不相等，那么矩阵M =的行列式M =3. 利用行列式的行〔列〕扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算例4分析：该行列式特点是8处丁主对角线, 第一个元素，8是最后一个元素b在8后的一个位置，最后一行中b是8b0III0008bIII00IIIIII000III8bb00III08Dn解：按第一列展开:8b0IIIIII00b08b00b■1 +Dn =8 〔-1〕IIIIII+ 〔-1〕n* b8h000IIIIII8b■148 b00008=8 /+〔-1〕n +.b1 n -4 b =8n +〔T〕n +bn练习：〔11-12年期中考试题〕Dn4. 行〔列〕和相等的行列式DnIIIIIIIII分析：该行列式的特点是主对角线上元素为a ,其余位置上都是b。

可将第2,3，…,n列加到第1列上〔类似题型:教材 P12 例 8, P27 8(2))解:Dn =[a (n-1)b]IIIIII.=[a+(n—1)b]ba —bIIIHIIIIHI=[a (n -1)b](a -b)n」5. 箭头形〔爪行〕行列式分析：该类行歹0式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0,其余位置都为011川112川0103川0川川10川nD0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式解：分别从第2,3,・・・,n列提出因子2,3,…，n,然后将第2,3,…,n列分别乘以-1, 再加到第1列上1 1 1」1 1 1 10 ——-Z 7 - - III -2 3 n31 2 3 n1 1 0 川 00 1 0 HI 01 0 1 HI 0=n!0 0 1 HI 0III IIIIII III1 0 0 HI 10 0 0 HI 1D =n!n 1 顼 (一) i g I注：爪形行列式非常重要,很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成爪形行列式进行计算!练习:1)2)教材习题P28: 8〔6〕〔11-12年期末考试题〕3)〔11-12年IT期末考试题〕a-2-3III-(n-1)-n2a0III0030aIII00IIIIIIn —100IIIa0n00III0aanx x000 …0 …n-10X1a2a3川ana〔X2a3川ana1a?X3川anIIIHIa1a2a3IH Xn020x0nD =分析：该类行歹0式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同。

解:X1a2a3IIIana1 - X1X2 — &0III0a〔 - x〔0X3 ~'a3III0IIIIIIa〔 - x〔00IIIXn - aD =n= (Xi -a〔)(x2 - a2)| 11 (xn - an )(X2 -a2)||l(Xn -an)X1x〔 - a〔-1-1a2a3X3 - a301IIIHIHIHIn1寸i =4 Xi - ai0aia2X2 - a?1IIIIIIIIIanXn - an00anXn - an0ni =1 Xi -ai预(Xi-aW 'i 16. 递推法或数学归纳法该方法用丁行列式结构具有一定的对称性,教材P15例11就是递推法的经典例列式,分析:题利用同样的方法可以计算教材 P27 8(4)7.升阶法通常计算行列式都采用降阶的方法， 是行列式从高阶降到低阶，但是对丁某些行 可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算教材 P28 8(6))1+a)1III11■r1+a2IhIIII d1i■r1F1IIIR1+aDn =,㈤=0)该题有很多解法，这里重点介绍升阶法因为行列式中有很多 1,因此可以增加一行1,使得行列式变成比拟特殊或者好处理的行列式。

注意：行列式是 方形的，因此在增加一行以后还要增加一列， 以保持行列式的形状为了使行列 式的值不改变，因此增加的列为1,0,0,…,0.定理31011+a111IIIIH11"「11 -11a110IIIIII10n 1Dn =011+a2IH1=-10a2III0=a1a2..鬲(1+£ —)++■■,+■■■■i=1 ai++■++q++■Fr+F4Fq011IH1+an-100IIIan例 9 (教材 P27 6(4))1111abcdD=2,22,2a。