2014届高考数学试题大冲关 平面向量的数量积及平面向量的应用 理 .doc

1 -2014 届高考数学理科试题大冲关：平面向量的数量积及平面向量的应用一、选择题1．若向量 a， b， c 满足 a∥ b 且 a⊥ c，则 c·(a＋2 b)＝(　　)A．4 B．3C．2 D．02．若向量 a＝(1,2)， b＝(1，－1)，则 2a＋ b 与 a－ b 的夹角等于(　　)A．－ B.π 4 π 6C. D.π 4 3π43．已知 a＝(1,2)， b＝( x,4)且 a·b＝10，则| a－ b|＝(　　)A．－10 B．10C．－ D.5 54．若 a， b， c 均为单位向量，且 a·b＝0，( a－ c)·(b－ c)≤0，则| a＋ b－ c|的最大值为(　　)A. －1 B．12C. D．225．已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 θ ，有下列四个命题p1：| a＋ b|>1⇔θ ∈[0， )　 p2：| a＋ b|>1⇔θ ∈( ，π]2π3 2π3p3：| a－ b|>1⇔θ ∈[0， )　 p4：| a－ b|>1⇔θ ∈( ，π]π 3 π 3其中的真命题是(　　)A． p1， p4 B． p1， p3C． p2， p3 D． p2， p46．已知| a|＝2| b|≠0，且关于 x 的函数 f(x)＝ x3＋ |a|x2＋ a·bx 在 R 上有极值，则13 12a 与 b 的夹角范围为(　　)A．(0， ) B．( ，π]π 6 π 6C．( ，π] D．( ， ]π 3 π 3 2π3二、填空题- 2 -7．已知两个单位向量 e1， e2的夹角为 ，若向量 b1＝ e1－2 e2， b2＝3 e1＋4e 2，则π 3b1·b2＝________.8．已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 a＋ b 与向量 ka－ b 垂直，则 k＝________.9．已知| a|＝| b|＝2，( a＋2 b)·(a－ b)＝－2，则 a 与 b 的夹角为____．三、解答题10．已知 a、 b、 c 是同一平面内的三个向量，其中 a＝(1,2)．(1)若| c|＝2 ，且 c∥ a，求 c 的坐标；5(2)若| b|＝ ，且 a＋2 b 与 2a－ b 垂直，求 a 与 b 的夹角 θ .5211．设 a＝(1＋cos x,1＋sin x)， b＝(1,0)， c＝(1,2)．(1)求证：( a－ b)⊥( a－ c)；(2)求| a|的最大值，并求此时 x 的值．12．在△ ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c.若 · ＝ · ＝ k(k∈R)．ABC(1)判断△ ABC 的形状；(2)若 k＝2，求 b 的值．详解答案- 3 -一、选择题1．解析：由 a∥ b 及 a⊥ c，得 b⊥ c，则 c·(a＋2 b)＝ c·a＋2 c·b＝0.答案：D2．解析：2 a＋ b＝(3,3)， a－ b＝(0,3)，则 cos〈2 a＋ b， a－ b〉＝＝ ＝ ，故夹角为 . 2a＋ b · a－ b|2a＋ b|·|a－ b| 932×3 22 π 4答案：C3．解析：因为 a·b＝10，所以 x＋8＝10， x＝2，所以 a－ b＝(－1，－2)，故| a－ b|＝.5答案：D4．解析：由已知条件，向量 a， b， c 都是单位向量可以求出， a2＝1， b2＝1， c2＝1，由 a·b＝0，及 (a－ c)(b－ c)≤0，可以知道，( a＋ b)·c≥ c2＝1，因为|a＋ b－ c|2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 a·b－2 a·c－2 b·c，所以有| a＋ b－ c|2＝3－2( a·c＋ b·c)≤1，故| a＋ b－ c|≤1.答案：B5．解析：由| a＋ b|>1 可得： a2＋2 a·b＋ b2>1，∵| a|＝1，|b|＝1，∴ a·b>－ .故 θ ∈[0， )．当 θ ∈[0， )时，12 2π3 2π3a·b>－ ，| a＋ b|2＝ a2＋2 a·b＋ b2>1，即| a＋ b|>1；由| a－ b|>1 可得：12a2－2 a·b＋ b2>1，∵| a|＝1，| b|＝1，∴ a·b< .故 θ ∈( ，π]，反之也成立．12 π 3答案：A6．解析： f(x)＝ x3＋ |a|x2＋ a·bx 在 R 上有极值，即 f′( x)＝ x2＋| a|x＋ a·b＝0 有13 12两个不同的实数解，故 Δ ＝| a|2－4 a·b＞0⇒cos〈 a， b〉＜ ，又〈 a， b〉∈[0，π]，12所以〈 a， b〉∈( ，π]．π 3答案：C二、填空题7．解析：由题设知| e1|＝| e2|＝1，且 e1·e2＝ ，所以 b1·b2＝( e1－2 e2)·(3e1＋4 e2)12- 4 -＝3 e －2 e1·e2－8 e ＝3－2× －8＝－621 212答案：－68．解析：∵ a＋ b 与 ka－ b 垂直，∴( a＋ b)·(ka－ b)＝0，化简得( k－1)( a·b＋1)＝0，根据 a、 b 向量不共线，且均为单位向量得 a·b＋1≠0，得 k－1＝0，即 k＝1.答案：19．解析：由| a|＝| b|＝2，( a＋2 b)(a－ b)＝－2，得 a·b＝2，cos〈 a， b〉＝ ＝a·b|a||b|＝ ，所以〈 a， b〉＝60°.22×2 12答案：π 3三、解答题10．解：(1)设 c＝( x， y)，由 c∥ a 和| c|＝2 可得5Error!， ∴Error!或Error!，∴ c＝(2,4)或 c＝(－2，－4)．(2)∵( a＋2 b)⊥(2 a－ b)，∴( a＋2 b)·(2a－ b)＝0，即 2a2＋3 a·b－2 b2＝0.∴2| a|2＋3 a·b－2| b|2＝0.∴2×5＋3 a·b－2× ＝0，∴ a·b＝－ .54 52∴cos θ ＝ ＝ ＝－ 1.a·b|a||b|－ 525·52∵ θ ∈[0，π]，∴ θ ＝π.11．解：(1)证明： a－ b＝(cos x,1＋sin x)，a－ c＝(cos x，sin x－1)，(a－ b)·(a－ c)＝(cos x,1＋sin x)·(cos x，sin x－1)＝cos 2x＋sin 2x－1＝0.∴( a－ b)⊥( a－ c)．(2)|a|＝  1＋ cos x 2＋  1＋ sin x 2＝ 3＋ 2 sin x＋ cos x＝ ≤ ＝ ＋1.3＋ 22sin x＋ π 4 3＋ 22 2- 5 -当 sin(x＋ )＝1，即 x＝ ＋2 kπ( k∈Z)时，| a|有最大值 ＋1.π 4 π 4 212．解：(1)∵ · ＝ cbcos A， · ＝ bacos C，ABCB∴ bccos A＝ abcos C，根据正弦定理，得 sin Ccos A＝sin Acos C，即 sin Acos C－cos Asin C＝0，sin( A－ C)＝0，∴∠ A＝∠ C，即 a＝ c.则△ ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知 a＝ c，由余弦定理，得· ＝ bccos A＝ bc· ＝ .Bb2＋ c2－ a22bc b22· ＝ k＝2，即 ＝2，解得 b＝2.ACb22。