高等数学讲义2.pdf
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1高等数学学习指导 Chapter 1极极极限限限和和和连连连续续续1.1概概概念念念解解解析析析这一章讲了高等数学中最重要的概念−−极限. 极限的概念和思想贯穿在后面 的多数章节, 比如导数和微分, 定积分, 无穷级数等等. 先讲了数列的极限, 然后推广到 函数的极限.1.1.1数数数列列列的的的极极极限限限先从数列的极限讲起. 以数列 {xn=1n} 为例. 直观上看, 会发现当 n 越来越大时, xn越来越接近于 0. 在仔细想想, 这个过程实际上包含两个变化过程, 即数列下标 n 和数列通项 xn的变化过程, 并且这两个过程是因果关系, 因为下标 变大, 从而通项靠近于 0. 还要注意到一个靠近的程度问题. 数列通项 xn是可以无限接近于 0的, 只要数列下标 n 一直增大下去.我们期望用一个严格的数学的概念来刻画这种极限的直观理解, 引入两把尺子 n > N和 |xn− 0| < ε 来分别刻画数列下标 n 大的程度和通项靠近于 0的程度. 由于前述的两个变化过程的因果关系, 大家会发现, 给定一个尺度 ε, 数列通项 xn和 0的距离总可以小于这个尺度, 只要下标 n 足够大, 并且从某一 个下标开始, 数列通项 xn和 0的距离都小于这个尺度, 这个下标的门槛记作 N, 这个 N 是依赖于前一个尺度 ε 的. 例如, 如果想让|xn− 0| =????1n− 0????<1100,2 CHAPTER 1.3只要 n > 100 就可以了. 如果距离用一般的形式 ε 表达, 则要满足|xn− 0| =????1n− 0????< ε,只要 n >1ε. 这里的 ε 既要变也要不变, 在计算相关 联的尺度 N 时是暂时不变的, 而计算完了之后又要变为一个更小的距离.极限的定义中有几点需要理解.(1) ε 和 N 关系. N 是依赖于 ε, 但是 ε 定下来之后, N 不是唯一的. 比如前面所述的 n > 100, 当然 n > 200, n > 1000 等等 都是可以的.(2) N 的取整问题. 事实上, N 只是代表了从哪一项开始通项就和给定的常数距离 小于给定的 ε, 那么 N 不是整数也不影响它的这个作用. 比如, n > 200 表示从 201 开始, n > 200.31 也表示从 201 开始. 所以定义中的存在整数 N可以改为存在正数 N.(3) ε 的取值范围. 定义中 ε 是任意大于 0 的常数, 实际上重要的是 ε 可以连续的变化到 0, 因为 ε 的作用是 刻画通项 xn和 0的距离, 要刻画出极限的内在意义, ε 必须可以 变化到 0, 如果不能变化到 0, 也就不能刻画极限的含义了. 基于上述分析, ε 只要从某个正数开始连续变化到 0 也同样能刻画极限的含义, 于是定义中任意 ε > 0 可以改为任意 ε ∈ (0,c), c 为某个 正常数. 来看下面的例子.证明limn→∞qn= 0,|q| < 1.按照极限的定义, 给定的 ε > 0, 我们需要找到 N, 当 n > N 时, 有 |qn−0| < ε 成立. 于是解不等式|qn− 0| = |q|n< ε 可得n >lnεln|q|,从上面那个不等式可以看出当 ε ≥ 1 时,lnεln|q|< 0, 所以我们可以限制 0 < ε < 1,此时lnεln|q|> 0. 于是把上述分析的过程倒序写出来就是: 对任意给定的 ε ∈(0,1), 存在 N =lnεln|q|, 当 n > N 时, 有 |qn− 0| < ε 成立, 从而limn→∞qn= 0.实际上, 当 ε ≥ 1 时, 如果取 n >lnεln|q|(< 0), 此时都有 |qn− 0| < ε 成立, 这个事实也是有意义的. 因为 ε ≥ 1 时, 对任意的通项都有 |qn− 0| < 1 ≤ ε 成立, 此时lnεln|q|< 0 恰恰代表了从第一项开始就满足这个不等式.(4) 在用定义证明数列的极限时, 很关键的一个步骤是解一个不等式 |xn−a| < ε,而有些不等式是复杂的, 这时候可以利用放缩不等式的技巧将其转化为一个比 CHAPTER 1.4较简单的不 等式, 过程中往往用到一些常见的初等的不等式. 来看下面的例子:试证明limn→∞√3n2+ 6n + 5n + 1=√3.直接计算得到?????√3n2+ 6n + 5n + 1−√3?????=√3n2+ 6n + 5 −√3(n + 1)2n + 1=2(n + 1)(√3n2+ 6n + 5 +√3(n + 1)2)<2n · 2√3n=√3n2<1n只要1n< ε , 即 n >1ε就可以了. 这个过程的本质是利用了 N 的不唯一性, 我们选取了一个足够大的 N 来满足?????√3n2+ 6n + 5n + 1−√3?????< ε,实际上想要满足上述的不等式, n 并不需要这么大.收收收敛敛敛数数数列列列的的的性性性质质质数列收敛与否, 是数列本身的性质, 给定一个数列, 它要么收敛, 要么不收敛, 也就是发散. 同样, 有界或无界也是它本身的性质.先来谈谈数列有界的定义. 如果存在常数 M > 0, 使得任意的 n, 都有 |xn| ≤ M,则称数列是有界的, 也就是说数列所有的项的绝对值都小于同一个常数.这个 M 叫做 数列的一个界. 可以看出数列的界不是唯一的, 只要找到一个界 M ,所有比它大的数 都是数列的界. 其实数列有界的定义还可以写成: 存在常数 m,M, 使得任意的 n, 都有 m ≤ xn≤ M. 很容看出这两个定义是等价的.(要证明这两个定义是等价的, 实际上只要证明条件 |xn| ≤ M 和 m ≤ xn≤ M 等价.) 对一个数列, 如果仅 仅能找到一个 M, 满足 xn≤ M, 则称其为上有界的,M 叫做数列的一个上界. 如果仅仅能找到一个 m, 满足 xn≥ m, 则称其为下有界的, m 叫做数列的一个 下界. 可以证明一个数列有界当且仅当其上有界和下有界.那么如何定义数列无界呢? 无界就是说所有的正数都不是它的界, 仔细想想, 要说明一个 正数 M > 0 不是界, 只要有一项 |xk| > M 就行了. 于是, 我们要证明任意的正数 M > 0, 都存在 |xk| > M. 注意这个 xk的选择是依赖于 M > 0 的.我们说一个函数 f(x) 在某个区间 D 是有界的是指存在常数 M > 0, 使得任意的x ∈ D, 都有 |f(x)| ≤ M. 同数列一样, 函数也可以定义上有界和 CHAPTER 1.5下有界. 而函 数无界, 就是要说明所有的正数都不是它的界, 要说明一个正数 M > 0 不是界, 只要存在一点 xM满足 |f(xM)| > M 就行了, 而不需要所有的点都满足这个条件. 一般说来, 这个 xM是依赖于常数 M > 0的, 我用 xM表示了这个依赖关系. 但是又仔细想想, 满足 |f(xM)| > M 的点有无数个. 因为有了 xM1使得|f(xM1)| > M, 再取 |f(xM1)| 作为一个正数, 则又存在一个 xM2使得 |f(xM2)| > |f(xM1)|. 这样做下去, 可以得到一个列点{xMi}∞i=1.来看看这个函数f(x) =1xsin1x的无界性. 对于任意的 M > 0, 总存在自然数 N 满足 2Nπ +π2> M. 这是 显然的, 例如取 N = [M + 1]. 令 xM=12Nπ+π2, 很容易得到f(xM) = 2Nπ +π2> M.从上面的过程看到, sin1x不好处理, 我们取一类特定的点把正弦函数的干扰 去掉了. 我们还能看到 f(x) 有无数多的零点, 因为 {1nπ}∞n=1都是其零点.来谈收敛数列的性质.第一个性质是说收敛数列必定有界. 它的证明是先根据收敛数列的定义, 给定一个固定的 ε = 1, 于是存在一个 N, 当 n > N 时, 都有 |xn− a| < 1, 也就是 |xn| < |a| + 1. 请注意, 这个 N 是固定的一个整数, 在这之后 的所有的通项, 由刚刚的不等式知道它们是有界的, 界为 |a| + 1. 在这之前的项为有限项,再把这有限项填进去, 当然还是有界的. 教材上在取 M 这个界的时候, 利用了这样一个 基本的事实: 有限个数组成的集合一定有最大的和最小的值. 大家会发现, 数列的这个 极限的作用就是把数列从某一项开始的无穷多项都笼络在其附近, 从而保证了这个数列的 有界性. 但是反过来, 有界数列不一定收敛.{(−1)n}∞n=1就是一个反 例, 其实质是有界代表这个数列的通项会在某一个固定的范围变化, 但是它未必有一个集中 的趋势, 也就是收敛.第二个性质是收敛数列的极限是唯一的. 实际上这个很容易理解, 极限就是数列通项无限 接近的那个常数, 无限接近的当然不会是两个或是更多的常数, 只能唯一.第三是关于数列和它的子列的极限的关系. 如果一个数列是收敛的, 它的所有的子列都是 收敛的, 并且收敛到同一个极限. 这个事实是明显的. 正如同大河东入海, 它的支流也会汇集而流入大海, 而子列是数列的一部分. 实际上, 这个结论反过来也是对的, 就是如果一个数列所有的子列都收敛到同一个极限, 则这个数列 CHAPTER 1.6本身也是收敛到这个极限的. 但是让我们证明个数列所有的子列都收敛到同一个极限是做不到的, 但是有一个替代的结论:limk→∞x2k= limk→∞x2k+1= a ⇔ limn→∞xn= a,类似的有limk→∞x3k= limk→∞x3k+1= limk→∞x3k+2= a ⇔ limn→∞xn= a,可以试着证明并从中体会它的本质. 这个关于数列和它子列的极限的定理常常用来说明一 个数列的极限不存在: 如果一个数列有两个子列, 分别收敛于不同的值, 则这个数列就不是 收敛的, 就是定理的推论的内容. 比如 {(−1)n}∞n=1,它的奇数列和 偶数列都是收敛的, 但是不相等, 所以其极限不存在. 还可以知道,如果一个数列如果有 一个子列极限不存在, 则它的极限就是不存在的.第四是数列的极限的有限无关性. 这个说法似乎不是太严格, 意思是说对于一个数列, 增 加改变或者去掉有限项, 不影响它的极限, 原来存在的仍然存在, 不存在的还不存在. 仔细想想, 数列的极限是数列的一种下标无限增大所代表的通项的集中趋势, 和前面有限 项是没有关系.1.1.2函函函数数数的的的极极极限限限自变量变化的时候, 函数值也会随着变化. 所谓函数的极限, 就是自变量在某一个变化过程 中, 函数值这个因变量的变化趋势, 是和某一个值无限接近还是其他的情形, 就如同我们 研究数列的极限一样.一、极限, 单侧极限谈到自变量的变化趋势, 主要有两大类: x 和一个固定的有限点 x0无限接近, 记作 x → x0, 还有一种是自变量无限增大, 也就是无限远离原点, 记作 x → ∞.再考虑到 x 轴的方向, 那么自变量的变化趋势一共有六种: x → x0, x → x0+ 0,x → x0− 0, x → ∞, x → +∞, x → −∞.我们同样期望用一个严格的数学的概念来刻画这种极限的直观理解, 引入两把尺子 |x − x0| < δ 和 |f(x) − A| < ε 来分别刻画自变量 x 与 x0靠近的程度和因变量 f(x) 靠近于 A的程度. 由于前述的两个变化过程的 因果关系, 大家会发现, 给定一个尺度 ε, 因变量 f(x) 和 A的距离 总可以小于这个尺度, 只要自变量 x 足够靠近 x0, 也就是 |x − x0| < δ , 这个 δ 是依赖于前一个尺度 ε 的. 例如, 如果想让|ex− 1| <1100, CHAPTER 1.7只要 ln101100> x > ln99100就可以了, 写成绝对值的形式就是 |x − 0| < ln101100(我已经比较过 ln101100和 ln99100的绝对值的大小了). 如果距离用一般的形式 ε 表达, 则要满足|ex− 1| < ε,同样的道理, 只要 |x| < ln(1+ε). 这里的 ε 既要变也要不变, 在计算相关联的尺度 δ 时是暂时不变的, 而计算完了之后又要变为一个更小的距离.极限的定义中有几点需要理解.(1) 定义中要求函数 f(x) 的定义域是 x0的空心邻域, 这是因为我们考虑极限的时 只是要求自变量 x 无限靠近 x0, 但是这个过程中 x 是始终不等于 x0的, 因此函数 f(x) 在 x0点有无定义, 或者取什么值, 都和它在这个点的极限是无关的.(2) ε 和 δ 关系. δ 是依赖于 ε, 但是 ε 定下来之后, δ 不是唯一的. 比它小的都是可以的.(3) ε 的取值范围. 定义中 ε 是任意大于 0 的常数, 实际上重要的是 ε 可以连续的变化到 0, 因为 ε 的作用是 刻画因变量 f(x) 和 A的距离, 要刻画出极限的内在意义, ε 必须可以 变化到 0, 如果不能变化到 0, 也就不能刻画极限的含义了.基于上述分析, ε 只要从某个正数开始连续变化到 0 也同样能刻画极限的含义,于是定义中任意 ε > 0 可以改为任意 ε ∈ (0,c), c 为某个 正常数.(4) 单侧极限limx→x0+0f(x) 和limx→x0−0f(x) 的讨论是类似的, 只要把刻画自变量距离改为 0 < x−x0< δ 和 −δ < x−x0< 0 就行了. 需要说明的是, 为什么要定义单侧 极限? 在考虑有限区间的端点处的函数的性质或者是考虑分段函数在分段点处的性质时, 往往要单侧考虑.(5) 极限 limx→∞f(x) ,limx→−∞f(x) 和limx→+∞f(x) 类似讨论, 只要把刻画自变量距离改为 |x| > X, x < −X 和 x > X 就行了.二、极限的性质极限的局部保号性是重要的. 所谓保号性, 就是根据极限的符号来判断函数的符号. 所以 定理一定要求 limx→x0f(x) = A 中的 A 有符号, 要么正要么 负, 此时我们可以得到结论: 在比较靠近 x0的位置, 函数 f(x) 的符号和极限 A 的符号一致. 这个保号性质对于数列也是成立的. 对于极限 A = 0 保号性质不成立, 可以看下面的反例.un=(−1)nn和f(x) = sinx 在 x = 0 处不等式性质. 这个不等式性质对数列也是成立的. 性质告诉我们符号 ≥, ≤ 在取 CHAPTER 1.8极限的时候是可以保持的,f(x) ≥ (≤)0⇒limx→x0f(x) ≥ (≤)0,这里对六种极限过程都是对的, 当然此时要求 f(x) ≥ (≤)0 成立 的邻域有所不同. 但是符号 >, < 在取极限的时候是不能保持的, 也就是f(x) > (<)0⇒limx→x0f(x) ≥ (≤)0,而不能得到f(x) > (<)0⇒limx→x0f(x) > (<)0.un=1n和f(x) = x2在 x = 0 处都是反例.1.1.3极极极限限限的的的运运运算算算法法法则则则关于两个重要极限 limx→0sinxx= 1 和 limn→∞(1 +1n)n= e 的讨论.(1) limn→∞(1 +1n)n= e的另外一种 证明方法. 我们借助于一个基本的不等式(n+1)(a−b)bn≤ an+1−bn+1≤ (n+1)(a−b)an,任意 a > b > 0,n 为自然数.事实上,an+1− bn+1= (a − b)(an+ an−1b + an−2b2+ ··· + abn−1+ bn),由 a > b > 0 可得上述不等式.(i) 证明单调性. 令 a = 1 +1n, b = 1 +1n+1, 则由不等式 可得(1 +1n)n+1−(1 +1n + 1)n+1≤ (n + 1)(1n−1n + 1)(1 +1n)n=1n(1 +1n)n移项可得(1 +1n + 1)n+1≥(1 +1n)n(ii) 证明有界性. a = 1 +12n, b = 1, 则由不等式可得(1 +12n)n+1− 1 ≤ (n + 1)12n(1 +12n)n CHAPTER 1.9移项可得(1 +12n)n≤ 2,平方得到(1 +12n)2n≤ 4,所以(1 +1n)n≤ 4.(注: 这里实际上我们利用了这样一个结论, 单调的数列证明有界性只要证明其一个子列 有界就可以了, 这在很多情况下是方便简洁的.)令 a = 1 +1n, b = 1 +1n+1, 利用 an+1− bn+1> (n + 1)bn(a − b) 可得(1 +1n)n+1−(1 +1n + 1)n+1> (n + 1)(1 +1n + 1)n(1n−1n + 1)= (n + 1)(1 +1n + 1)n1n(n + 1)=(1 +1n + 1)n1n可得(1 +1n)n+1>(1 +1n + 1)n+1+(1 +1n + 1)n1n=(1 +1n + 1)n(1 +1n + 1+1n)=(1 +1n + 1)n(1 +2n + 1−1n + 1+1n)=(1 +1n + 1)n(1 +2n + 1+1n(n + 1))>(1 +1n + 1)n(1 +2n + 1+1(n + 1)2)=(1 +1n + 1)n+2即 xn> xn+1.1.1.4习习习题题题精精精讲讲讲一. 填空题1. limn→∞(1 +13+132+ ··· +13n)= limn→∞(1−13n+11−13)=32.2. limn→∞(1+3+···+(2n−1)n+3− n)= limn→∞(n+n(n−1)n+3− n)= limn→∞−3nn+3= −3. CHAPTER 1.103. limn→∞√3n2+6n+53n−2= limn→∞√3+6n+5n23−2n=√33.4. lim∆x→0√1+∆x−1∆x= lim∆x→0(√1+∆x−1)(√1+∆x+1)∆x(√1+∆x+1)= lim∆x→01√1+∆x+1=12.5.limh→0(x+h)3−x33h= limh→03x2h+3xh2+h33h= limh→03x2+3xh+h23= x2.6. 因为limx→1x3− x2− ax + 4x − 1= = limx→1(x3− 1) − (x2− 1) − a(x − 1) + 4 − ax − 1= limx→1(x2+ x + 1 − (x + 1) − a +4 − ax − 1)存在且有限, 当且仅当 4 − a = 0(想想为什么), 即 4 = a.7. 因为 limx→0xf(2x)= 2, 所以 limx→02xf(4x)= 2, 从而limx→0f(4x)x= limx→022xf(4x)=2limx→02xf(4x)=22= 18. limx→+∞√4+x22x=limx→+∞√4x2+12=12.9.limx→01−cos2xx2= limx→02sin2xx2= limx→02(sinxx)2= 2(limx→0sinxx)2= 2.10. limn→∞nsinπ2n= limn→∞π2sinπ2nπ2n=π2limn→∞sinπ2nπ2n=π2.11.limx→0(1 − 2x)2x= limx→0[(1 − 2x)1−2x](−4)=[limx→0(1 − 2x)1−2x](−4).12. limn→∞(n1+n)n= limn→∞[(1 −11+n)−(n+1)]−nn+1=[limn→∞(1 −11+n)−(n+1)]limn→∞−nn+1=1e.13.limn→∞n[ln(n + 2) − lnn] = limn→∞ln(1 +2n)n= ln limn→∞[(1 +2n)n2]2= ln[limn→∞(1 +2n)n2]2= lne2= 2.14. limx→∞3x2+ 55x + 3sin2x= limx→∞3x2+ 55x + 32xsin2x2x= limx→∞6 +10x25 +3xsin2x2x=65.15. 因为 limx→0sinx = 0, cos2x为 有界量, 根据无穷小的性质可得limx→0sinxcos2x= 0.16. 因为 limx→∞1x2+1= 0, arctanx 为 有界量, 根据无穷小的性质可得limx→∞arctanxx2+ 1= 0. CHAPTER 1.1117.考虑水平渐近线, 就是要计算limx→∞arctanxx, 因为 arctanx 为有界量,limx→∞1x= 0,根据无穷小的性质可得limx→∞arctanxx= 0,所以水平渐近线为 y = 0.18. 考虑竖直渐近线, 就是要找到满足limx→x0ln3√x = ∞ 的 x0. 因为 ln3√x 定义域为 (0,∞), 且 limx→0ln3√x = −∞, 所以竖直渐近线为 x = 0.19. 分段函数在分段点 x0处连续, 则必须满足limx→x0+f(x) = f(x0) =limx→x0−f(x),分别计算可知limx→1+f(x) = limx→1+ex− e = 0,limx→1−f(x) = limx→1−k − x = k − 1,所以 k = 1.20. 函数在点 x0处间断, 想通过补充定义的方式让这个点变为连续点, 则此点必须 是可去间断点, 并且定义limx→x0f(x) = f(x0).分别计算可知limx→1f(x) = limx→1x − 1√x − 1= limx→1√x + 1 = 2所以应该补充 f(1) = 2.21. 有理分式函数间断点只出现在分母为零的点. 间断点为 x = −1, x = 6. 进一步通过 计算可知limx→−1x + 1x2− 5x − 6= limx→−1x + 1(x − 6)(x + 1)= limx→−11x − 6= −17所以 x = −1 为可去间断点.limx→6x + 1x2− 5x − 6= limx→−11x − 6= ∞所以 x = 6 为无穷间断点.二. 选择题1. C.数列的通项为 xn=n−2n, 故 limn→∞n−2n= 1. CHAPTER 1.122. B.limn→∞4√n − n24n −4√16n8+ 1(分子分母同除最高次n2) = limn→∞4√1n7− 14n−4√16 +1n8=12.3. D.(1)limx→01ex−1= ∞,(2) limx→0+e1x不存在, 因为 limx→0+e1x= +∞, limx→0−e1x= −∞.(3) limx→∞sinx 显然不存在(4) limx→∞x21−x2= limx→∞11x2−1= −1.4. C.limx→0tanx6x=13limx→0tanx2x=13.5. D.limx→0x2sin1xsinx= limx→0xsinxxsin1x= limx→0xsinxlimx→0xsin1x= limx→0xsin1x= 0.(有界函数乘无穷小)6. B.(1) limx→∞sinxx= limx→∞1xsinx = 0(有界函数乘无穷小), (2)limx→0arctanxx= 1,(3)limx→0xsin1x= 0(有界函数乘无穷小), (4)limx→0xtanx = 0.7. B.limx→∞(1 −1kx)mx=limx→∞[(1 +1−kx)−kx]−mk=[limx→∞(1 +1−kx)−kx]−mk=e−mk8. C.limx→0(x + ex)1x= limx→0[ex(1 +xex)]1x= limx→0e[(1 +xex)exx]1ex= e[limx→0(1 +xex)exx]limx→01ex=e2.9. A.如果 limx→−1(1ax+1−3x3+1)= −1, 则必须有 limx→−11ax+1= ∞, 否则limx→−11ax+1=11−a, 而 limx→−13x3+1= ∞, 左右不等. 于是 a = 1.10. D.考虑水平渐近线, 就是要计算limx→∞x3−x2, 因为 limx→∞x3−x2= 0, 所以水平渐近线为 y = 0.11. C.limx→0sin(x−1)x(x−1)= ∞(分母趋向于0, 分子 趋向于 −sin1), 而 limx→1sin(x−1)x(x−1)= limx→11xsin(x−1)(x−1)=1(利用重要极限), 所以竖直渐近线为 x = 0.12. C. CHAPTER 1.13当 x → 0 时, f(x) 比 x 高阶, 意味着 limx→0f(x)x= 0, 通过计算可得limx→03xx= 3, limx→03√xx= ∞, limx→0x − sinxx= 1−limx→0sinxx= 0, limx→0ln(1 + 2x)x= 2 limx→0ln(1 + 2x)2x= 2.13. B.limx→1+√x2−11−x= limx→1+−√x+1√x−1= ∞,14. A.当 x → 0 时, f(x) 与 x 等价, 意味着 limx→0f(x)x= 1, 通过计算可得limx→0ln(1 + x)x= 1,limx→0√1 + x − 1x= limx→01√1 + x + 1=12limx→0sin2xx= 1 − limx→0xsinxx= 0,limx→03√xx= ∞.15. D.当 x → 0 时, f(x) 为无穷大量, 意味着 limx→0f(x) = ∞, 通过计算可得limx→0tanxx= 1,limx→0ex= 1,limx→0sin1x不存在,limx→0lnx2= ∞.16. B.f(x) 在 x = 0 处连续, 意味着 limx→0f(x) = f(0),(1)sinxx在 x = 0 无定义(2)f(x) =x,x ≤ 0;ln(1 + x),x > 0,limx→0+f(x) = limx→0+ln(1+x) = 0, limx→0−f(x) = limx→0−x = 0, 所以 limx→0f(x) = 0 =f(x).(3)limx→0ln|x| = −∞,(4)limx→0e1x不存在, 这是因为 limx→0+e1x= +∞ limx→0−e1x= 0.17. C.f(x) =sin2xx,x < 0;3x2− 2x + k,x ≥ 0,f(x) 在 x = 0 处连续, 意味着 limx→0f(x) = f(0),而 limx→0+f(x) = limx→0+3x2−2x+k = k, limx→0−f(x) = limx→0−sin2xx= 2. 所以 2 = k. CHAPTER 1.1418. B.x = 1 为间断点.19. A.f(x) =√x+1−1x,x ̸= 0;0,x = 0,limx→0f(x) = limx→0√x+1−1x= limx→01√x+1+1=12, 所以 x = 0为可去间断点.三. 解答题1. (1) 任意给定 ε > 0, 存在 N =1√ε, 当 n > N 时, 都有|1n2− 0| < ε,所以 limn→∞1n2= 0.(2) 任意给定 ε > 0, 存在 N =13(13ε− 1), 当 n > N 时, 都有|2n + 13n + 1−23| < ε,所以 limn→∞2n+13n+1= 0.2. 分子分母同时除以最高次, 可得limn→∞(n + 1)(n + 2)(n + 3)5n3+ n= limn→∞(1 +1n)(1 +2n)(1 +3n)5 +1n2=15.3. 有理化, 可得limn→∞(√n2+ n −√n2− 5n) = limn→∞(√n2+ n −√n2− 5n)(√n2+ n +√n2− 5n)(√n2+ n +√n2− 5n)= limn→∞6n(√n2+ n +√n2− 5n)= limn→∞6(√1 +1n+√1 −5n)= 3.4. 对于任意给定的正数 ε > 0, 因为 limn→∞un= a, 所以存在 N, 当 n > N 时, 都有 |un− a| < ε, 而此时亦有||un| − |a|| ≤ |un− a| < ε,所以 limn→∞|un| = |a|.5. 因为 limk→∞x2k= a,所以 对任意给定的ε, 存在N1, 使得当k > N1时, 有|x2k− a| < ε, CHAPTER 1.15又由于 limk→∞x2k−1= a, 所以存在N2, 使得当k > N2时, 有|x2k−1− a| < ε,取N = max{2N2− 1,2N1}, 于是当n > N时, 总有|xn− a| < ε,所以 limn→∞xn= a.6.(1) 对于任意给定的正数 ε > 0, 存在 δ =ε3, 当 0 < |x − 3| < δ 时, 都有|f(x) − A| = |(3x − 1) − 8| = 3|x − 3| < ε,所以 limx→33x − 1 = 8.(2) 对于任意给定的正数 ε > 0, 存在 δ = ε, 当 0 < |x − (−2)| < δ 时, 都有|f(x) − A| = |x2− 4x + 2− (−4)| = |x + 2| = |x − (−2)| < ε,所以 limx→−2x2−4x+2= −4.(3) 对于任意给定的正数 ε > 0, 存在 X =13√2ε, 当 |x| > X 时, 都有|f(x) − A| = |1 + x32x3−12| =12|x|3< ε,所以 limx→∞1+x32x3=12.7.limx→0+f(x) = limx→0+xx= 1, limx→0−f(x) = limx→0−−xx= −1, 所以 limx→0|x|x不存在.8. (1)x = 1 为分段点, limx→1+f(x) = limx→1+3x − 1 = 2, limx→1−f(x) = limx→1−2x = 2,所以 limx→1f(x) = 2.(2)limx→2f(x) = limx→23x − 1 = 5,(3)limx→0f(x) = limx→02x = 0.9. (1) limx→4x2−6x+8x2−5x+4= limx→4(x−4)(x−2)(x−1)(x−4)= limx→4x−2x−1=23.(2) limx→0√1+x−√1−xx= limx→0(√1+x−√1−x)(√1+x+√1−x)x(√1+x+√1−x)= limx→02√1+x+√1−x= 1.(3) limx→33√x + 5 − 2√x + 1 − 2= limx→3(3√x + 5 − 2)(3√(x + 5)2+ 23√x + 5 + 4)(√x + 1 + 2)(√x + 1 − 2)(√x + 1 + 2)(3√(x + 5)2+ 23√x + 5 + 4)= limx→3(x − 3)(√x + 1 + 2)(x − 3)(3√(x + 5)2+ 23√x + 5 + 4)= limx→3√x + 1 + 23√(x + 5)2+ 23√x + 5 + 4=13. CHAPTER 1.1610. 由条件可知, 若要 limx→3x2−2x+kx−3= 4, 必有limx→3x2− 2x + k = 3 + k = 0,即 k = −3.11. limx→−1x3− ax2− x + 4x + 1= limx→−1(x3+ 1) − a(x2− 1) − (x + 1) + 4 − ax + 1= limx→−1(x2− x + 1 − a(x − 1) − 1 +4 − ax + 1)= b必有 4 = a, 2 + 2a = b, 即 a = 4,b = 10.12. 因为nπ√n2+ n<π√n2+ 1+π√n2+ 2+ ··· +π√n2+ n
