高等代数-线性空间课件.ppt

第三章第三章 线性空间线性空间Linear Spacel l线性空间是高等代数主要研究的对象线性空间是高等代数主要研究的对象l l体现了代数学中研究其他代数结构的基体现了代数学中研究其他代数结构的基本思路本思路基本思路基本思路l l元素之间的研究元素之间的研究——线性关系线性关系包括线性表出（线性组合）、线性相关、线包括线性表出（线性组合）、线性相关、线包括线性表出（线性组合）、线性相关、线包括线性表出（线性组合）、线性相关、线性无关、空间的基和坐标、基之间的过渡矩性无关、空间的基和坐标、基之间的过渡矩性无关、空间的基和坐标、基之间的过渡矩性无关、空间的基和坐标、基之间的过渡矩阵阵阵阵l l子结构的研究子结构的研究——从内部研究代数结构从内部研究代数结构子空间和子空间的直和子空间和子空间的直和子空间和子空间的直和子空间和子空间的直和l l映射映射——从外部研究代数结构从外部研究代数结构线性映射和线性变换线性映射和线性变换线性映射和线性变换线性映射和线性变换线性空间理论的应用线性空间理论的应用l l矩阵的秩矩阵的秩——对矩阵分类对矩阵分类l l线性方程组解的结构线性方程组解的结构目的要求目的要求•掌握掌握数域数域的定义的定义, 正确判断数域和数环正确判断数域和数环•熟练掌握熟练掌握线性空间线性空间的概念、基本性质；的概念、基本性质；•正确判断一个集合对于给定的运算是否构正确判断一个集合对于给定的运算是否构成一个线性空间成一个线性空间集合集合ØØ若干个事物的整体称为集合若干个事物的整体称为集合若干个事物的整体称为集合若干个事物的整体称为集合( (记作记作记作记作A, B, CA, B, C等等等等) )ØØ组成集合的事物称为元素组成集合的事物称为元素组成集合的事物称为元素组成集合的事物称为元素( (记作记作记作记作a a, , b b, , c c等等等等) )ØØ集合具有：确定性、互异性、无序性集合具有：确定性、互异性、无序性集合具有：确定性、互异性、无序性集合具有：确定性、互异性、无序性ØØ元素与集合的关系：属于元素与集合的关系：属于元素与集合的关系：属于元素与集合的关系：属于( (∈∈∈∈) )，不属于，不属于，不属于，不属于( )( )ØØ集合的表示：列举法；描述法集合的表示：列举法；描述法集合的表示：列举法；描述法集合的表示：列举法；描述法ØØ集合与集合的关系集合与集合的关系集合与集合的关系集合与集合的关系 ØØ集合的运算集合的运算集合的运算集合的运算数域数域l l定义定义若集合若集合若集合若集合KK中任意两个数作某一运算后的结果仍然在中任意两个数作某一运算后的结果仍然在中任意两个数作某一运算后的结果仍然在中任意两个数作某一运算后的结果仍然在KK中，则称中，则称中，则称中，则称KK关于这个运算关于这个运算关于这个运算关于这个运算封闭封闭封闭封闭。

l l定义定义 复数集复数集复数集复数集C C的子集的子集的子集的子集KK称为称为称为称为数域数域数域数域，若其满足下列条件，若其满足下列条件，若其满足下列条件，若其满足下列条件: :Ø至少包含两个不同元素至少包含两个不同元素至少包含两个不同元素至少包含两个不同元素Ø该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭注注注注 若数集只对若数集只对若数集只对若数集只对加、减、乘封闭，称为加、减、乘封闭，称为加、减、乘封闭，称为加、减、乘封闭，称为数环数环数环数环数域数域_例例l l例例例例1 1. . 有理数域有理数域有理数域有理数域；；；；实数域实数域实数域实数域R R；；；；复数域复数域复数域复数域C.C. l l例例例例2 2. .l l例例例例3 3. . π π为圆周率为圆周率为圆周率为圆周率. . 形如形如形如形如 的数的数的数的数的全体构成一个数域的全体构成一个数域的全体构成一个数域的全体构成一个数域. . 其中其中其中其中n n, , mm为自然数或为自然数或为自然数或为自然数或0, 0, l l例例例例4. 4. 自然数集自然数集自然数集自然数集N N既不是数环，也不是数域既不是数环，也不是数域既不是数环，也不是数域既不是数环，也不是数域. . 而整数集而整数集而整数集而整数集Z Z是数环，不是数域是数环，不是数域是数环，不是数域是数环，不是数域. .数域数域_例例l l例例例例5 5. . 是数环是数环是数环是数环, , 非数域非数域非数域非数域. .l l例例例例6 6. . 所有偶数集合是数环所有偶数集合是数环所有偶数集合是数环所有偶数集合是数环, , 不是数域不是数域不是数域不是数域. .l l例例例例7 7. . 是数域是数域是数域是数域. . 不是数域不是数域不是数域不是数域, , 是数环是数环是数环是数环. . 不是数环不是数环不是数环不是数环, , 也非数域也非数域也非数域也非数域. .l l命题命题命题命题 任一数域必包含任一数域必包含任一数域必包含任一数域必包含0, 1.0, 1.l l命题命题命题命题 任一数域必包含有理数域任一数域必包含有理数域任一数域必包含有理数域任一数域必包含有理数域Q.Q.l l命题命题命题命题 R R和和和和C C之间不存在任何其他数域之间不存在任何其他数域之间不存在任何其他数域之间不存在任何其他数域. .数域数域_等价定义等价定义l l定义定义 数集数集数集数集KK称为称为称为称为数域数域数域数域，若其满足下列条件，若其满足下列条件，若其满足下列条件，若其满足下列条件: :Ø至少包含至少包含至少包含至少包含0 0，，，，1 1Ø该集合关于通常数的加、减、乘、除运算该集合关于通常数的加、减、乘、除运算该集合关于通常数的加、减、乘、除运算该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭封闭封闭封闭线性空间线性空间_1l l定义定义 V: V: 非空非空非空非空集合集合集合集合，，，，K: K: 数域数域数域数域V V上定义上定义上定义上定义: : 元素的元素的元素的元素的加法加法加法加法 KK中的数与中的数与中的数与中的数与V V中元素的中元素的中元素的中元素的数乘数乘数乘数乘关于加法和数乘满足关于加法和数乘满足关于加法和数乘满足关于加法和数乘满足八条运算规则八条运算规则八条运算规则八条运算规则————称称称称V V是数域是数域是数域是数域KK上的上的上的上的线性空间线性空间线性空间线性空间( (向量空间向量空间向量空间向量空间) )。

l l向量运算规则（八条运算规则）向量运算规则（八条运算规则）向量运算规则（八条运算规则）向量运算规则（八条运算规则）(1) (1) 加法交换律加法交换律加法交换律加法交换律(2) (2) 加法结合律加法结合律加法结合律加法结合律数乘与加法的协调数乘与加法的协调0向量存在性向量存在性负向量存在性负向量存在性对任意对任意对任意对任意α,βα,β, , γ γ∈∈∈∈ V, V, 任意任意任意任意a a, , b b∈∈∈∈KK, , 都有都有都有都有线性空间线性空间_2注注注注1 1 线性空间必须对所定义的加法和数乘封闭线性空间必须对所定义的加法和数乘封闭注注注注2 2 满足以上八条规则的加法及数乘运算称为满足以上八条规则的加法及数乘运算称为线性线性运算运算注注注注3 3 线性空间中元素又称线性空间中元素又称向量向量，线性空间也称为，线性空间也称为向向量空间量空间注注注注4 4 同一集合同一集合V上定义了不同的加法和数乘运算，其上定义了不同的加法和数乘运算，其相应的零向量（元素）和每个向量对应的负向相应的零向量（元素）和每个向量对应的负向量可能不同甚至对有的定义可以构成线性空量可能不同。

甚至对有的定义可以构成线性空间，而对其他定义无法构成线性空间间，而对其他定义无法构成线性空间所有颜色所有颜色所有颜色所有颜色所有颜色所有颜色, ,均可用红绿蓝三色线性组合得到均可用红绿蓝三色线性组合得到均可用红绿蓝三色线性组合得到均可用红绿蓝三色线性组合得到255 0 0 31 174 225126 166 90173 61 195 R G B 线性空间线性空间_例例l l例例1l l例例2 l l例例3l l例例4 l l注注1 以上集合关于通常意义的加法和数乘构成以上集合关于通常意义的加法和数乘构成以上集合关于通常意义的加法和数乘构成以上集合关于通常意义的加法和数乘构成KK上上上上 线性空间线性空间线性空间线性空间l l注注2 不构成不构成不构成不构成KK上线性空间上线性空间上线性空间上线性空间. .n维向量维向量_1l l定义定义定义定义 数域数域数域数域KK，，，，a a1 1, , a a2 2, …, , …, a an n∈∈∈∈K, K, K K上的上的上的上的n n维维维维行向量行向量行向量行向量: : K K上的上的上的上的n n维维维维列向量列向量列向量列向量: :l l注注注注 n n维行向量可看成是一个维行向量可看成是一个维行向量可看成是一个维行向量可看成是一个1×1×n n 矩阵，矩阵，矩阵，矩阵，n n维列向量可以看维列向量可以看维列向量可以看维列向量可以看成是一个成是一个成是一个成是一个n n×1×1矩阵。

向量的运算及等的定义与矩阵完全相矩阵向量的运算及等的定义与矩阵完全相矩阵向量的运算及等的定义与矩阵完全相矩阵向量的运算及等的定义与矩阵完全相同n维向量维向量_2l l向量的运算向量的运算向量的运算向量的运算 (1)(1) 加法加法加法加法若若若若 , , 则则则则 (2)(2) 数乘数乘数乘数乘若若若若 , , 则则则则n维向量维向量_3l l向量运算规则（八条运算规则）向量运算规则（八条运算规则）向量运算规则（八条运算规则）向量运算规则（八条运算规则）(1) (1) 加法交换律加法交换律加法交换律加法交换律(2) (2) 加法结合律加法结合律加法结合律加法结合律数乘与加法的协调数乘与加法的协调0向量存在性向量存在性负向量存在性负向量存在性线性空间线性空间_例例l l例例例例4 4 关于通常意义下的矩阵加法和数乘，关于通常意义下的矩阵加法和数乘，关于通常意义下的矩阵加法和数乘，关于通常意义下的矩阵加法和数乘，KKmm× ×n n为为为为KK上上上上的一个线性空间的一个线性空间的一个线性空间的一个线性空间. . 但未必是但未必是但未必是但未必是R(R(或或或或C)C)上的线性空间上的线性空间上的线性空间上的线性空间. . l l例例例例5 5 C C是实数域是实数域是实数域是实数域R R上的线性空间上的线性空间上的线性空间上的线性空间. R. R是是是是R R上的线性空间上的线性空间上的线性空间上的线性空间. .注注注注 R R不是不是不是不是C C上线性空间上线性空间上线性空间上线性空间, Z, Z不是不是不是不是上线性空间上线性空间上线性空间上线性空间. .n n例例例例6 6 零空间零空间零空间零空间线性空间性质线性空间性质l l性质性质性质性质1 1 零向量是唯一的零向量是唯一的零向量是唯一的零向量是唯一的. .l l性质性质性质性质2 2 负向量也是唯一的负向量也是唯一的负向量也是唯一的负向量也是唯一的. .l l性质性质性质性质3 3 目的要求目的要求•熟练掌握熟练掌握线性相关线性相关、、线性无关线性无关的定义的定义•熟练掌握熟练掌握判定向量组的判定向量组的线性关系线性关系的方法的方法向量的线性关系向量的线性关系_1l l 定义定义定义定义 V: V: 数域数域数域数域KK上线性空间上线性空间上线性空间上线性空间, , , , 若存在若存在若存在若存在KK中中中中不全为零不全为零不全为零不全为零的数的数的数的数a a1 1, , a a2 2, …, , …, a amm, , 使得使得使得使得 则称则称则称则称 线性相关线性相关线性相关线性相关；否则称他们；否则称他们；否则称他们；否则称他们线性无关线性无关线性无关线性无关。

l l注注注注1 1 相关性与数域有关相关性与数域有关相关性与数域有关相关性与数域有关l l注注注注2 2 线性相关不能称为线性相关不能称为线性相关不能称为线性相关不能称为” ”线性有关线性有关线性有关线性有关” ” 线性无关不能称为线性无关不能称为线性无关不能称为线性无关不能称为” ”线性不相关线性不相关线性不相关线性不相关” ”向量的线性关系向量的线性关系_2l l注注注注3 3 线性无关等价定义线性无关等价定义线性无关等价定义线性无关等价定义 设设设设 , , 则则则则 线性无关线性无关线性无关线性无关 若存在若存在若存在若存在KK中数中数中数中数a a1 1, , a a2 2, …, , …, a amm, , 使得使得使得使得 则必有则必有则必有则必有a a1 1= = 0 0，，，，a a2 2= = 0 0，，，，……，，，，a amm= = 0 0 只要只要只要只要KK中数中数中数中数a a1 1, , a a2 2, …, , …, a amm不全为零不全为零不全为零不全为零, , 则必有则必有则必有则必有 向量的线性关系向量的线性关系_3l l定义定义定义定义设设设设V V是数域是数域是数域是数域KK上的线性空间上的线性空间上的线性空间上的线性空间, , 若存在若存在若存在若存在KK中中中中mm个数个数个数个数 , , 使使使使则称则称则称则称 线性组合线性组合线性组合线性组合, , 或称向量或称向量或称向量或称向量用用用用 线性表示线性表示线性表示线性表示. .例例l l例例例例1 1 单个向量线性相关单个向量线性相关单个向量线性相关单个向量线性相关其为其为其为其为0 0向量向量向量向量含含含含0 0向量的向量组必线性相关向量的向量组必线性相关向量的向量组必线性相关向量的向量组必线性相关l l例例例例2 2 设设设设V V是是是是n n维行维行维行维行/ /列向量空间列向量空间列向量空间列向量空间, , 则则则则两向量线性相关两向量线性相关两向量线性相关两向量线性相关所有分量成比例所有分量成比例所有分量成比例所有分量成比例标准单位行标准单位行标准单位行标准单位行/ /列向量列向量列向量列向量 线性无关线性无关线性无关线性无关l l例例例例3 3 因因因因 , , 则则则则 线性相关线性相关线性相关线性相关. .例例l l例例例例4 4 判定判定判定判定 的相关性的相关性的相关性的相关性. .注注注注 可把相关性问题转化为线性方程组问题可把相关性问题转化为线性方程组问题可把相关性问题转化为线性方程组问题可把相关性问题转化为线性方程组问题l l例例例例5 5 设设设设 , , 则则则则1) 1) 可由可由可由可由 线性表示线性表示线性表示线性表示2) 2) 线性无关线性无关线性无关线性无关 3) 3) 线性相关线性相关线性相关线性相关 共线共线, 所以所以 线性相关线性相关 与与 不共线不共线, 所以所以 线性无关线性无关在在XOY平面上平面上平面中任意向量平面中任意向量 α＝＝(a, b) 均可用均可用(1 , 0) , (0 , 1)线性组合表示线性组合表示在二维平面上，任在二维平面上，任意三个意三个(及三个以上及三个以上)向量必定线性相关向量必定线性相关(a, b)ab11 共面共面, 故线性相关故线性相关在三维空间上在三维空间上必线性相关必线性相关在三维空间中在三维空间中, 任任意四意四(或以上或以上)个向个向量必线性相关量必线性相关在在在在R R3 3上上上上向量的线性关系向量的线性关系_性质性质1l l性质性质性质性质1 1 若若若若 是数域是数域是数域是数域KK上线性空间上线性空间上线性空间上线性空间V V的线性相的线性相的线性相的线性相关向量组关向量组关向量组关向量组, , 则任一包含该组向量的向量组必线性相则任一包含该组向量的向量组必线性相则任一包含该组向量的向量组必线性相则任一包含该组向量的向量组必线性相关关关关. .若若若若 是数域是数域是数域是数域KK上线性空间上线性空间上线性空间上线性空间V V的线性无的线性无的线性无的线性无关向量组关向量组关向量组关向量组, , 则从该向量组中任意取出一组向量必线则从该向量组中任意取出一组向量必线则从该向量组中任意取出一组向量必线则从该向量组中任意取出一组向量必线性无关性无关性无关性无关. . 向量的线性关系向量的线性关系_性质性质2性质性质性质性质2 2设设设设 是数域是数域是数域是数域KK上线性空间上线性空间上线性空间上线性空间V V中的向中的向中的向中的向量量量量, , 则则则则 线性相关线性相关线性相关线性相关 中至少有一个向量是其余向量的中至少有一个向量是其余向量的中至少有一个向量是其余向量的中至少有一个向量是其余向量的线性组合线性组合线性组合线性组合向量的线性关系向量的线性关系_性质性质3l l性质性质性质性质3 3 （形象表示）（形象表示）（形象表示）（形象表示）向量的线性关系向量的线性关系_性质性质4l l性质性质4 (习题习题)l l特别提示特别提示特别提示特别提示 复习复习n n n n n n“ “短短短短” ”向量组线性无关向量组线性无关向量组线性无关向量组线性无关, , 则则则则“ “长长长长” ”向量组也线向量组也线向量组也线向量组也线性无关性无关性无关性无关. . n n n n 目的要求目的要求•正确理解正确理解和和掌握掌握基基的概念的概念, 基与基与极大无关组极大无关组的联系和区别的联系和区别•掌握掌握坐标坐标与基的关系与基的关系 所有颜色所有颜色所有颜色所有颜色, ,均可用红绿均可用红绿均可用红绿均可用红绿蓝三色线性组合得到蓝三色线性组合得到蓝三色线性组合得到蓝三色线性组合得到255 0 0 31 174 225126 166 90173 61 195 R G B 极大无关组极大无关组_1l l定义定义定义定义极大线性无关组极大线性无关组，简称简称极大无关组极大无关组。

注注注注1:1: (2)可替换为可替换为: S中任意向量都可用中任意向量都可用 线性表示线性表示.注注注注2: 2: 任意有限个向量任意有限个向量任意有限个向量任意有限个向量( (不全为零向量不全为零向量不全为零向量不全为零向量) )组成向量组必存在极大无组成向量组必存在极大无组成向量组必存在极大无组成向量组必存在极大无关组关组关组关组极大无关组极大无关组_2l l极大无关组的计算极大无关组的计算极大无关组的计算极大无关组的计算极大无关组极大无关组_3l l引理引理1 设设设设S S1 1, S, S2 2是是是是V V中两组向量且中两组向量且中两组向量且中两组向量且S S1 1含有含有含有含有r r 个向量个向量个向量个向量, , S S2 2含有含有含有含有s s个向量个向量个向量个向量. . 如果如果如果如果S S1 1组向量线性无关且组向量线性无关且组向量线性无关且组向量线性无关且S S1 1组中每组中每组中每组中每个向量均可表示为个向量均可表示为个向量均可表示为个向量均可表示为S S2 2组向量的线性组合组向量的线性组合组向量的线性组合组向量的线性组合, , 则则则则 r r ≤ ≤ s. s.l l引理引理2 若若若若S S1 1, S, S2 2是两组向量且都是线性无关的向量是两组向量且都是线性无关的向量是两组向量且都是线性无关的向量是两组向量且都是线性无关的向量组组组组. . 又假定又假定又假定又假定S S1 1中的任一向量可用中的任一向量可用中的任一向量可用中的任一向量可用S S2 2中向量的线性组中向量的线性组中向量的线性组中向量的线性组合来表示合来表示合来表示合来表示, S, S2 2中任一向量也可用中任一向量也可用中任一向量也可用中任一向量也可用S S1 1中向量的线性组中向量的线性组中向量的线性组中向量的线性组合来表示合来表示合来表示合来表示, , 则这两组向量所包含的向量个数相等则这两组向量所包含的向量个数相等则这两组向量所包含的向量个数相等则这两组向量所包含的向量个数相等. .向量组的秩向量组的秩l l命题命题命题命题 l l定义定义定义定义设设设设S S是是是是KK上线性空间上线性空间上线性空间上线性空间V V中的向量组，则中的向量组，则中的向量组，则中的向量组，则S S的任一极的任一极的任一极的任一极大线性无关组所含的向量数大线性无关组所含的向量数大线性无关组所含的向量数大线性无关组所含的向量数 r r 称为向量组称为向量组称为向量组称为向量组S S的的的的秩秩秩秩，，，，用符号用符号用符号用符号r r (S) (S) 表示。

表示l l注注注注 向量组的秩是唯一的向量组的秩是唯一的向量组的秩是唯一的向量组的秩是唯一的. .线性空间的基线性空间的基l l定义定义定义定义注注注注1 1 一般来说一般来说一般来说一般来说, , n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间V V的基不唯一确定的基不唯一确定的基不唯一确定的基不唯一确定. . 实际上实际上实际上实际上V V中中中中任意任意任意任意n n个线性无关的向量组都可以作个线性无关的向量组都可以作个线性无关的向量组都可以作个线性无关的向量组都可以作V V的一组基的一组基的一组基的一组基. . 注注注注2 2 线性空间线性空间线性空间线性空间V V的维数唯一的维数唯一的维数唯一的维数唯一, , 即基所含向量个数即基所含向量个数即基所含向量个数即基所含向量个数, , 记做记做记做记做dimVdimV. . 注注注注3 3 线性空间的基也就是线性空间的一个极大无关组线性空间的基也就是线性空间的一个极大无关组线性空间的基也就是线性空间的一个极大无关组线性空间的基也就是线性空间的一个极大无关组. . l l命题命题命题命题 n n维线性空间的任意维线性空间的任意维线性空间的任意维线性空间的任意n n+1+1个向量必线性相关个向量必线性相关个向量必线性相关个向量必线性相关. .基基基基维维维维基与坐标基与坐标(a , b)XOY平面上任意向量可用两过零点不共线向量线性表示平面上任意向量可用两过零点不共线向量线性表示; 即任意两过零点不共线向量都可以作为即任意两过零点不共线向量都可以作为XOY平面的一组基平面的一组基. 从而从而XOY平面的维数为平面的维数为2 . 例例n n例例1 RR的基与维数的基与维数n n例例2 RC的基与维数的基与维数n n例例3 CC的基与维数的基与维数n n例例4 Km×n的基与维数的基与维数n n例例5 Kn×1的基与维数的基与维数n n例例6 Kn[x]的基与维数的基与维数2 2是基是基是基是基, 6/7, 6/7也是基也是基也是基也是基, , 维数维数维数维数1 1线性空间的基和维数线性空间的基和维数l l基的等价定义基的等价定义基的等价定义基的等价定义 ü 线性无关且线性无关且线性无关且线性无关且V V中任意向量可由中任意向量可由中任意向量可由中任意向量可由 线性表示线性表示线性表示线性表示; ;ü 线性无关线性无关线性无关线性无关; ;üüV V中任意向量可由中任意向量可由中任意向量可由中任意向量可由 线性表示线性表示线性表示线性表示; ;üüV V中任意向量可由中任意向量可由中任意向量可由中任意向量可由 线性表示，且表示式唯一线性表示，且表示式唯一线性表示，且表示式唯一线性表示，且表示式唯一; ;üü 线性无关，且线性无关，且线性无关，且线性无关，且V V中任意向量添加到中任意向量添加到中任意向量添加到中任意向量添加到 中所成的新向量组线性相关中所成的新向量组线性相关中所成的新向量组线性相关中所成的新向量组线性相关; ;维数与线性关系维数与线性关系_1l l推论推论推论推论 (1)(1) n n维线性空间任一组基都含有维线性空间任一组基都含有维线性空间任一组基都含有维线性空间任一组基都含有n n个向量个向量个向量个向量. . (2) (2) n n维线性空间中任一超过维线性空间中任一超过维线性空间中任一超过维线性空间中任一超过n n个向量的向量组必线性相关个向量的向量组必线性相关个向量的向量组必线性相关个向量的向量组必线性相关. .l l定理定理定理定理 ( (扩基扩基扩基扩基) )例例l l例例例例7 7 在在在在KK2×22×2中中中中, , 证证证证 线性无关线性无关线性无关线性无关, , 并扩为并扩为并扩为并扩为KK2×22×2的基的基的基的基. .维数与线性关系维数与线性关系_2l l命题命题命题命题l l注注注注 命题表明命题表明命题表明命题表明, , 若若若若取定取定取定取定V V中的一组基中的一组基中的一组基中的一组基, , 则则则则V V中任一中任一中任一中任一向量可以而且只可以用一种方式表示为这组基的向量可以而且只可以用一种方式表示为这组基的向量可以而且只可以用一种方式表示为这组基的向量可以而且只可以用一种方式表示为这组基的线性组合线性组合线性组合线性组合. .向量的坐标向量的坐标l l定义定义定义定义坐标坐标坐标坐标，，例例l l例例例例8 8 求求求求结论结论结论结论 向量的坐标依赖于基向量的坐标依赖于基向量的坐标依赖于基向量的坐标依赖于基, , 基不同基不同基不同基不同, , 坐标就可能不同坐标就可能不同坐标就可能不同坐标就可能不同. .目的要求目的要求•正确理解正确理解映射映射、、单射单射、、满射满射、、一一映射一一映射的的概念概念•掌握掌握线性空间的线性空间的同构同构与集合的一一映射的与集合的一一映射的联系和区别联系和区别映射映射_1定义定义 若若若若 , , 有有有有U U 中唯一一个元素中唯一一个元素中唯一一个元素中唯一一个元素 与之对应与之对应与之对应与之对应, , 则称这样的对应为则称这样的对应为则称这样的对应为则称这样的对应为V V 到到到到U U 的的的的映射映射映射映射, , 记作：记作：记作：记作： 并记并记并记并记1 1）映射）映射）映射）映射 为为为为映上映上映上映上或或或或满满满满射射射射: :若若若若2 2））））单单单单射射射射 : :若若若若 必有必有必有必有或等价于或等价于或等价于或等价于 若若若若 则必有则必有则必有则必有3 3））））一一一一一一一一映射：既满又单的映射映射：既满又单的映射映射：既满又单的映射映射：既满又单的映射等价于等价于等价于等价于 唯一唯一唯一唯一 使得使得使得使得原像像定义域值域例例l l例例例例1 1 判断下列映射判断下列映射判断下列映射判断下列映射l l例例例例2 2 l l例例例例3 3 映射映射_2定义定义定义定义定义定义定义定义命题命题命题命题 设映射设映射设映射设映射 则则则则 为一一映射为一一映射为一一映射为一一映射注注注注 称称称称 为为为为 的的的的逆映射逆映射逆映射逆映射，记作，记作，记作，记作映射映射_3命题命题命题命题 设映射设映射设映射设映射 1 1）若）若）若）若 是满的，则是满的，则是满的，则是满的，则 也是满的；也是满的；也是满的；也是满的；2 2）若）若）若）若 是单的，则是单的，则是单的，则是单的，则 也是单的也是单的也是单的也是单的; ;3 3）若）若）若）若 是一一的，则是一一的，则是一一的，则是一一的，则 也是一一的也是一一的也是一一的也是一一的. .线性映射线性映射定义定义定义定义 设设设设V, U V, U 是数域是数域是数域是数域KK上的两个线性空间上的两个线性空间上的两个线性空间上的两个线性空间, , 映射映射映射映射 满足满足满足满足1 1）对任意的）对任意的）对任意的）对任意的2 2）对任意的）对任意的）对任意的）对任意的则称则称则称则称 是是是是V V到到到到U U的的的的线性映射线性映射线性映射线性映射. .同构映射同构映射_1定义定义定义定义 设设设设V, U V, U 是数域是数域是数域是数域KK上的两个线性空间上的两个线性空间上的两个线性空间上的两个线性空间, , 若存在若存在若存在若存在映射映射映射映射 , , 满足满足满足满足1 1）））） 是一一映射是一一映射是一一映射是一一映射, , 即即即即 是单射且是满射是单射且是满射是单射且是满射是单射且是满射2 2）））） 是线性映射是线性映射是线性映射是线性映射则称则称则称则称 是一个是一个是一个是一个同构映射同构映射同构映射同构映射, , 并称并称并称并称V V和和和和U U是是是是同构线同构线同构线同构线性空间性空间性空间性空间, , 记做记做记做记做 . .例例l l例例例例3 3l l例例例例4 4l l例例例例5 5 同构映射同构映射_2l l定理定理 数域数域数域数域KK上的任一上的任一上的任一上的任一n n维线性空间均与维线性空间均与维线性空间均与维线性空间均与KK上的上的上的上的n n维向维向维向维向量空间同构量空间同构量空间同构量空间同构. .同构映射同构映射_3l l定理定理 (1) (1) 设设设设V V、、、、U U线性同构线性同构线性同构线性同构, , 同构映射为同构映射为同构映射为同构映射为 (2) (2) 同构映射将线性相关的向量组变成线性相关同构映射将线性相关的向量组变成线性相关同构映射将线性相关的向量组变成线性相关同构映射将线性相关的向量组变成线性相关的向量组的向量组的向量组的向量组, ,将线性无关的向量组变成线性无关的将线性无关的向量组变成线性无关的将线性无关的向量组变成线性无关的将线性无关的向量组变成线性无关的向量组向量组向量组向量组. . (3) (3) 同构关系是一个等价关系同构关系是一个等价关系同构关系是一个等价关系同构关系是一个等价关系. . 即即即即 (4) (4) 数域数域数域数域KK上的两个有限维线性空间同构的充要上的两个有限维线性空间同构的充要上的两个有限维线性空间同构的充要上的两个有限维线性空间同构的充要条件是它们具有相同的维数条件是它们具有相同的维数条件是它们具有相同的维数条件是它们具有相同的维数. .目的与要求目的与要求•掌握掌握过渡矩阵过渡矩阵的概念及有关性质的概念及有关性质•掌握掌握同一向量在不同基下的同一向量在不同基下的坐标坐标的关系的关系复习复习: 向量的坐标向量的坐标坐标坐标坐标坐标基基变换与过渡矩阵变换与过渡矩阵_1l l定义定义 的的的的过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵. 称形式记号形式记号注注注注 过渡矩阵由两组基唯一确定过渡矩阵由两组基唯一确定过渡矩阵由两组基唯一确定过渡矩阵由两组基唯一确定基基变换与过渡矩阵变换与过渡矩阵_2l若若 在在 下的坐标向量是下的坐标向量是 , 而而 在在 下的坐标是下的坐标是 , 则则 . 即即则则从从e1, e2到到ξ1,ξ2的的过渡矩阵过渡矩阵是是下坐标下坐标 x的过渡矩阵是的过渡矩阵是下坐标下坐标 y基变换与过渡矩阵基变换与过渡矩阵_3l l命题命题命题命题1 1 1 1 设设设设 和和和和 是是是是n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间V V的两组基的两组基的两组基的两组基, , 且且且且 则则则则 . . 因此过渡矩阵必是可逆矩阵因此过渡矩阵必是可逆矩阵因此过渡矩阵必是可逆矩阵因此过渡矩阵必是可逆矩阵. .l l命题命题命题命题2 2 2 2 设设设设 是是是是n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间V V的一组基的一组基的一组基的一组基, , 是是是是 是另两组基是另两组基是另两组基是另两组基, , 且且且且 则则则则基变换与过渡矩阵基变换与过渡矩阵_4l l命题命题命题命题3 3 3 3 设设设设 和和和和 是是是是n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间V V的的的的两个向量组两个向量组两个向量组两个向量组, , 且且且且 (1) (1) 若若若若 和和和和 是是是是V V的两组基的两组基的两组基的两组基, , 则则则则A A可可可可逆逆逆逆. . (2) (2) 若若若若 是是是是V V的一组基的一组基的一组基的一组基, , 且且且且A A可逆可逆可逆可逆, , 则则则则是是是是V V的一组基的一组基的一组基的一组基. .(3) (3) 若若若若 是是是是V V的一组基的一组基的一组基的一组基, , 且且且且A A可逆可逆可逆可逆, , 则则则则是是是是V V的一组基的一组基的一组基的一组基. .例例l l例例例例1 1 在在在在KK3×13×1中中中中, , 已知已知已知已知 1) 1) 求证求证求证求证: : 是是是是KK3×13×1的基的基的基的基, , 是是是是KK3×13×1的基的基的基的基. .2) 2) 求从基求从基求从基求从基 到到到到 的过渡矩阵的过渡矩阵的过渡矩阵的过渡矩阵. .例例l l例例例例2 2 设设设设1) 1) 求证求证求证求证: : 是是是是R R2×22×2的一组基的一组基的一组基的一组基; ;2) 2) 求求求求 在在在在 下的坐标下的坐标下的坐标下的坐标. .目的与要求目的与要求•掌握掌握子空间子空间的的交交、、和和运算的概念运算的概念•掌握掌握生成子空间生成子空间的元素表示方法的元素表示方法•了解由子集了解由子集S生成的子空间生成的子空间L(S)是包含是包含S的子空间的的子空间的最小子空间最小子空间•熟练掌握熟练掌握子空间的和是子空间的和是直和直和的等价刻画的等价刻画•熟练掌握熟练掌握证明子空间的方法的证明子空间的方法的坐标坐标的关系、证明的关系、证明空间做直和分解的方法空间做直和分解的方法•理解理解维数公式维数公式证明中证明中扩基扩基的方法的方法•了解子空间的并不是运算的原因了解子空间的并不是运算的原因•了解有限个真子空间不能覆盖整个空间了解有限个真子空间不能覆盖整个空间子空间子空间_1l l定义定义 若数域若数域K上的线性空间上的线性空间V的子集的子集V0对对于加法和数乘运算封闭，称于加法和数乘运算封闭，称V0为为V的的子空子空间间.l l注注1 子空间子空间V0是数域是数域K上的一个线性空间上的一个线性空间.l l注注2 任意非零线性空间任意非零线性空间V都有两个平凡子都有两个平凡子空间空间0和和V本身本身.l l注注3 设设V0是是V的非平凡子空间的非平凡子空间, 则则0