考研数学高数习题集及其答案.doc

1 函数、极限、连续一. 填空题1. 定义域为___________.解. , , 2．设, 则a = ________.解. 可得=, 所以 a = 2.3. =________.解. <<所以 <<, (n®¥), (n®¥)所以 =4. 函数, 则f[f(*)] _______.解. f[f(*)] = 1.5. =_______.解. =6. 设当的3阶无穷小, 则解. ( 1 ) ( 2 ) 由( 1 ): 由( 2 ): 7. =______.解. 8. (¹ 0 ¹¥), 则A = ______, k = _______.解. 所以 k－1=1990, k = 1991; 二. 选择题1. 设f(*)和j(*)在(－¥, +¥)有定义, f(*)为连续函数, 且f(*) ¹ 0, j(*)有连续点, 则(a) j[f(*)]必有连续点 (b) [ j(*)]2必有连续点 (c) f [j(*)]必有连续点 (d) 必有连续点解. (a) 反例 , f(*) = 1, 则j[f(*)]=1(b) 反例 , [ j(*)]2 = 1(c) 反例 , f(*) = 1, 则f [j(*)]=1(d) 反设 g(*) = 在(－¥, +¥)连续, 则j(*) = g(*)f(*) 在(－¥, +¥)连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数, 则f(*)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数解. (b)是答案.3. 函数在以下哪个区间有界(a) (－1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2) (d) (2, 3)解. 所以在(－1, 0)中有界, (a) 为答案.4. 当的极限(a) 等于2 (b) 等于0 (c) 为 (d) 不存在, 但不为解. . (d)为答案.5. 极限的值是(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解. =, 所以(b)为答案.6. 设, 则a的值为(a) 1 (b) 2 (c) (d) 均不对解. 8 = = =, , 所以(c)为答案.7. 设, 则a, b的数值为(a) a = 1, b = (b) a = 5, b = (c) a = 5, b = (d) 均不对解. (c)为答案.8. 设, 则当*®0时(a) f(*)是*的等价无穷小 (b) f(*)是*的同阶但非等价无穷小(c) f(*)比*较低价无穷小 (d) f(*)比*较高价无穷小解. =, 所以(b)为答案.9. 设, 则a的值为(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.10. 设, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c解. 2 ==, 所以a =－4c, 所以(d)为答案.三. 计算题1. 求以下极限(1) 解. (2) 解. 令=(3) 解. = ==.2. 求以下极限(1) 解. 当*®1时, , . 按照等价无穷小代换 (2) 解. 方法1：== == = = = =方法2：== == = = =3. 求以下极限(1) 解. (2) 解. (3) , 其中a > 0, b > 0解. =4. 设试讨论在处的连续性与可导性.解. 所以 , 在处连续可导.5. 求以下函数的连续点并判别类型(1)解. , 所以* = 0为第一类连续点.(2)解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以* = 0为第一类跳跃连续点;不存在. 所以* = 1为第二类连续点;不存在, 而,所以* = 0为第一类可去连续点;, (k = 1, 2, …) 所以* =为第二类无穷连续点.6. 讨论函数 在* = 0处的连续性.解. 当时不存在, 所以* = 0为第二类连续点; 当, , 所以时,在 * = 0连续, 时, * = 0为第一类跳跃连续点.7. 设f(*)在[a, b]上连续, 且a < *1 < *2 < … < *n < b, ci (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)至少存在一个x, 使 .证明: 令M =, m =所以 m ££ M所以存在x( a < *1£x£ *n < b), 使得8. 设f(*)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: 假设F(*) = f(*)－*, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0于是由介值定理在(a, b)至少存在一个x, 使f(x) = x.9. 设f(*)在[0, 1]上连续, 且0 £ f(*) £ 1, 试证在[0, 1]至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: (反证法) 反设. 所以恒大于0或恒小于0. 不妨设. 令, 则. 因此. 于是, 矛盾. 所以在[0, 1]至少存在一个x, 使f(x) = x.10. 设f(*), g(*)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)至少存在一个x, 使f(x) = g(x).证明: 假设F(*) = f(*)－g(*), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0于是由介值定理在(a, b)至少存在一个x, 使f(x) = x.11. 证明方程*5－3*－2 = 0在(1, 2)至少有一个实根.证明: 令F(*) = *5－3*－2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0所以 在(1, 2)至少有一个x, 满足F(x) = 0.12. 设f(*)在* = 0的*领域二阶可导, 且, 求及.解. . 所以. f(*)在* = 0的*领域二阶可导, 所以在* = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为, 所以, 所以 =由, 将f(*)台劳展开, 得, 所以, 于是.2 导数与微分一. 填空题1 . 设, 则k = ________.解. , 所以所以2. 设函数y = y(*)由方程确定, 则______.解. , 所以3. f(－*) =－f(*), 且, 则______.解. 由f(－*) =－f(*)得, 所以所以 4. 设f(*)可导, 则_______.解. =+=5. , 则= _______.解. , 假设, 则, 所以6. , 则_______.解. , 所以. 令*2 = 2, 所以7. 设f为可导函数, , 则_______.解. 8. 设y = f(*)由方程所确定, 则曲线y = f(*)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导. 所以切线斜率. 法线斜率为, 法线方程为, 即 *－2y + 2 = 0.二. 选择题1. 函数f(*)具有任意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(*)的n阶导数是(a) (b) (c) (d) 解. , 假设=, 所以=, 按数学归纳法=对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意*均满足f(1 + *) = af(*), 且b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(*)在* = 1处不可导 (b) f(*)在* = 1处可导, 且a(c) f(*)在* = 1处可导, 且b (d) f(*)在* = 1处可导, 且ab解. b ==, 所以ab. (d)是答案注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导.3. 设, 则使存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. . 所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(*)在点*0处可导, 当自变量*由*0增加到*0 + D*时, 记Dy为f(*)的增量, dy为f(*)的微分, 等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ¥解. 由微分定义Dy = dy + o(D*), 所以. (b)是答案.5. 设 在* = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在* = 0处可导一定在* = 0处连续, 所以, 所以b = 0., , 所以 0 = a. (c)是答案.三. 计算题1. 解. 2. f(u)可导, 解. =3. , 求.解. 4. 设y为*的函数是由方程确定的, 求.解. , 所以四. 当*£ 0时, f(*)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时二阶可导.解. F(*)连续, 所以, 所以c = f(－0) = f(0);因为F(*)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且存在, 所以, 所以, 所以五. .解. , k = 0, 1, 2, …, k = 0, 1, 2, …六. 设, 求.解. 使用莱布尼兹高阶导数公式 =所以 3 一元函数积分学(不定积分)一. 求以下不定积分:1.解. 2. 3.解. 4.解. 方法一: 令, = 方法二: ==5．二. 求以下不定积分:1.解. =2.解. 令* = tan t, =3.解. 令 =4. (a > 0)解. 令 =5.解. 令 = = = =6.解. 令 =7. 解. 令 三. 求以下不定积分:1.解. 2.解. 令, =四. 求以下不定积分:1.解. = =2.解. 五. 求以下不定积分:1.解. 2.解. =3.解. 4.解. \5. 六. 求以下不定积分:1.解. =。