2018年高考数学 专题08 数列及其应用热点难点突破 理.doc

专题08 数列及其应用（热点难点突破）1．已知等比数列{an}的公比为－，则的值是(　　)A．－2　　　　　　 B．－C. D．2【答案】A【解析】由题意可知＝＝－2.2．已知数列{an}是等差数列，且a7－2a4＝6，a3＝2，则公差d＝(　　)A．2 B．4C．8 D．163．已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3等于(　　) A．－ B．1C．－或1 D．－1或【答案】A　【解析】若q＝1，则3a1＋6a1＝2×9a1，得a1＝0，矛盾，故q≠1.所以＋＝2，解得q3＝－或1(舍)，故选A.4．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*.若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 016＝(　　)A．92 015 B．272 015C．92 016 D．272 016【答案】D　【解析】由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列．数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n，∴c2 016＝33×2 016＝272 016，故选D.5．设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若＝(n∈N*)，则＝(　　)A. B．C. D.【答案】D　【解析】根据等差数列的前n项和公式及＝(n∈N*)，可设Sn＝kn2，Tn＝kn(2n＋1)，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(2n－1)，bn＝Tn－Tn－1＝k(4n－1)，所以＝，故选D.6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的斜率是(　　)A．4　　　　　　　　 B．3C．2 D．1【答案】A　【解析】设等差数列{an}的公差为d，因为S2＝2a1＋d＝10，S5＝(a1＋a5)＝5(a1＋2d)＝55，所以d＝4，所以kPQ＝＝＝d＝4，故选A.7．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是(　　)A．－5 B．－C．5 D.【答案】A【解析】根据已知得3an＝an＋1，∴数列{an}是等比数列且其公比为3，∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝9×33＝35，∴log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－5.8．如图4­1所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52＝(　　)图4­1A．2　　　　　 B．8C．7 D．49．设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是(　　)A. B．C. D.【答案】D　【解析】由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan}为首项为1，公差为5的等差数列，则20a20＝1＋19×5，解得a20＝，故选D.10．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝(　　)A．2n＋1　　　　 B．2nC．2n－1 D．2n－2【答案】A　【解析】由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.11．数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝(　　)A. B．C．5 D．6【答案】A　【解析】因为a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则＝，所以a5＝····a1，即a5＝××××1＝.故选A.12.＋＋＋…＋的值为(　　)A.　　　　　　 B.－C.－ D.－＋【答案】C　【解析】∵＝＝＝，∴＋＋＋…＋＝＝＝－.13．在等差数列{an}中，a1＝－2 012，其前n项和为Sn，若－＝2 002，则S2 014的值等于(　　)A．2 011 B．－2 012C．2 014 D．－2 013【答案】C　【解析】等差数列中，Sn＝na1＋d，＝a1＋(n－1)，即数列是首项为a1＝－2 012，公差为的等差数列．因为－＝2 002，所以(2 012－10)＝2 002，＝1，所以S2 014＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1]＝2 014，选C.14．数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋等于(　　)A. B．C. D.【答案】A　【解析】令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，上述n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，因此＝＝2，所以＋＋＋…＋＝2＝2＝.故选A.15．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于(　　)A.　　　　　　 B.C. D.【答案】B　【解析】y＝loga(x－1)＋3恒过定点(2,3)，即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，∴an＝n，∴bn＝，∴T10＝1－＝，故选B.16．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于(　　)A．445 B．765C．1 080 D．3 10517．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝(　　)A. B．C. D.【答案】B　【解析】由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而···…·＝··…·，有an＝，当n＝1时上式成立，所以an＝.故选B.18．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)A．192里 B．96里C．48里 D．24里【答案】B　【解析】由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.19．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝__________.【答案】3×21 008－3　【解析】∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n①，∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1②，∵①÷②得＝2，∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2 016＝＋＝3×21 008－3.20．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝__________，S5＝__________.【答案】1　121　21．设Sn是数列{an}的前n项和，an＝4Sn－3，则S4＝__________. 【答案】【解析】∵an＝4Sn－3，∴当n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1，当n≥2时，∵4Sn＝an＋3，∴4Sn－1＝an－1＋3，∴4an＝an－an－1，∴＝－，∴{an}是以1为首项，－为公比的等比数列，∴S4＝＝×＝.22．设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列的前n项和为__________．【答案】【解析】令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.23．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sk－2＝－4(k>2)，Sk＝0，Sk＋2＝8，则k＝__________.【答案】6　【解析】由题意，得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝8，Sk－Sk－2＝ak－1＋ak＝4(k>2)，两式相减，得4d＝4，即d＝1.由Sk＝ka1＋＝0，得a1＝－，将a1＝－代入ak－1＋ak＝4，得－(k－1)＋(2k－3)＝k－2＝4，解得k＝6.24．数列{logkan}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k>0，且k≠1.设cn＝anlg an，若{cn}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为__________. 【答案】∪(1，＋∞)　【解析】由题意得logkan＝2n＋2，则an＝k2n＋2，∴＝＝k2，即数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列，cn＝anlg an＝(2n＋2)·k2n＋2lg k，要使cn1时，lg k>0，n＋1<(n＋2)k2对一切n∈N*恒成立；当0(n＋2)k2对一切n∈N*恒成立，只需k20.6分易知Sn＝n2－6n，S3＝－9，S5＝－5，所以T5＝－(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＝－S3＋(S5－S3)＝S5－2S3＝13.8分当n≤3时，Tn＝－Sn＝6n－n2；当n≥。