专题：线段和最小值问题.ppt

通州区金郊初中通州区金郊初中 严霞严霞几何最值问题几何最值问题——线段和最小问题线段和最小问题几何最值问题几何最值问题         在平面几何动态问题中，当某几何元素在平面几何动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积以及它们的和与差）长度、图形的周长或面积以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为的最大值或最小值问题，称为几何最值问题几何最值问题.基本模型一：基本模型一：两定点在一直线两定点在一直线同侧同侧同侧同侧确定单动点问题确定单动点问题直线直线l表示草原上的一条河流，一骑马将军从表示草原上的一条河流，一骑马将军从A地出发，去地出发，去河边让马饮水，然后返回位于河边让马饮水，然后返回位于B地的驻地地的驻地.他应沿怎样的路他应沿怎样的路线行走，使路程最短？请作出这条最短路线线行走，使路程最短？请作出这条最短路线.A'P解：解：1.1.作点作点A关于关于直线直线l 的对称点的对称点A ';∴∴将军沿将军沿A       P       B的路线行走，的路线行走，    路程最短路程最短. 2. 连接接A 'B,交直交直线 l于点于点P;3. 连接接AP.模型应用模型应用——单动点问题单动点问题例例1.（（2016•南通）平面直角坐标系南通）平面直角坐标系xoy中，已知中，已知A（－（－1，，0）、）、 B（（3，，0）、）、C（（0，－，－1）三点，）三点，D（（1，，m）是一个动点，）是一个动点，  当当△△ACD的周长最小时，的周长最小时，△△ABD的面积为的面积为______.D解：连接解：连接BC，，交直线交直线x=1于点于点D, 此时此时△△ACD的周长最小的周长最小.设直线设直线BC的解析式为的解析式为y=kx+b.由题意可得：由题意可得：                   解之得解之得                       ∴∴又又D（（1，，m）在直线）在直线BC上，上，∴∴∴∴ D（（1，，-      ））, ∴∴            =基本模型二：基本模型二：两定点在两直线两定点在两直线内侧内侧内侧内侧确定双动点问题确定双动点问题如图，一骑马将军从如图，一骑马将军从A点出发，先到草地边点出发，先到草地边MN处牧马，处牧马，再到河边再到河边PQ处饮马（处饮马（MN、、PQ均为直线），然后回到驻均为直线），然后回到驻地地B处，问将军应走怎样的路线，才能使整个路程最短？处，问将军应走怎样的路线，才能使整个路程最短？请作出这条最短路线请作出这条最短路线.A'DB'CAC+CD+DB的最小的最小值= A'C+CD+DB'=A'B'思考：若将军从思考：若将军从A点出发，先到河边点出发，先到河边PQ处饮马，再到草地边处饮马，再到草地边MN处牧马呢？处牧马呢？模型应用模型应用——双动点问题双动点问题例例2.(2014 •贵港）如图，点贵港）如图，点A（（a，，1）、）、B（（-1，，b）都在）都在双曲线双曲线              （（x＜＜0）上，点）上，点P、、Q分别是分别是x轴、轴、y轴上的轴上的动点，当四边形动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，的周长取最小值时，PQ所在直线的所在直线的解析式为解析式为______________．． A'QB'P基本模型三：基本模型三：两定点在两平行直线两定点在两平行直线外侧外侧外侧外侧确定双动点问题确定双动点问题如图，如图，A、、B两地在一条河的两岸，将军想要在河上造一座桥两地在一条河的两岸，将军想要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从，桥造在何处才能使从A到到B的路线的路线AMNB最短？请作出最短？请作出这条最短路线这条最短路线.（假设河两岸平行，桥（假设河两岸平行，桥MN与河岸垂直与河岸垂直.））A'NM模型应用：模型应用：双动点问题（平移）双动点问题（平移）例例3.如图，已知如图，已知A（（-2，，5），），B（（4，，-1），线段），线段AB交交y轴于轴于点点C.过点过点C的直线的直线a∥∥x轴轴,试在直线试在直线a上找一点上找一点M，在，在x轴上轴上找一点找一点N，满足，满足MN⊥⊥x轴，求轴，求 AM+MN+NB的最小值的最小值.B'NM基本模型四：基本模型四：两定点在动线段两定点在动线段同侧同侧同侧同侧确定双动点问题确定双动点问题如图，将军从如图，将军从M点到直线点到直线l上上P点开始检阅一队士兵（士兵队伍点开始检阅一队士兵（士兵队伍沿直线排列，队伍长为沿直线排列，队伍长为a,队首为队首为P点，伍尾为点，伍尾为Q点），将军从点），将军从M点出发到达队伍头点出发到达队伍头P，从，从P到到Q检阅完队伍后再回到检阅完队伍后再回到N点，士点，士兵在什么位置列队（即选择点兵在什么位置列队（即选择点P和点和点Q的位置），使得将军走的位置），使得将军走的总路程的总路程MP+PQ+QN最短？最短？M'N'PQ模型应用：模型应用：双动点问题（平移）双动点问题（平移）例例4.如图，已知点如图，已知点A（（1，，-3），），B（（4，，-1），），C（（a，，0），），D（（a+2，，0），当四边形），当四边形ABDC的周长取最小值时，求的周长取最小值时，求a的值的值.B'B''自我总结　感悟提升自我总结　感悟提升 (1)本节课学习了哪些类型的几何最值问题？本节课学习了哪些类型的几何最值问题？(2) 在解决不同类型的几何最值问题时你能体会其中蕴含在解决不同类型的几何最值问题时你能体会其中蕴含哪些数学思想方法？哪些数学思想方法？A'DCA'P基本模型一：基本模型一：单动点问题单动点问题一次轴对称一次轴对称+两点两点间间线段线段最最短短 线段和最小问题线段和最小问题基本模型二：基本模型二：双动点问题双动点问题两次轴对称两次轴对称+两点间线段最短两点间线段最短 B'AP+PB最小最小AC+CD+DB最小最小A'NM基本模型四：基本模型四：双动点问题双动点问题平移平移+轴对称轴对称+两点间线段最短两点间线段最短 线段和最小问题线段和最小问题基本模型三：基本模型三：双动点问题双动点问题平移平移+两点间线段最短两点间线段最短转化思想转化思想转化思想转化思想数形结合思想数形结合思想数形结合思想数形结合思想M'N'PQAM+MN+NB最小最小MP+PQ+QN最小最小 当堂反馈：当堂反馈：1.如图如图,正方形正方形ABCD的面积为的面积为16,△△ABE是等边三角形是等边三角形,点点E在正在正方形方形ABCD内内,在对角线在对角线AC上有一点上有一点P,使使PD+PE的和最小的和最小,则这个则这个最小值为最小值为 (       )CB.  3            C.  4         A.    D. 2．．(2015·永州模拟永州模拟)如图，已知抛物线如图，已知抛物线 y＝＝a ＋＋bx＋＋c经过经过A(－－3，，0)，，B(1，，0)，，C(0，，3)三点，其顶点为三点，其顶点为D，对称轴与，对称轴与x轴交于点轴交于点H.若点若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，则是该抛物线的对称轴上的一个动点，则△△PBC周长的最小值为周长的最小值为____________．．当堂反馈：当堂反馈：3. 如如图图，，AB是是⊙ ⊙O的的直直径径，，AB = 8，，点点M在在⊙ ⊙O上上，，∠∠MAB = 20°，，N是是弧弧MB的的中中点点，，P是是直直径径AB上上的的一一动动点点，，若若MN =1，，则则△△PMN周长的最小值为（周长的最小值为（        ））.A.  4             B.  5              C.  6               D.  7当堂反馈：当堂反馈：B当堂反馈：当堂反馈：4.如图，在平面直角坐标系中，直线如图，在平面直角坐标系中，直线AC：：                  与与x轴交于轴交于点点A，与，与y 轴交于点轴交于点C，抛物线，抛物线                           过点过点A,C，且与，且与x轴的另一交点为轴的另一交点为B，又点，又点P是抛物线的对称轴是抛物线的对称轴l上一动点上一动点.若若△△PAC周长的最小值为周长的最小值为                 ，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式.P课后作业：课后作业：5.(2016·武汉武汉)如图如图,∠∠AOB=30°,点点M,N分别在边分别在边OA,OB上上,且且OM=1,ON=3,点点P,Q分别在边分别在边OB,OA上上,MP+PQ+QN的最小的最小值是值是__________.M'PN'Q如如图图，，在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，，直直线线                 分分别别交交x轴轴,y轴轴于于A，，B两两点点，，点点C为为OB的的中中点点,点点D在在第第二二象象限限，，且且四四边边形形AOCD为矩形为矩形.动点动点P 从点从点C出发出发,沿线段沿线段CD向终点向终点D运动，过点运动，过点P作作PH 丄丄OA，，垂足为垂足为H.点点Q是点是点B关于点关于点A的对称点，的对称点，则则BP+PH+HQ的最小值为的最小值为___________．． 课后作业：课后作业：将军品质将军品质 天下情怀天下情怀。