概率3-1二维随机变量.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 二维随机变量,二维随机变量的分布函数,二维离散型随机变量,二维连续型随机变量,课堂练习,小结 布置作业,从本讲起，我们开始第五章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的,困难，我们重点讨论二维随机变量.,它是第四章内容的推广.,到现在为止，我们只讨论了一维,r.v,及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对,r.v,(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)来确定的等等.,一般地,设 是一个随机试验,它的样本空间是,设,是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个 维向,量,叫做,维随机向量,或,维随机变,量,.,以下重点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照.,X,的分布函数,一维随机变量,如果对于任意实数,二元 函数,称为二维随机变量 的,分布函数,或者称为随机,变量 和 的,联合分布函数,.,定义1,设 是二维,随机变量,一、二维随机变量的分布函数,那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,1、分布函数的函数值的几何解释：,X,Y,x,y,Xx,Yy,(x,y),随机点 落在矩形域,内的概率为,（4）关于x或y右连续,（5）对 ,有,或随机变量,X,和,Y,的,联合分布律,.,k,=1,2,离散型,一维随机变量,X,X,的分布律,k,=1,2,定义2,的值是,有限对,或,可列无限多对,是,离散型,随机变量,.,则称,设二维离散型随机变量,可能取的值是,记,如果二维随机变量,全部可能取到的不相同,称之为二维离散型随机变量 的,分布律,二、二维离散型随机变量,二维离散型随机变量 的,分布律,具有性质,也可用表格来表示随机变量,X,和,Y,的,联合分布律,.,例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设,X,为三次抛掷中正面出现的次数，而,Y,为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(,X,Y)的分布律.,解 (,X,Y,)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P,X,=0,Y,=3,P,X,=1,Y,=1,P,X,=2,Y,=1,P,X,=3,Y,=0,=3/8,=3/8,例2,(2002年数学三考研试题十一题第1小题),设随机变量U在区间-2，2上服从均匀分布，随机变量,试求X和Y的,联合,概率分布。

连续型,一维随机变量,X,X,的概率密度函数,定义3,对于二维随机变量,的分布函数,则称 是,连续型的二维随,机变量,函数 称为二维,（,X,Y,)的,概率密度,随机变量,三、二维连续型随机变量,存在非负的函数,如果,任意 有,使对于,称为随机变量,X,和,Y,的,联合概,率密度,.,或,二维连续型随机变量 的,概率密度,具有性质,此2条性质是判断f(x,y)为概率密度函数的充要条件,（,X,Y,）的概率密度的性质:,在,f,(,x,y,)的连续点,例2 设(,X,Y,)的概率密度是,(1)求k和分布函数,(2)求概率 .,积分区域,区域,解 (1),当 时,故,当 时,(2),设,G,是平面上的有界区域，其面积为,A,.若二维随机变量（,X,Y,）具有概率密度,则称,（,X,Y,）在,G,上服从,均匀分布,.,向平面上有界区域,G,上任投一质点，若质点落在,G,内任一小区域,B,的概率与小区域的面积成正比，而与,B,的位置无关.则质点的坐标（,X,Y,）,在G上服从均匀分布.,例,下面我们介绍两个常见的二维分布：,若二维随机变量（,X,Y,）具有概率密度,记作（,X,Y,）N(),则称（,X,Y,）服从参数为,的,二维正态分布,.,其中,均为常数,且,1、,二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:,X,-1,0,1,Y 0 1 2,0.05 0.1 0.1,0.1 0.2 0.1,a 0.2 0.05,求:(1)常数a的取值;,(2)P(X0,Y1);,(3)P(X1,Y1),解,(1)由p,ij,=1得:a=0.1,（2）P(X0,Y1)=,P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1),+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.1+0.2+0.1+0.2,=0.6,(3)P(X1,Y1),=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0),+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.75,练习：,2、,设,(X,Y),试求:(1)常数,A;(2)P X2,Y1;,解,(1),所以,A=6,=A/6,=1,(3)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,X,Y,0,所以,P X2,Y1=,2,1,X2,Y1,(3)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,3,2,2x+3y=6,X,Y,0,四、课堂练习,设随机变量(,X,Y,)的概率密度是,(1)确定常数,(2)求概率 .,解(1),故,(2).,思考题,(2003年数学一考研试题填空题),设二维随机变量(,X，Y)的,密度函数为,。