2021考研数学（三）真题答案.pdf

2021年考研数学( 三) 试题答案速查(1)C (2)D (3)A (4)C (5 )B (6 )D (7 )C (8 )D (9 )B (10) As i n e-1 / 兀 1 2 1 「 厂 / 1(I D — — (12)6 (13)： ( M) - r- - r + C (15 )-5 (16 )-2e 4 2 2 5(17 )兀(18 )极小值 / ( 一1,0) = 2 J( g, 0) = g - 2 I n 2(19 )| (e -l )2o(20)(1)1〃 (〃 +1)/ x； (2)S (% ) = 1,(3)21n 2-l其他;2021年全国硕士研究生入学统一考试数学( 三) 参考答案一、选择题(1) 是 『 的(A )低阶无穷小 (B )等价阶无穷小 (C )高 阶 无 穷 小(D )同阶但非等价无穷小答案:C分析：本题考查无穷小阶的判定，考生需要熟练掌握常见的等价无穷小公式；并且掌握变限积分求导.【 解析】作商并取极限：rJ；(e ''T )dr (e"〜 - 1 ) 2lim - ------= -------= lim------------------ = lim —— = 0,XT。

X A->0 x x->0故分子是分母的高阶无穷小.选C o-------x w 0⑵ /( %) = X ' 在 X = O 处1 ,x = 0(A )连续且取得极大值 (B )连续且取得极小值(C )可导且导数为零 (D )可导且导数不为零答案:D分析：本题考查连续、可导的判定，考生需熟练掌握连续、可导的定义式，以及极值存在的充分条件.el ] < 1^.2【 解析】f'( 0) = lim ' ⑴二/⑼= lim j—— = lim 巴F = H m J = ：； 可导自然连续; 选D .(3 )函数/(了)= 打一切11武>0)有2个零点，则2的取值范围是a(A) (e,m ) (B) (0,e) (C) (o,： ) (D)答案:A分析：本题考查函数零点的个数，需结合函数的单调性以及极值.b b【 解析】设/ (X) = QX— blnx,/'(x) = a — — = 0 ,得驻点尤= 一x ah h h h又 lim f(x)>0,lim f(x)> 0 只需/ ( 2 ) < 0 ,即/(4 )二b - b ln t vO ,所以 故x-*o+ z” a a a a(4)设函数/(” ， y )可微且/(x +l ， " ) = x (x +l )2 f( x,x2) = 2x2 I n x 则4 (1,1) =(A ) dx + dy (B ) dx-dy (C ) dy (D ) -dy答案:C分析：本题考查多元函数求偏导，并且是复合函数中的抽象函数求偏导，考生需熟练掌握利用链式法求复合函数的偏导数.［ 解析］由 /(x + l ,e ") = (x + I n e *,/(x , Y)= x2 I n x2 可知 f( x, j) = x2 I n y ;因此 f ； (l ,0) = 2x l ” |( w=O， Al， ° )d /(1,1) = O d x +Idy = dy.(5 )二次型y (x ” 々,当) =a + 尤 2)2+(^2+ ^ )2-(X3-X1)2的正惯性指数和负惯性指数分别为(A ) 2, 0 (B ) 1, 1 (C ) 2, 1 (D ) 1, 2答案:B分析：本题考查二次型的正负惯性指数，考生需熟练掌握如何判定可逆的线性变换，并求二次型的标准形.【 解析】二次型/(3,X 2， & ) =宛+ 。

*2 + 小；2七 +2^^，从而二次型矩阵' 0 1 1、A= 1 2 1 , 求其特征值心£一川= (/1+1)(/1-3)/1 = 0,特征值分别为(),-13故正负惯性指数分别为「 1.(6 )设A = ( % , % , % , 4 ) 为4 阶正交矩阵若矩阵8= 4 , £ = 1 次 表示任意常数， 则k J W线性方程组Ax = /3的通解为x =%+ %+ %+ & ， (B )+ a2 + c i f4 + ka3 (D ) a , + a2 + a3 + ka4答案:D分析: 考查正交矩阵的性质， 另外需要掌握方程的解的结构.解 法 : 易 知 / = <解系只有一个向量1,/ = 7 ；且a 2,%， %线性无关•因此"5 )= 3 ，从而A x = 0的基础‘ a ： 'a ；a ：I 3 7/ Ta , a、4a4= a2a4 = 0.、a；a ”即％是对应齐次方程的解;T T Ta、xa , + 囚 a 2 + a\ %a ； (a , +a2 +% ) = a J a , +a ； % +a ja3a： a, + a ： a2 + a： a3 ,11即a , +a2 +%是非齐次方程的一个特解.(7 )已知矩阵A" 1 0 1、2 - 1 1 ,若三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵。

使得241 2 -5)为对角矩阵,则P、分别取(A ) 0,00、0(B )0-120、0(C)答案:C分析：此题涉及矩阵的标准形， 考纲并不涉及这个知识点， 因此可采取特值法.【 解析】此题涉及矩阵的标准形， 考纲并不涉及这个知识点， 因此可采取特值法. 将选项代入,c0101 00 10 0i31、7/ 12、 一3ooiooi[ 0 0 1；选项成立:1、、2-30-1212-10-12-11-50、00,007o1o1317ioo010(8 )设AB为随机事件， 且 下 列 命 题 中 为 假 命 题 的 是(A )若 P (A | B ) = P (A )厕 P (A | B ) = P (A ).(B )若P (A | B )＞尸(A ),则 尸而国) ＞尸( 力(C )若 P( AI B)>P(A\ B )， 则 P(A\ B)> P(A)(D )若 P(41 A U B) > 尸(H A U B),则 P(A) > P(B)答案:D分析：本题考察条件概率的基本公式，需要考生具有一定的化简能力 解析】对 于(D )选项, 已知尸5 |4 1 1 8 )>「 苗 |41； 8),根据条件概率公式, 有P(Al (AU8)) P(A\ (AU8))>P(AUB)-------P(AU 8) '从而 P(A1 (AU B))> P(A1 (A U S))；又P(AI (AUB)) = P(A),P(AI (AUB)) = P(AAUAB) = P(AB) = P(B) - P(BA),从条件能得到P(A) > P(B) - P(BA)，但是得不到P(A)> P (B ),所 以(D )选项是假命题.⑼设(X " )， (X2， L )， …， (X”,工) 为来自总体N g " ? ；。

； , 冷P )的简单随机样本， 令-1 _ 1 « 八 _ _ 从 一〃,， x = - z x ” y = —Z x ， e = x —yjw« ,= 1 〃 /= 12 2 2 2 c(A) E④) = e,D©) =巴上巴~ (B) E④) =仇D(% =% + 6二 2 丐丐n n2 2 2 2 c(C) E ( 3 ) " Q @ =曰 十% (D) E( j )丰 a 0 ( j ) =巧 + % — Wn n答案:B【 解析】E(O)= E d - y)= E(幻一E G ) =从 一 %= 6 ；八 1D(e)= _ a (x「 "+(X2-) + …+ (x 〃 一 匕) ]nr= ，0[(X] — X )] = ，[0( X J + D( Y ) — 2Cov( X , X)]n nJ 4 - 2 a q) ；n选(B ).i _ n i । a(10)总体X的概率分布为P{X = 1} = , P{X = 2} = P{X = 3}= ——， 利用来自总体2 4X的样本观察值1,3,2,2,1,3,1,2可得6的最大似然估计值为1 3 1 5(A) — (B) — (C) — (D )—4 8 2 8答案:A分析: 考查似然估计， 属于常规考题.1 _ 0 1 I /□解法: 似然函数“。

) =(^)3- ( ——另，则取对数得:2 4I n L (6 )= 31n (l — 6 )+5 1n (l +e )— 1332,求驻点：— (I n L (^ )) = - ^ - + —= 0,(10 \-6 \ + 0解得e=L4二 、填空题(i i )若y=3 $ " " ,电=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .dx i小生 s i n e-1答案： 一 ； 一2e分析: 本题主要考查复合函数的导数， 多次复合即可.(12) / : dx =________-Uy/\x2-9\答案： 6分析: 本题首要解决的问题是去掉绝对值， 因此需要将区间分开, 然后掌握第一换元法即可.(13)设由y = 6 s i n B C (04x W l )与％轴围成，则绕x轴旋转所得旋转体的体积为_ . 7 1答案: 二4分析: 旋转体的体积， 属于常规题， 计算不出错即可.解法：V = 7 r J ； (J 7 s i n 兀r )2(i x=7 r £x s i n2(7 L r )d r— 7c [n^ -r s i n2f d r = -「P s i n ' d ZJ o 7 r 兀 J o1兀1 . 2 1 兀----- s m tdt = ­ Q兀 2 J。

4(14)差分方程A y , = 1的通解为.答案： , 产 -L+c2 2分析: 常规知识点的考查, 差分方程属于数三的专属内容. 虽然考频不高, 但一定要复习到.解 法 : 对 应 齐 次 方 程-％ = 0的特征根2 - 1 = 0, A = l ,因此齐次方程的通解为y , = C ;设非齐次方程的特解为y； = t( at + b) ,则有( t + l ) ( a r + a + b) -t( at +力 =r,解得a = ；,b =一 ； ;2 21 ) 1因此原方程的通解为yf= - t2- - t + C.x x 1 2x「 1x2-1( ⑸ 多 项 式/ ( X ) =c ,2 1x 12 - 1 1 x的/项的系数为答案： 一5分析: 本题考查的是行列式的定义, 涉及到逆序数, 属于容易忽略的考点, 提醒考生掌握基础知识.X X1 X【 解析】/ ( 幻 =2 ；2 - 11 2x2 - 1x 11 x生成( 一1 )'“ 2321)4%3 =—4?;x x 1 2x1A M ?22 - 1x 11 X,生成( 一1) ' ⑵阳管=一工3最终/ 项的系数为- 5。

16)甲乙中各装2红2白球，从甲盆中任取一球，观察颜色放入乙盆，再从乙盆中任取一球，令X , Y分别从甲乙两盆中取得红球的个数，则P x y =答案： ，5分析：本题考察二维离散型随机变量以及相关系数的基本概念.【 解析】由题可知( x , y )的联合分布律：010310210由此可得2103103 1 3 1 1E( XY) = — , E( X ) = E( Y ) = - , Co v ( X , y ) =- - - - - = —10 2 10 4 2 01 , 1叱 = 一 DX~ 2又 破221 1 I.”则2 4 41Co v ( X , r) _ 2 0 ^ 1“ 一 〃> (X ) D( y ) - 1 -54三、解答题( 17)已知l i m [ a a rc t a n , +( 1+ |幻尸] 存在， 求的值.,r->0X分析: 涉及左右极限的求法， 掌握相关的特殊函数的左右极限即可.解法:1 - 7 Cl i m [a a rc t a n —+ ( l + x ) ' ] = ­ t z + e ；1 — 兀 _ ]l i m [a a rc t a n — + ( 1 - x ) A ] = —— 〃 + e - ；i o - x 2T T 7T则其左极限等于右极限：7 a + e =- 二a + e - 1解得2 2e- 1 - ea = ----- .71( 18 )求函数 f( x, y ) = 2 I n | x | +『 ) ： + .的极值2x分析: 二元函数的极值， 属于常规题，但计算非常琐碎, 希望考生加强计算的训练.解法：£ ' O， y )2工2 -J- x 1 V令 ＜X3o,。

得驻点…4).2力 ' ( 龙 , 〉 )y2X— 2 x ? — 2 x + 3 + 3 y ~G ( x , y )x42 yX3，& ( x ， y)= J，在 ( 一1, 0)处，A = 3 >O, 8 = O, C = 1 > O , A C - B 2 > O ,所以有极小值/ ( — 1, 0) = 2 ；1,在 ( 一, 0)处，A = 2 4 >0, 8 = 0, C = 4 > 0 , A C —8 ? > 0 ,所以有2极小值/ ( g , 0) = ； — 2 1n 2 .( 19 )设有界区域是圆f + V = 1和直线＞ =%以及x轴在第一象限围成的部分, 计算二重积分“e " + 4 ( f - 9 ) ( 1rd y .D分析: 二重积分的常规考题， 但直角坐标系转化为极坐标系后再交换积分次序, 这种操作不常见， 稍微注意即可.解法：J J eu + y ) 2 (x2- y2)dxdy = gd 心 入 2 5 s叫 户 盘 8 一 户 靖 6)也=「d r 尸『L)’3 2比 J o Jon二 . 二6小小由2 0 )4dr = l£「 小？ / 一e ' ) d r° 2 o 2 °*)02= 1 eT)，o( 2 0)设 〃为正整数,y = y„M是微分方程xy'-(n + l)y = 0满足条件以⑴=— ^ ― 的解 ⑴ 求 券 ( % ): ⑵求级数Z n ( x )的收敛域及和函数.〃 = 1分析: 第⑴问涉及可分离变量的微分方程， 属常规考题; 解决了第Q)问， 第二问也就属于常规的求级数的和函数了. 当然， 两者结合起来启然会增加难度.解法： (I )孙5 + l ) y = 0化简，得 型 = ( 〃 + 1)如 ；y %两边积分，得I n | y | =( H + l ) l n | x | + q) ,化简得y = C c " M ；再由券⑴- -得。

― - —， 所以拉 ( 〃 + 1)>“( 3君( I I )记 S ( x ) = £ y.(x)M =1令l i m〃 T 8_ _ _ _ _ _1_ _ _ _ _ _ 1〃 + 2( 〃 + 1) ( 〃 + 2 )1 x “ * i< 1 ,得一I v x v l .S 1X = 1时，V- - - - - - - -收敛;£ 〃( 〃 + 1)- f _ i Y, + lX = —1时，£、) 收 敛 ; 所 以S ( x )的收敛域为［ ―1』 .t f «( « + ! )co 〃+1S ( x ) = V- - - - - - - -占〃( 〃+1)8 J 8 J + 1% ¥ - - ¥ —„=i n “ =| 〃 + 1n=l1x ”n1 - X、7d x -J ； z\ 71=1= ( l - x ) l n ( l - x ) + x ;又S⑴ = - ％) 如(1一 刈 + 幻 =1 ,所以S (九) =p ='- 11, 0001r1 ； 〃 = —L〃 = 3时，P —b1, 0001- 111、2 - 2 - 1 0【 解析】p l E — A| = - 1 2 - 2 0 = (2- / ?)(2- 3)(2- 1) D- 1 -a A-b(1)当匕= 1 时，4 =4 =1 ， 4= 3, A相似于对角矩阵，则« E - A ) = 1, a = l ;- 1 0](\ 1E —A = - 1 - 1 0— 。

0 0、 —1 -a 0>10 0‘ 1 0 0、令可逆矩阵尸= (四, 2， % ) ，使得尸 - " 尸 = / = 0 1 0、0 0 3,( 1 - 1 0]r i o3E —A = - 1 1 0— —0 1- 1 - 1 2,0 0(2)当 b = 3 时，4 =4 =3 ,4 = 1，A 相似于对角矩阵，则 r (3E —4) = 1 , 一13E —A = - I、 一 1- 1 0、1 0-a 0,‘ 1 - 10 0、° r-i- 10]<1 - 1 2]r-nE —A = - i - 10—O i l ,取 即i、T1- 2;^ 0 0 ojid’ 3 0 0、令可逆矩阵尸= (笈 ， 旦 , 河 )，使得P - 'AP =，= 0 3 0、0 0 1,(22)在区间(0, 2)上随机取一点， 将该区间分成两段， 较短一段的长度记为X ,较长一段的长度记为X .令ZYX⑴ 求X的概率密度; ⑵求Z的概率密度; ⑶求E ( y ) .r11 , 00,具他； 八Z..1,(3)21n2- l其他；【 解析】易知X + 丫 = 2, y > x > o ,且x在(O , I)上服从均匀分布;⑴ X 的概率密度/ x (x ) =1, 0 < x < 1 ,0 , 其他；⑵ Z的分布函数Fz (z )=尸｛ Z 励 ｝ = P2 -X-------zXz<1 时, ％(z ) = 0; z ..l 时，/ ^ (z ) = j '2 l d x = l —— —Z + 1Z的概率密度为人(z ) = <1(z + D20,，Z ..1,其他;⑶E=- - -l )d xJ。

2 -x= - 21n| 2- x | | {)- l = 21n2- l .。