数学教材中的习题变式探究.docx

    数学教材中的习题变式探究    邵祖耿（绍兴县成章中学，浙江绍兴312036）有许多同学一遇到综合题就会手足无措，不知从何下手，但经老师点拨后，他也能很快予以解决，造成这种情况有两方面原因，首先，数学题型千变万化，同一个知识点考核方式和方法迥然不同；同时由于知识积累越来越多，有时无法很快作出判断和抉择，或几种方法纠缠在一起，导致解题思路紊乱．其次，许多同学缺少对知识进行必要的归纳和总结，遇到题目就做，做完后也不去整理和反思解题的方法和技巧，就导致不能准确找到各个问题或知识点之间的内在联系，缺乏敏锐的数学观察力，无法从复杂的题目和图形中分离出自己熟悉的基本题型和基本图形，各个击破，逐一解决，是许多同学学习数学感到困难的症结所在，如何帮助学生克服上述情况，如何真正实现由“数学知识”向“数学能力”转化，才是数学教学的关键本文以浙教版八年级下册课本第147页作业题第3题为例进行分析．题目如图1．分别以△ABC的边AB，AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE，BG，求证：BG=CE在复习时，为了突破和分化同一知识难点，教师可以使用变式训练或平行训练的方法，即根据原题的已知条件，将原有结论作进一步的引申，得到新的结论，或者保持原来题目的要求不变，改变题目的条件，得到新的问题，也可以通过对原题不同角度的联想，同时改编题目的条件和结论，得到新的问题，达到对这一知识点当堂强化和高效吸收，一、条件不变或添加条件，增加探究结论(1)如图2，观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明你的猜想。

2)图2中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？(3)如图2，若AB=11，AC=7，连结EG，求Bc2+EG2的值对命题结论的纵向研究，使学生经历观察猜想到验证的解决问题方法，既提高了学生解题能力，也提高了比较分析能力，许多学生缺乏解题针对性，就是没有在变式训练中，掌握训练的角度，明确解题的思路引起的二、旋转图形，检验结论如图3，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连结AE．CG1)求证：AE=CG2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想3)正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，使AD与GD重合如图4时，上述两个结论是否成立？(4)正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，如图5，上述两个结论是否成立？(5)如图5，连结BF，求CG：BFAE的值图形的变化能有效克服题海战术的弱点，提高课堂效益．变式题和原题之间存在一定的联系，能生成一系列的知识链、问题链、方法链．通过纵向加深理解来实现横向迁移，比大量解题训练更注重理性思维，有更高的效益三、改变条件，探究原结论如图6，把“正方形ABCD，DEFG”改为“矩形ABCD，DEFG（长宽不等）”，则AE=CG，AE⊥CG两个结论还成立吗？若不成立，请问在什么条件下成立？《标准》指出“有效的数学学习活动不能靠单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”，教师在复习课时要设计选编一定量的开放性，探索性的数学问题，给学生提供自主探索的机会，激发学生动手操作，积极思考，让学生从图形变化中探求规律，培养学生用运动变换的观点和由特殊图形到一般图形去观察、研究几何图形的性质，提高学生分析问题与解决问题的能力，让学生在观察、实验、猜想、归纳、分析和整理的过程中学习数学，培养学生的创新精神，逐步发展应用意识，形成基本的实践应用能力。

四、图形变式，求面积和角1．(1)如图7，以△ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由2)园林小路，曲径通幽，如图8所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是6平方米，这条小路一共占地多少平方米？数学来源于生活，又应用于生活，能运用数学的思维方式观察、分析、解决日常生活和其他学科中的相关问题是每个中学生应具备的基本素养．教师在复习时，积极留意生活中的素材，有意识地结合具体情境，发现并提出问题，引导学生用所学的数学知识解决身边的实际问题，提高学生学习数学的积极性2．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图9，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=450，分别以AB，BC为边向外作△ABD与△BCE，ADA=DB，EB=EC，∠ADB= ∠BEC=90°，连结DE交AB于点F探究线段DF与EF的数量关系小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于点G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°。

小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：(1)写出原问题中DF与EF的数量关系；(2)如图10，若∠ABC=30zzts2，∠A DB=∠BEC=600，原问题中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明：(3)如图11，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明教学中拓展图形性质的研究，展示数学知识发生、发展和应用的过程，有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，从而培养学生思维的准确性、综合分析问题能力和应变能力，使所学知识融会贯通，使思维在所学知识中通畅无阻五、变换条件结论，提升探索能力如图12，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC，BC为边向△ABC外分别作正方形CBHF和正方形ACDE，连结DF，过点C作CG⊥AB，垂足为G，且CG的反向延长线与DF交于点l复杂的几何图形，往往是由一些基本图形复合而成，教师在复习时要引导学生“透过现象看本质”，将复杂的几何问题转化为基本图形，掌握了基本图形的构成、形式及其性质，就能从复杂图形中解脱出来，从而能准确找到解决方法．六、改变条件，挖掘内在联系如图14，分别以△ABC的边AB，AC为一边向外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结CD，BE。

1)求证：BE=DC；(2)求直线CD与直线BE的夹角，在保持图形的某些性质不变的情况下，将组成图形的某些元素（如点、线等）运动起来，在运动中寻找不变关系或变化的规律七、根据结论．探究条件如图15，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，ACE，BCF1)求证：四边形DAEF是平行四边形2)探究下列问题：①当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？③当△ABC满足什么条件时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在？从变化的图形中找出规律，转化为一般的几何证明问题，探究解决新问题的策略，从而训练学生思维的灵活性，运用特殊数值、特殊图形、特殊位置将需猜想的数学问题构造成自己熟练掌握的数学范畴，进而使复杂问题简单化，也是变猜想为证明的一种有效方法纵观历届中考，以课本中的命题为原型，再经过适当的拓展与引申，这样的试题屡见不鲜．教学中，要强调以课本为载体，把学过的内容进行重新组合，有意识、有目的地以课本习题为主线，进行适当地变式、归纳、拓展与延伸，使问题之间存在着“形变质不变”，不同层次的问题的解决方法存在着相似性，学生可以运用类比思想进行思考和解答，真正达到做一题会一类的教学效果，从而减轻学生负担，达到“以少胜多”的教学目的和学习目标。