高二数学上学期期末复习备考讲练专题02点线面的位置关系导学案理.doc

专题02点、线、面的位置关系一、 学习目标1 •理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系.2 •熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题.3 •通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力，学会用数学方法认识世界改造世界.二、 知识梳理：1. 平面(1) 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；(2) .平面的表示：通常用希腊字母 a、B、丫表示，如平面a (通常写在一个锐角内)；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面 BG(3) 点与平面的关系：点 A在平面〉内，记作 :l ;点A不在平面:-内，记作A ':- 点与直线的关系：点 A的直线I上，记作：A€ I ； 点A在直线I夕卜，记作 A'l ;直线与平面的关系：直线 I在平面a内，记作I a ；直线I不在平面a内，记作I二a2. 公理即推论(1) 公理1: (即直线在平面内，或者平面经过直线)应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理 1： l,B・l,A•二B • I :(2) 公理2:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据(3) 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点 ，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面a和B相交，交线是a，记作a Q B = a符号语言：P A"B= A"B “，P・I公理3的作用：① 它是判定两个平面相交的方法② 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点③ 它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据4) 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行3. 空间直线与直线之间的位置关系(1) . 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 .(2) . 异面直线性质：既不平行，又不相交3) . 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 .(4). 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 Q分别引直线a'// a, b'// b,则把直线a'和b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a和b所成的角两条异面直线所成角的范围是( 0 °, 90° ］，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直说明：(1)判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理。

2)在异面直线所成角定义中，空间一点 0是任取的，而和点 0的位置无关②求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置， 顶点选在特殊的位置上 B、证明作出的角即为所求角 C 、利用三角形来求角4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补5. 空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内 有无数个公共点.直线不在平面内J相交一一只有一个公共点.(或直线在平面外)〔平行一一役有公共点*三种位置关系的符号表示： ◎二 a a Qa = A a 〃a6. 平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点; a//B相交—有一条公共直线 a n 3 = b7. 空间中的平行问题(1) 直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行 ，则该直线与此平面平行线线平行二.线面平行线面平行的性质定理：如果 那么这条直线和交线平行线面平行=线线平行(2) 平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理(1) .(线面平行t面面平行)，(2) (线线平行t面面平行)，(3 )垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理(1 )如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

(面面平行T线面平行)(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行 (面面平行t线线平行)8. 空间中的垂直问题(1) 线线、面面、线面垂直的定义① 两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直② 线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直③ 平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角)，就说这两个平面垂直2) 垂直关系的判定和性质定理① 线面垂直判定定理和性质定理判定定理：女 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行② 面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：女 性质定理：女 9. 空间角问题（1） 直线与直线所成的角① 两平行直线所成的角：规定为 0② 两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角③ 两条异面直线所成的角：过空间任意一点 o,分别作与两条异面直线 a, b平行的直线a , b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角2） 直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为 0。

②平面的垂线与平面所成的角：规定为 90 o③ 平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的 角求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角： “一作，二证，三计算”在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息： （1）斜线上一点到面的垂线；（2 ）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线3） 二面角和二面角的平面角① 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面② 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内 ..分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角③ 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④ 求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角三、典型例题例1.如图所示，空间四边形 ABCD中，E, F分别为AB AD的中点，G, H分别在BQ CDk,且BG： GC= DH： HC= 1 :2.(2) GE与 HF的交点在直线 AC上.证明(1)丁阳：GC=DH ： HCf 又 :.EFllGH, 叭 Gy H 四点共面.(2)TG、H不是丹G CD的中点…'、时GH.欢?匸面•站C" HFc^ACD.又KF/IGH, . .EG ^FH不平行」则必相交，设交点为M口巔€面ABC且Af€面在面ABC与面ACD的交线上=耐€乂住一二GE^EF的交点在直线AC上.变式练习1.如图所示，ABn a = P, CDT a = P, A D与B, C分别在平面 a的两侧，A8a= Q, BDA a = R求证：P、Q R三点共线.AB> CD可确定一个平面，设为 3 .#•/ A€ AB C€ CD B€ Ab D€ CD - A€ 3 , C€ 3 , B€ 3 , D€ 3 .••• AC? 3 , BD? 3 ,平面 a , 3 相交.T ABA a = P, ACn a = Q BDA a = R, • P , Q, R三点是平面 a与平面3的公共点.• P, Q, R都在a与3的交线上.故 P, Q, R三点共线.例2.如图，在四棱锥 P-ABCD^ ,菱形 ABCD勺对角线交于点 O, E、F分别是PC DC的中点.平面 PADL平面ABCDPDL AD求证：⑴平面EFO/平面PDA(2) PDL平面 ABCD⑶平面PACL平面PDB【证明】 ⑴T四边形屈仞是菱形，二0是恥的中点，F分别是巩\ QC的中札：・EF”PD一又忆陀平面B4D, 加u平面PAD,「.EFH平面B4D一同理F0“平面已D 而EFV\FO=F, EF、F0匚平面EFO, /.平面£/9"平面PZM(2)T平面血丄平面ABCDf PD1AD,平面PADC\平面岛CD=Q, PDc平面RiD,「•尸D丄平面43ED一(SJ'. PD丄平面 ABCD,川7匚平面 4BCD, .\AClPDfT四边形肋CD是菱形，•第C丄肋，又PDCDB=D，二AC丄平面PED, :ACc平面PAC,二平面砂C丄平面PD3【方法规律】 (1)证明两平面平行，要寻找一个平面内两相交直线平行于另一平面内两相交直线；(2)利用面面垂直的性质定理可证明线面垂直；变式练习2.如图，在四面体 ABCD中, CB= CD ADLBD点E, F分别是AB BD的中点.求证：⑴直线EF//面ACD⑵平面EFCL平面BCD【证明】 (1)在厶ABD中,••• E, F分别是 AB BD的中点，••• EF/ AD又AC?平面ACD EF?平面ACD：直线 EF/平面 ACD(2)在厶 ABD中，T ADL BD EF/ AD • EFL BD 在厶 BCD中 , •/ CD= CB F为 BD的中点，• CFL BD•/ CFA EF= F, • BD丄平面 EFC又••• BD?平面BCD二平面 EFCL平面BCD例3.如图，正方体的棱长为1 , B' Cn BCJD求：(1) AC与A' C所成角的度数；⑵AC与平面ABC靳成角的正切值；⑶ 平面AOB与平面AOC所成角的度数【解析!IAC? :.AO与川0所成的角就是ZOAC.\'0ClOBf 丄平面 Rg R 、 ,\OC1AB 且曲QBO-^：,OC丄平面肋Q 又 Q4匸平面 ABO, \OC丄QL在 KLMOC 中，OC-^f AC=^, sibZCWC^^=j/.ZMC=3(T,即#。

与£ 0所成角的度数为301⑵如图，作OE1BC于民连接血』丁平面BCCJ Bi丄平面ABCD, 丄平面肋CP,\AOAE为加与平面肋CD所成的角. 在 RtZkQlE 中，OE-^, 血二也朋十闕二寸卩+⑨二％・，・tmZOdE二卷二誓.(3) . OC丄04』OC丄他』QACSOB-O,二OUL平面AOB^'SOC^平面AOC, /.平面卫0好丄平面AOC,即平面40B与平面/OC所成角的度数为90"【方法规律】求线线角、线面角、面面角，先找出 (或作出)它们的平面角，再用解三角形的办法求其大小.变式练习3 •如图所示，在△ ABC中, AB丄BC S从平面ABC DE垂直平分SC且分别交 AC, SC于点D, E,又SA =AB SB= BC 求二面角 E-BDC的大小.【答案】60°【解析】 •/ E为SC的中点，且 SB= BC二BEL SC又DEL SCBEn DE= E, ••• SCL平面 BDE 二 BDL SC 又 SAL平面 ABC可得 SAI BD SCH SA= S, •。