高中数学 （主干知识+典例精析）4.4平面向量的应用课件 理 新人教B版.ppt

第四节 平面向量的应用三年三年1212考考 高考指数高考指数:★★★:★★★1.1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. .2.2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题. .1.1.以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点，以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点，也是热点也是热点. .2.2.三大题型均可能出现，客观题主要考查向量的基础知识，与三大题型均可能出现，客观题主要考查向量的基础知识，与三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题出现，难度中档三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题出现，难度中档偏上偏上. .1.1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用(1)(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题. .(2)(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧用向量解决常见平面几何问题的技巧①①线平行、点共线、相似问题线平行、点共线、相似问题利用平行向量基本定理：利用平行向量基本定理：∥ ∥ ⇔⇔②②垂直问题垂直问题利用数量积的运算性质：利用数量积的运算性质： ⊥ ⊥ ⇔⇔③③夹角问题夹角问题利用夹角公式：利用夹角公式：coscos〈〈 , , 〉〉= = (3)(3)用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的““三步曲三步曲””平面几何问题平面几何问题 向量问题向量问题 解决向量问题解决向量问题 解决解决几何问题几何问题【【即时应用即时应用】】判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确.(.(请在括号中填写请在括号中填写““√√””或或““×”×”) )①①若若 ∥ ∥ 则则A A、、B B、、C C三点共线三点共线. ( ). ( )②②在在△△ABCABC中，若中，若 ＜＜0 0，则，则△△ABCABC为钝角三角形为钝角三角形.( ).( )③③在四边形在四边形ABCDABCD中，边中，边ABAB与与CDCD为对边，若为对边，若 则此四边形则此四边形为平行四边形为平行四边形. ( ). ( )【【解析解析】】①①因为因为 共始点共始点A A，且，且 ∥ ∥ 故故①①正确；正确；②∵ ②∵ ＜＜0 0⇔⇔ ＞＞0 0，，∴∠∴∠B B为锐角，不能判断为锐角，不能判断△△ABCABC的形状，故的形状，故②②不正确；不正确；③∵ ∴③∵ ∴AB DC,AB DC,故故③③正确正确. .答案：答案：①√ ②①√ ②×× ③√ ③√2.2.平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用(1)(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决成和向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决. .(2)(2)物理学中的功是一个标量，是力物理学中的功是一个标量，是力F与位移与位移 的数量积的数量积, ,即即W= =F·· =| =|F|| |cos|| |cos〈〈F，， 〉〉. .【【即时应用即时应用】】(1)(1)已知两个力已知两个力F1 1、、F2 2的夹角为的夹角为9090°°，它们的合力，它们的合力F的大小为的大小为10N10N，合力与，合力与F1 1的夹角为的夹角为6060°°, ,那么那么F1 1的大小为的大小为 . .(2)(2)已知已知 =(cosx,sinx), =(cosx,-sinx),=(cosx,sinx), =(cosx,-sinx),则则函数函数y= y= ·· 的最小正周期为的最小正周期为 . .(3)(3)如图，已知两个力的大小和方向，则如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为合力的大小为 N N；若在图示坐标系中，用坐标；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为表示合力，则合力的坐标为 . .【【解析解析】】(1)(1)如图所示如图所示. .| |F1 1|=||=|F|cos60|cos60°°=10=10×× =5(N). =5(N).(2)∵y= (2)∵y= ·· =cos =cos2 2x-sinx-sin2 2x=cos2x,x=cos2x,∴T= =π.∴T= =π.(3)(3)由题意知，由题意知，F1 1=(2,3), =(2,3), F2 2=(3,1)=(3,1)，，∴∴合力合力F= =F1 1+ +F2 2=(2,3)+(3,1)=(5,4),=(2,3)+(3,1)=(5,4),∴∴合力的大小为合力的大小为 = (N).= (N).答案：答案：(1)5N (2)π (3) (5,4)(1)5N (2)π (3) (5,4)【【方法点睛方法点睛】】向量方法解决几何问题的步骤向量方法解决几何问题的步骤(1)(1)建立几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元建立几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；素，将几何问题转化为向量问题；(2)(2)通过向量的运算，研究几何元素之间的关系，如夹角、距通过向量的运算，研究几何元素之间的关系，如夹角、距离、垂直、平行等问题；离、垂直、平行等问题；(3)(3)把运算结果把运算结果““翻译翻译””成几何关系成几何关系. .向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用【【提醒提醒】】向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，例如：向量例如：向量 ∥ ∥ 并不能说明直线并不能说明直线AB∥CD.AB∥CD.【【例例1 1】】(2011(2011··天津高考天津高考) )已知直角梯形已知直角梯形ABCDABCD中，中，AD∥BC,AD∥BC,∠ADC=90∠ADC=90°°,AD=2,BC=1,P,AD=2,BC=1,P是腰是腰DCDC上的动点，则上的动点，则| || |的最小的最小值为值为 . .【【解题指南解题指南】】以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数表示出点表示出点P P、、C C、、B B、、A A的坐标，进而表示出的坐标，进而表示出| || |，然后转化，然后转化为函数问题求解为函数问题求解. .【【规范解答规范解答】】建立平面直角坐标系如图所示建立平面直角坐标系如图所示. .设设P(0,y),C(0,b)P(0,y),C(0,b)，，则则B(1,b),A(2,0),B(1,b),A(2,0),则则 =(2,-y)+3(1,b-y)=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).=(5,3b-4y).∴| |∴| |2 2=25+(3b-4y)=25+(3b-4y)2 2(0≤y≤b),(0≤y≤b),当当y= by= b时，时，| || |最小，最小，| || |minmin=5.=5.答案：答案：5 5【【反思反思··感悟感悟】】平面几何问题的向量解法平面几何问题的向量解法(1)(1)坐标法坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决到解决. .(2)(2)基向量法基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解. . 向量在三角函数中的应用向量在三角函数中的应用【【方法点睛方法点睛】】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)(1)以向量为载体的三角函数问题的命题形式和解题思路是：一以向量为载体的三角函数问题的命题形式和解题思路是：一般题目条件给出向量，其中的坐标中含有三角函数的形式，然般题目条件给出向量，其中的坐标中含有三角函数的形式，然后给出向量的运算规则，按照规则得到三角函数的关系式，然后给出向量的运算规则，按照规则得到三角函数的关系式，然后考查利用三角恒等变换研究三角函数的图象与性质后考查利用三角恒等变换研究三角函数的图象与性质. .(2)(2)平面向量借助三角函数考查的命题形式和解题思路是：一般平面向量借助三角函数考查的命题形式和解题思路是：一般给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等义域内的有界性，求得值域等. .【【例例2 2】】(1)(1)已知向量已知向量 =(cos -sin ), =(cos sin ),=(cos -sin ), =(cos sin ),x∈x∈［［0, 0, ］］, ,则函数则函数g(x)=| |g(x)=| |的值域为的值域为 . .(2)(2)在在△△ABCABC中，角中，角A A、、B B、、C C所对的边分别为所对的边分别为a a、、b b、、c c，向量，向量 =(1-sinA, ), =(cos2A,2sinA),=(1-sinA, ), =(cos2A,2sinA),且且 ∥ ∥ . .①①求求sinAsinA的值；的值；②②若若b=2,△ABCb=2,△ABC的面积为的面积为3 3，求，求a.a.【【解题指南解题指南】】(1)(1)利用向量的基本运算写出关于利用向量的基本运算写出关于x x的函数，然后求的函数，然后求出值域出值域. .(2)①(2)①利用利用 ∥ ∥ 列出关于列出关于sinAsinA的方程求解；的方程求解；②②由由sinA,bsinA,b及及S S△ABC△ABC= bcsinA= bcsinA可求出可求出c c，再由余弦定理求，再由余弦定理求a.a.【【规范解答规范解答】】(1) ∵| |=1(1) ∵| |=1，，| |=1| |=1，，x∈x∈［［0, 0, ］，］， ∴ ∴ ·· =cos cos -sin sin =cos2x =cos cos -sin sin =cos2x，，g(x)=| - |=g(x)=| - |== =2sinx= =2sinx，，∵∵x∈x∈［［0, 0, ］，］，∴∴g(x)∈g(x)∈［［0,20,2］］. .答案：答案：［［0,20,2］］(2)①∵ ∥ ,∴ cos2A=(1-sinA)(2)①∵ ∥ ,∴ cos2A=(1-sinA)··2sinA,2sinA,∴6(1-2sin∴6(1-2sin2 2A)=7sinA(1-sinA),A)=7sinA(1-sinA),即即5sin5sin2 2A+7sinA-6=0,A+7sinA-6=0,∴sinA= (sinA=-2∴sinA= (sinA=-2舍去舍去) )②②由由S S△ABC△ABC= bcsinA=3,b=2,= bcsinA=3,b=2,得得c=5,c=5,又又cosA=cosA=±±∴a∴a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA=4+25-2-2bccosA=4+25-2××2 2××5cosA=29-20cosA,5cosA=29-20cosA,当当cosA= cosA= 时时,a,a2 2=13,a==13,a=当当cosA= cosA= 时，时，a a2 2=45,a=3=45,a=3【【反思反思··感悟感悟】】1.1.该类题的解题关键该类题的解题关键把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为纯三角函数的把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为纯三角函数的运算，即该类题的解题关键是运算，即该类题的解题关键是““转化思想方法的应用转化思想方法的应用””. .2.2.向量在该类题中的作用向量在该类题中的作用向量作为载体，通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数向量作为载体，通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数运算运算. . 平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中的应用【【方法点睛方法点睛】】向量在解析几何中的作用向量在解析几何中的作用(1)(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于““包装包装””，，利用向量的意义、运算脱去利用向量的意义、运算脱去““向量外衣向量外衣””，导出曲线上点的坐，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题等问题. .(2)(2)工具作用：利用工具作用：利用 ⊥ ⊥ ⇔⇔ ·· =0, ∥ =0, ∥ ⇔⇔ =λ ( ≠ =λ ( ≠0),),可解决可解决垂直、平行问题垂直、平行问题. .【【例例3 3】】已知两点已知两点M(-1,0),N(1,0)M(-1,0),N(1,0)，且点，且点P P使使 成公差非负的等差数列成公差非负的等差数列. .(1)(1)求点求点P P的轨迹方程的轨迹方程; ;(2)(2)若若θθ为为 的夹角，求的夹角，求θθ的最大值及此时点的最大值及此时点P P的坐标的坐标. .【【解题指南解题指南】】(1)(1)设设P(x,y),P(x,y),直接求点直接求点P P的轨迹方程的轨迹方程; ;(2)(2)先求出先求出cosθcosθ的范围，再求的范围，再求θθ的最大值的最大值. .【【规范解答规范解答】】(1)(1)设点设点P P的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),则则 =(-1-x,-y),=(-1-x,-y), =(1-x,-y), =(2,0),∴ =2(1-x), =(1-x,-y), =(2,0),∴ =2(1-x), =x =x2 2+y+y2 2-1, =2(1+x)-1, =2(1+x)，，依题意得依题意得∴∴点点P P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2=3(x≥0).=3(x≥0).(2)∵ =(-1-x,-y)(2)∵ =(-1-x,-y)··(1-x,-y)(1-x,-y)=x=x2 2+y+y2 2-1=2,-1=2,∴cosθ=∴cosθ=∵0≤x≤ ,∴ ≤cosθ≤1,∴0≤θ≤ .∵0≤x≤ ,∴ ≤cosθ≤1,∴0≤θ≤ .∴θ∴θ的最大值为的最大值为 , ,此时此时x=0,x=0,∴∴点点P P的坐标为的坐标为(0,(0,±± ). ). 【【反思反思··感悟感悟】】1.1.向量法解决平面解析几何问题的关键是把点向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算. .2.2.相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握熟练掌握. .由由得得(x-a,y)= (-x,b-y)=( x, (y-b)),(x-a,y)= (-x,b-y)=( x, (y-b)),把把a=- a=- 代入代入①①，得，得- (x+ )+3y=0,- (x+ )+3y=0,整理得整理得y= xy= x2 2(x≠0).(x≠0).【【易错误区易错误区】】忽视对直角位置的讨论致误忽视对直角位置的讨论致误【【典例典例】】(2012(2012··烟台模拟烟台模拟) )已知平面上三点已知平面上三点A A、、B B、、C C，， =(2-k,3), =(2,4).=(2-k,3), =(2,4).(1)(1)若三点若三点A A、、B B、、C C不能构成三角形，求实数不能构成三角形，求实数k k应满足的条件；应满足的条件；(2)(2)若若△△ABCABC为直角三角形，求为直角三角形，求k k的值的值. .【【解题指南解题指南】】(1)(1)三点三点A A、、B B、、C C不能构成三角形，不能构成三角形，即即A A、、B B、、C C三点共线三点共线. .(2)(2)对对A A、、B B、、C C谁为直角顶点进行分类讨论谁为直角顶点进行分类讨论. .【【规范解答规范解答】】(1)(1)由三点由三点A A、、B B、、C C不能构成三角形，得不能构成三角形，得A A、、B B、、C C在在同一直线上，即向量同一直线上，即向量 平行，平行，∵ ∥ ∴∵ ∥ ∴4(2-k)-24(2-k)-2××3=0,3=0,解得解得k= . k= . (2)∵ =(2-k,3),∴ =(k-2,-3),(2)∵ =(2-k,3),∴ =(k-2,-3),∴ =(k,1).∴ =(k,1).∵△ABC∵△ABC为直角三角形，为直角三角形，则当则当∠∠BACBAC是直角时，是直角时， =0=0，，∴∴2k+4=02k+4=0，解得，解得k=-2;k=-2;当当∠∠ABCABC是直角时，是直角时， 即即 =0=0，，∴∴k k2 2-2k-3=0,-2k-3=0,解得解得k=3k=3或或k=-1;k=-1;当当∠∠ACBACB是直角时，是直角时， 即即 =0=0，，∴∴16-2k=016-2k=0，解得，解得k=8.k=8.综上得综上得k∈{-2,-1,3,8}.k∈{-2,-1,3,8}.【【阅卷人点拨阅卷人点拨】】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示和备考建议：误误区区警警示示解答本题易出现以下两个错误：解答本题易出现以下两个错误：(1)(1)由于思维定势误认为第由于思维定势误认为第(2)(2)问中的问中的∠∠A A一定是直角，从而使解答不完一定是直角，从而使解答不完整整. .(2)(2)混淆向量坐标运算中垂直与平行的充要条件导致错误混淆向量坐标运算中垂直与平行的充要条件导致错误. .备备考考建建议议建议在学习平面向量的应用时，要高度关注：建议在学习平面向量的应用时，要高度关注：(1)(1)加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题，考加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题，考虑问题要全面虑问题要全面. .(2)(2)要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直的坐标运算等要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直的坐标运算等. .1.(20121.(2012··盘锦模拟盘锦模拟) )已知已知△△ABCABC的三个内角的三个内角A A，，B B，，C C，向量，向量 =( sinA,sinB), =(cosB, cosA),=( sinA,sinB), =(cosB, cosA),若若 =1+cos(A+B),=1+cos(A+B),则则C=( )C=( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【【解析解析】】选选C.∵ = (sinAcosB+cosAsinB)C.∵ = (sinAcosB+cosAsinB)= sin(A+B)= sinC,= sin(A+B)= sinC,∴ sinC=1+cos(A+B)=1-cosC,∴ sinC=1+cos(A+B)=1-cosC,∴ sinC+cosC=1,∴ sinC+cosC=1,∴2sin(C+ )=1,sin(C+ )= ∴2sin(C+ )=1,sin(C+ )= ∵C∈(0,π),∴C+ ∈( , ),∵C∈(0,π),∴C+ ∈( , ),∴C+ = ∴C=∴C+ = ∴C=2.(20122.(2012··丹东模拟丹东模拟) )在在△△ABCABC中，点中，点D D段段BCBC的延长线上，的延长线上，且且 点点O O段段CDCD上上( (与点与点C C、、D D不重合不重合) )，，若若 则则x x的取值范围是的取值范围是 ( )( )(A)(0, ) (B)(0, )(A)(0, ) (B)(0, )(C)(- ,0) (D)(- ,0)(C)(- ,0) (D)(- ,0)【【解析解析】】选选D.D.由由 得得∴∴∴∴x<0x<0且且x=x=∵0<∵0<∴-