平行四边形中常用辅助线的添法(共6页).docx

精选优质文档-----倾情为你奉上平行四边形中常用辅助线的添法徐卫东刘建英平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：一、连对角线或平移对角线：例1如图1，E是平行四边形ABCD中AD延长线上一点，ED交BC于F，求证：简证：连BD，由图易得（同底等高），（同底等高）所以，所以，即例2如图2，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AC=a+b，BD=a+c（），AB=m，求m的取值范围简解：要求AB的值，需把AC、BD、AB集中在一个三角形中，过C作CE∥DB交AB的延长线于E，由图易得DBEC是平行四边形，所以，，即，在△ACE中，，即二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形例3如图3，平行四边形ABCD中，∠DBC=，DE⊥DB交BC的延长线于E，AD=a，DE=b，求简解：过D作DF⊥BE于F，由题意得∠DEB=，所以DF=，BE=，则，所以例4如图4，平行四边形ABCD的周长为40，∠ABC=，E、F是BD上的三等分点，AE的延长线交BC于M，MF的延长线交AD于N，设，，试求y与x的函数关系。

简解：过A作AH⊥BC于H因为，所以，所以因为AD∥BC，所以，，所以，，，则三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线例5如图5，平行四边形ABCD中，N是AB中点，BE=，NE与BD交于F，求的值简解：作AC交BD于O，连ON，由图得ON，因为，，，所以，所以，所以，则例6如图6，平行四边形ABCD中，O是对角线交点，F是AB延长线上一点，OF交BC于E，AB=a，BC=b，BF=c求BE长简解：作OG∥CB交AB于G，因为O是AC中点，所以OG=，又，所以四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形例7如图7，正方形ABCD中，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF交于P，求证AP=AB简证：延长CF交BA的延长线于G因为FD=FA，易得△CDF△GAF，所以AG=CD=AB，则A为BG中点，又CE=DF，CB=CD，所以Rt△BCERt△CDF，所以∠1=∠2，因为∠1+∠3=，所以∠2+∠3=，所以∠CPB=，所以∠BPG=则PA是Rt△BPG的斜边上中线，所以AP=AB例8如图8，平行四边形ABCD中，E、F分别是DC、DA上一点，AE=CF，AE与CF交于P，求证PB平分∠APC。

简证：连BE、BF，由图易证得过B作BH⊥CF、BG⊥AE，垂足分别为H、G因为，，所以BG=BH，所以B点在∠APC的角平分线上，则PB平分∠APC五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等例9如图9，E是平行四边形ABCD对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥BA，垂足分别为F、G，求证：简证：作AH⊥BD于H，CK⊥BD于K，易得AHCK，连AE、CE因为，，所以又，所以，所以，则例10如图10，ABCD是正方形，BE∥AC，AE=AC，CF∥AE，求证：∠AEB=2∠BCF 简证：连BD，过A作AH⊥AC交BE于H，AC与BD交于O由图中易证得AHBO为正方形，所以AH=AO=因为AE=AC，所以，所以在Rt△AHE中，∠AEH=又因为AEFC为菱形，所以∠ACF=∠AEF=又∠BCF=∠ACB-∠ACF=，则∠AEB=2∠BCF专心---专注---专业。