塑性力学_第三章应变状态.doc

第三章第三章 应变状态应变状态38第三章第三章 应变状态理论应变状态理论在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化， 即发生位移如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置， 则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移如果物体各质 点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变 化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称 为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动应变状态理论就是研究物变形后的 几何特性即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所 连矢量因物体变形所引起剧烈变化这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变 形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律本章主要从物体变形前 后的几何变化论述物体内一点的应变状态3.1 位移与线元长度、方向的变化位移与线元长度、方向的变化1.1 坐标与位移坐标与位移设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴()上的投影为()，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上X、、Y、Zzyx,,的投影为(、)，这些位移分量可看作是坐标()的函数。

于是物体上任u、vwzyx,,点的最终位置由下述坐标值决定即(3.1-1) ),,(),,(),,(zyxwzzyxvyzyxux上式中函数、以及它们对坐标()的偏导数假设是连续的，则式(3.1-1)u、vwzyx,,确定了变量()与之间的关系因为物体中变形前各点对应看变形后zyx,,),,(的各点，因此式(3.1-1)是单值的，所以式(3.1-1)可看成是坐标的一个变换如果在(3.1-1)中，假设，则由(3.1-1)式可得如下三个方程00,yyxx(3.1-2) ),,(),,(),,((00000000zyxwzzyxvyzyxux式(3.1-2)决定了一条曲线，曲线上各点，在物体变形前为平行于轴的L,,21MMz直线()上(图 3.1)由此可见，变形前物体上与坐标轴平行的坐标线，00,yyxx在变形后的物体上一般将成为曲线换句话说，如果用没有变形状态的坐标()末表征物体上各点的位置，到变形终了状态将是曲线坐标；反之，如果用zyx,,表示各点的坐标，则对巳变形物体是笛卡尔坐标，而对于变形前的物体),,(第三章第三章 应变状态应变状态39将是曲线坐标。

由以上可见，描述连续介质变形的方法有上述两种，分别称为 Lagrange 法Euler法Lagrange 描述法是用变形前的坐标 ()做自变zyx,,量，而 Euler 法则是用变形后的坐标做自变量),,(在固体力学中，通常物体的初始形状、固定情况以及载荷是一定的，需要确定的是物体各点的位移、u、v和应力对于小变形一wij般采用 Lagrange 坐标法；而对于大变形有时用 Euler 法在数值计算中，通常采用矢量来表示，因为要计算变形前后两次应变的变化，所以用 Euler法比较方便在以后的讨论中，我们采用 Lagrange 坐标法 图 3.1 变形表示法1.21.2 变形体的应变变形体的应变 设物体中变形前相距十分近的两点，变形后移位至变形前NM,NM ,的坐标分别为，，变形后的坐标分NM,),,(zyxM),,(dzzdyydxxNNM ,别那么，矢量所表示的线元在物体变),,(),,,(dddNMMN形后由矢量表示线元那么，和的平方为NMMNNM(a) 22222dzdydxdSMN(b)22222 ddddSNM根据(3.1-1)式，点在方向有Nx(c)duudxxd此处是因两点所产生的增量，将其在()处展开为 Taylor 级数，即duNM,zyx,,(d)L2 22 2 22 2 22 )()()(dzzudyyudxxudzzudyyudxxudu略去(d)式中的高阶微量(，…，并将(d)式代入(c)式，则可得2)dx第三章第三章 应变状态应变状态40dzzudyyudxxuudxxd由(3.1-1)式知，,所以ux (3.1-3a)dzzudyyudxxud)1 (同理可得(3.1-3b)  dzzwdyywdxxwdzvdyyvdxxvd)1 ()1 ((3.1-3)式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影。

我们的目的是为了计算与之差，于是由(a)式和(e)式可得dSdS(f))(222222dzdxdydzdxdydzdydxdSdSzxyzxyzyx式中(3.1-4)               xzzxxzzxzyyzzyyzyxxyyxxyzyxzw xw zv xv zu xu xw zuzw yw zv yv zu yu yw zvyw xw yv xv yu xu xv yuzw zv zu zwyw yv yu yvxw xv xu xu222222)()()(21)()()(21)()()(21222222222式(3.1-4)实际上就是应变在各坐标方向的分量，它是非线性的如果知道了变形 体各点的位移，则可由该式求得各点的应变分量，式(3.1-4)可采用张量表u、v、w 示为(3.1-5) zzyzxyzyyxxzxyxij21 2121 2121 21第三章第三章 应变状态应变状态411.3 线元的长度变化线元的长度变化引入符号(3.1-6)dSdSdSEMN是点和 N 间由变形引起的距离的增加量对二者间变形前的距离的MNEM比．我们把这个量称作点在点 N 方向的相对伸长度。

M根据式(a)和式(f)，并注意(3.1-2)式，则可得伸长度的表达式为MNEdzdxdydzdxdydzdydxdSEEzxyzxyzyxMNMN2222)211 ((3.1-7)2221(1)2MNMNxyzxyyzzxEElmnlmmnnl式中 ，，是矢量的方向余弦如果在(g)式中令dSdxl dSdym dSdzn MN，那么有 0, 1nml(3.1-8a)121xxE此处表示点在 x 方向的相对伸长度类似有点在 y、z 方向的相对xEMM伸长度为(3.1-8b)121yyE121zzE因此，应变分量、、描述了变形前平行于坐标轴的那些线元的伸长度，xyz它们称为正应变1.4 线元方向的变化线元方向的变化变形物体中的线段，在变形时不仅长度要改变，而且方向也会发生变化矢量与坐标轴(X，Y，Z)形成的方向余弦分别为 、、；而矢量与坐MNlmnNM标轴夹角的方向余弦分别为(3.1-9)dSdldSdmdSdn利用(3.1-6)式解得=，并注意到(3.1-3)式可得dSdSEMN)1 ( (3.1-10)        nzwmywlxw Ennzvmyvlxv Emnzumyulxu ElMNMNMN)1 (11)1 (11)1 (11第三章第三章 应变状态应变状态42式(3.1-10)表示任意线元在变形后的方向，即变形后的方向余弦可以用变形NM前的方向余弦表示。

如果变形前线元与 X 轴平行，则该线元的方向余弦为MNdx，，那么由(3.1-10)式知，该线元变形后的方向余弦为1l0 nm(3.1-11)xExul  11xExvm 1xExwn 1此处是变形前与 X 轴平行线元的伸长度由上式可以看出，对于任意线元，xE因各个方向的位移、不相同，因此方向要改变(图 3.2)；同时各个方向的伸uv、w长度也不相同，方向也要改变因为线元在变形后成为已变形物体dx上坐标曲线上的线元，所以式(3.1-11)实际上给出了点上坐标曲线的切线方向的M方向余弦类似地可以由 (3.1-11)式得出已变形物体上坐标曲线和的切线的方向余弦yz如果用、、表示点在坐标xiyiziM、、切线方向的三个单位矢量，那么该三个单位矢 图 3.2 线元的方向余弦量相对于笛卡尔坐标的方向余弦可由(3.1-11)式如同线元那样得到类似的(3.1-11)式具体列于表 3.1dx类似于(3.1-9)的方法也导出用的方向余弦表示变形前的方向余弦，NMMN读者可自行推导表 3.1 变形后相对于笛卡尔坐标的方向余弦xiyiziX)1 ()1 (xExu)1 (xEyu)1 (xEzuY)1 (yExv )1 ()1 (yEyv)1 (yEzvZ)1 (zExw )1 (zEyw)1 ()1 (zEzw第三章第三章 应变状态应变状态431.5 剪切度与切应变剪切度与切应变 Z如图 3.3 所示，设变形前物体中经过 M点的两条任意纤维 和，此两纤维在点 MM的切线的方向余弦分别为、、和、 1l1m1n2lM、；变形后，物体中的点移动到， 2m2nMM纤维 和变成纤维和， 纤维和的 Y方向余弦也变为、、和、、。

 1l 1m 1n 2l 2m 2n由前面可知，变形后两纤维的方向余弦可用 X变形前的方向余弦表示，同时由解析几何知 图 3.3 剪切变形(3.1-12) 212121),cos(nnmmll则可求得变形后纤维和之间夹角的方向余弦将(3.1-10)式代入上式，并注意(3.1-5)式，则可得212121)21 ()21 ()21 ()1)(1 (1)cos(nnmmllEE、zyx(3.1-13))()()(122121122121lnlnmnmnmllmzxyzxy注意，式中纤维 和的伸长度和由(3.1-7)确定，但必须用变形前物体的纤EE维 和的方向余弦、、和、、1l1m1n2l2m2n由(3.1-13)显然可知，当知道了 6 个应变分量、、、、、和xyzxyyzzx变形前经过物体中任意一点处的两纤维的方向余弦后，则可由(3.1-7)式和(3.1-13)求得该两纤维变形后的夹角。

如果变形前物体中纤维 和分别平行于轴和轴，则，其余的XY121 ml方向余弦为，且变形后物体中纤维和的切线方向分别与02211nln。