2021年广东高考理科数学试题及答案.doc

1 1 普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的1.若集合 M ={x| ( x +4)( x +1) =0},N ={x| ( x -4)( x -1) =0}，则 M Ç N =A.{1,4}B.{-1,-4}C.{0}D. Æ【答案】D【解析】Q M ={x(x+4)( x +1) =0}={-4,-1}，N={x(x-4)(x-1)=0}={1,4}\ M Ç N =F2.若复数 z =i (3 -2i) （ i 是虚数单位），则 z =A. 2 -3i B. 2 +3i C. 3 +2i D. 3 -2 i 【答案】A【解析】Q z =i (3 -2i) =3i +2\ z =2 -3i，3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A. y = 1 +x2B. y =x +1xC. y =2 x +12 xD. y =x +ex【答案】D【解析】A 和 C 选项为偶函数，B 选项为奇函数， D 选项为非奇非偶函数4. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球，从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰好有 1 个白球，1 个红球的概率为A.521B.1021C.1121D. 1【答案】B【解析】P =C C 1010 5 =C 2 2115ï 5. 平行于直线 2 x+y +1=0 且与圆 x 2 +y 2 =5 相切的直线的方程是A.C.2 x +y +5 =0或 2 x +y -5 =02 x -y +5 =0或 2 x -y -5 =0B.D.2 x +y + 5 =0或 2 x +y - 5 =02 x -y + 5 =0或 2 x -y - 5 =0【答案】A【 解 析 】 设 所 求 直 线 为 2 x +y +c =0， 因 为 圆 心 坐 标 为 （ 0 ， 0 ）， 则 由 直 线 与 圆 相 切 可 得d =2c2+1=c5= 5 ，解得 c =±5，所求直线方程为2 x +y +5 =0或2 x +y -5 =06. 若变量 x, yì4x +5 y ³8满足约束条件 í1£x £3 ，则 z =3x +2 y 的最小值为ïî0 £y £2A. 4B.235C. 6D.315【答案】B【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数 z =3 x +2 y ，则当目标函数过点（1，23z =3 x +2 y 取最小值为585），7. 已知双曲线 C :x 2 y 2 5- =1 的离心率 e = ，且其右焦点为 F (5,0) ，则双曲线 C 的方程为 a2 b 2 4 2A.x 2 y 2- =14 3B.x 2 y 2- =19 16C.x 2 y 2- =116 9D.x 2 y 2- =13 4【答案】C【解析】由双曲线右焦点为F (5,0)2，则 c=5， e =c 5= \ a =4 a 4\ b2=c2-a2=9，所以双曲线方程为x 2 y 2- =116 98. 若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值A. 至多等于 3B. 至多等于 4C. 等于 5D. 大于 5【答案】B【解析】当 n =3 时，正三角形的三个顶点符合条件；当 n =4 时，正四面体的四个顶点符合条件x 1 p的 极坐标方程为 2 rsin(p 7p故可排除 A，C，D 四个选项，故答案选 B二、填空题：本大题 共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分. （一）必做题（9-13 题）9. 在（ x -1）4的展开式中， x 【答案】6的系数为.【解析】Cr4()4-r(-1)r=(-1)rCrx44-r2，则当 r =2时，x的系数为 (-1)2C24=610. 在等差数列{a }中，若 a +a +a +a +a =25 ，则 a +a =n 3 4 5 6 7 2 8【答案】10.【解析】由等差数列性质得，a +a +a +a +a =5a =25 ，解得 a =5 ，所以 a +a =2 a =10 3 4 5 6 7 5 5 2 8 511. 设 DABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a = 3 【答案】1， sin B =， C = ，则 b= . 2 6【解析】Q sin B =1 p 5p p p 2p ,\ B = 或 ，又Q C = ，故 B = ，所以 A =2 6 6 6 6 3由正弦定理得，a b=sin A sin B，所以b =112. 某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 业留言。

用数字作答）【答案】1560条毕13. 已知随机变量 X 服从二项分布 B ( n, p )， E ( X ) =30， D ( X ) =20，则 p =.【答案】【解析】13E (X)=np=30， D (X)=np(1-p) =20，解得 p =13（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）， 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 lq- ) = 2 ，点 A 的极坐标为 A(2 2, ) ，4 4则点 A 到直线 l5 2【答案】2的距离为.【解析】Q 2 rsin(q-p4) =2 r(2 2sin q- cos q) = 2 \ rsin q-rcos q=1 2 2即直线l的直角坐标方程为y -x =1，即x -y +1 =0，点 A 的直角坐标为（2，-2）√2 2√ √ 2 √2π 1π A 到直线的距离为 d =2 +2 +1 2=5 2215. (几何证明选讲选做题)如图 1，已知 AB 是圆 O 的直径，AB =4 ,EC 是圆 O 的切线，切点为 C ，BC =1，过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则 OD = . 【答案】8【解析】图 1如图所示，连结 O，C 两点，则 OC ^CD ,Q OD ^ AC \ ÐCDO +ÐACD =90° Q ÐACD =ÐCBA，ÐCBA +ÐCAB =90°,\ÐCDO =ÐCAB则Rt △ CDO ∼ Rt △ CAB，所以OD OC=AB BC,所以OD =8三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知向量 m=（2 2 π ，- ），n=（ sin x ， cos x ），x （0， ）.2 2 2（1）若 m⊥n，求 tan x的值；（2）若 m 与 n 的夹角为，求 x 的值. 【解析】（1）∵ m⃗⃗= (, − )，n⃗ 2 2= (sinx,cosx)，且m⃗⃗⊥ n⃗，∴ m⃗⃗⋅ n⃗ = sinx − cosx = 02 2解得，tan x = 1（2）∵ m⃗⃗与 ⃗n 的夹角为π3∴ ⃗m⃗⋅ ⃗n = |⃗m⃗||n⃗|cosπ3=12∴ m⃗⃗⋅ n⃗ =√2(sin x− cos x) = sin (x − ) =242∴ x −π4= + 2kπ (k ∈ Z) 6∵ x ∈ (0，π2) ∴ x=5π1217.（本小题满分 12 分）2 ê ú 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄123456789404440413340454243101112131415161718364438393345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄 数据为 44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值 x和方差s2；（3）36 名工人中年龄在 xs与 x s之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到 0.01%）？【解析】（1）则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37 （2） 由（1）中的样本年龄数据可得，x =则有19(44+40 +36 +43 +36 +3。