中考数学回归教材重难点01 圆的有关计算问题（解析版）.docx

回归教材重难点01 圆的有关计算问题圆的有关计算是九年级《圆》的重点内容，通过对圆有关的性质定理的记忆与掌握，要求考生熟练的运用各种性质定理解决计算问题，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度中等或中等偏下1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三.2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半．推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）．推论2：圆内接四边形的对角互补．3．弦切角定理：弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.弦切角就是切线与弦所夹的角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．4.圆幂定理①相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．②切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．③割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．5.正圆的计算设的半径为，圆心角所对弧长为，①弧长公式：②扇形面积公式：③圆柱体表面积公式：④圆锥体表面积公式：（为母线）1．（2021·青海西宁·中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接OD，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案．【详解】解：连接OD，如图：在中，，，，由勾股定理，则，设半径为r，则，∴，∴四边形CEOF是正方形；由切线长定理，则，，∵，∴，解得：，∴；∴阴影部分的面积为：；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．2．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据正弦的定义求出，根据弧长公式计算求解．【详解】解：过点作于，则，由圆周角定理得：，，，，故选：．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（       ）A．2 B．4 C．3 D．4【答案】D【分析】连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，因为CE＝2DE，构造△DGE∽△COE，求出DG＝3，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，则AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解决．【详解】解：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BC＝6，∴AB＝BC＝12，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°，∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE，∴＝，∵CE＝2DE，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，∵∠ADB＝∠AGD＝90°，∠DAG＝∠BAD，∴△AGD∽△ADB，∴DG2＝AG•BG，∴9＝（6﹣3x）（6＋3x），∵x＞0，∴x＝，∴OE＝2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝，故选：D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出△DGE∽△COE是解题关键4．（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　） A． B． C． D．【答案】C【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可.【详解】如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，∵C是弧AB的中点，AB=6，∴OC⊥AB，AE=BE=3，∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°，又∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∵OC⊥AB,∴，,∴∴∴圆心O到弦AB的距离为，故选C.【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5．（2021·山东德州·模拟预测）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接OD交AC于F，如图，根据垂径定理得到OD⊥AC，则AF＝CF，根据圆周角定理得到∠C＝90°，所以OD∥BC，接着证明△BCE≌△DFE得到BC＝DF，则OFBC，所以OFOD＝1，然后利用勾股定理计算出AF，从而得到AC的长．【详解】连接OD交AC于F，如图，∵D是弧AC的中点，∴OD⊥AC，∴AF＝CF，∵AB是直径，∴∠C＝90°，∴OD∥BC，∴∠D＝∠CBE，在△BCE和△DFE中， ,∴△BCE≌△DFE（ASA），∴BC＝DF，∵OFBC，∴OFDF，∴OFOD＝1，在Rt△OAF中，AF2，∴AC＝2AF＝4．故选：D．【点睛】本题考查圆中垂径定理、圆周角定理等知识，解决问题的关键是连接OD，利用垂径定理构造直角三角形．6．（2021·山东临沂·二模）如图，等腰直角△ABC中，AC＝AB＝4，以AB为直径的半圆O交斜边BC于点D，则阴影部分的面积为（       ）（结果保留π）A．12﹣2π B．16﹣2π C．24﹣4π D．8【答案】A【分析】连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以AD=BD，S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD由此可得出结论．【详解】连接AD，OD，∵等腰直角△ABC中，∴∠ABD＝45°．∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD也是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵AB＝4，∴AD＝BD＝4，∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD＝S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD﹣S△ABD）＝×4×4﹣×4×4﹣+××4×4＝16﹣2π﹣4＝12﹣2π．故选：A．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形及扇形是解答此题的关键．7．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于（　　）A．22.5° B．20° C．15° D．12.5°【答案】C【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到OC=AB，证明△OAB是等边三角形，推出∠AOB=60°，利用垂径定理得到∠BOF=∠AOF=30°，再根据圆周角定理求出∠BAF．【详解】连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，∵OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OF⊥OC，OC，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，∴∠BAF=∠BOF=15°，故选：C． ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，垂径定理，圆周角定理，熟记垂径定理是解题的关键．8．（2021·广东·雷州市第八中学二模）如图，A、D是⊙上的两点，BC是直径，若∠D = 35°，则∠OCA的度数是（　　）A．35° B．55° C．65° D．70°【答案】B【分析】根据圆周角定理可得∠BAC=90°，∠B=∠D=25°，进而解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠D=35°，∴∠B=35°，∴∠OCA=90°-∠B=90°-35°=55°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键．9．（2021·广东阳江·二模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠BDC=30°，BC =3，则AB的长度为（        ）     A．6 B．3 C．9 D．12【答案】A【分析】连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠BAC=∠BDC=30°，再根据在直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，即可求得．【详解】解：如图：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BDC=30°，∴∠BAC=∠BDC=30°，∴AB=2BC=6．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形中30°角的性质，作出辅助线是解决本题的关键．10．（2021·山东青岛·中考真题）如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】【分析】连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．【详解】连接AC，OD，∵四边形BCD是正方形，∴∠B=90°，∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，∴∠PAO=∠PDO=90°，∴四边形AODP是矩形，∵OA=OD，∴矩形AODP是正方形，∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，∴∠E=∠ACB=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∵AB=2，∴AC=2AO=2，DE=CD=2，∴AP=PD=AO=，∴PE=3，∴图中阴影部分的面积故答案为：5-π．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．（2021·青海西宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______．【答案】【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案．【详解】解：由题意，设半径为r，则，∵，∴，∵是的直径，弦于点E，∴点E是CD的中点，∵，∴，在直角△OCE中，由勾股定理得，即，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．12．（2021·河南南阳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，在AB上有一点O，以点O为圆心，OA长为半径的半圆与边BC相切于点D，。