高三数学文科函数的周期性知识精讲人教版.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -高三数学文科函数的周期性学问精讲一. 本周教学内容：函数的周期性（一）概念对于函数 y f 〔x〕 ，假如存在一个不为零的常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f 〔 x T 〕f 〔 x〕 都成立，就把函数 yf 〔x〕 叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期，假如在全部的周期中存在着一个最小的正数，这个最小的正数叫最小正周期；注：（1）周期函数的周期 T 未必是正数未必有正周期如： ysinx, x 〔,0] ，明显 T2 是函数的一个周期，故y sin x， x 〔,0]是周期函数，假设f 〔x〕 有一个正周期 T ，当 x〔 T ,0〕 时， x T〔 ,0] ，故f 〔 x T 〕无意义，所以 ysinx, x 〔,0]不存在正周期；（2）如 T 是周期函数的周期， T 未必是函数的一个周期，但如f 〔 x〕是定义在 R 上的周期函数，就成立；如y sinx, x 〔,0] ， 2 是函数的一个周期，而 2 不是周期；（3）有正周期的周期函数，未必有最小正周期1, x为有理数如 D〔 x〕0, x为无理数任一有理数是f 〔x〕的一个周期，因有理数不存在最小正数，故所给函数不存在最小正周期；（4）周期函数的周期不止一个事实上，假如 T 是周期函数 f〔 x〕 的周期，用数学归纳法易证 nT （ nN * ）也是f 〔 x〕 的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至少一方无界的无穷点集；（5）周期函数的定义域至少是一方无界因函数的周期集合是定义域的子集，由（ 4）知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界；（ 6 ） 周 期 函 数 的 定 义 域 内 的 点 不 一 定 是 连 续 的 ， 可 能 是 有 间 断 的 ， 如 函 数y 1〔 xn, nZ 〕 是周期函数，定义域是整数集；（7）两个周期函数的和未必是周期函数如 f 〔x 〕cos xsin2 x ，假设f 〔 x〕 是以 T 为周期的周期函数就 cos〔x T 〕sin2 〔 x T 〕cos xsin2 x ，对任 xR 恒成立令 x 0, x T 代入上式，有 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -cosTsin 2Tcos 0sin 0cos Tsin 2T 1cos0sin 0cos〔 T 〕sin2 〔 T 〕cos Tsin 2T 1cosT 1T 2m 〔m Z 〕sin 2T 0 T∵ T 0 ∴ m n2 n 〔n Z 〕 20于是 24m冲突，故nf 〔 x〕非周期函数（二）性质1. 设f 〔 x〕是以 T 为周期的函数，证明（1）对任意正整数 n ， nT 也是f 〔 x〕的周期（2） f〔x〕有最小正周期 T，就f 〔x〕的全部周期都是 T 的整数倍注： 如f 〔 x〕 是定义在 R 上的周期函数，就（ 1）中 n Z证：（1）f 〔 xnT 〕f [ x〔n 1〕T T ]f [ x〔n 1〕T ]f 〔 x〕（2）设 t 是如 r 0 ，就f 〔x〕的任意一个周期，且 tT ，就存在 nN ，使 tnT r （ 0 r T ）f 〔x〕f 〔x t 〕f 〔 x nT r 〕f 〔xr 〕 ，即 r 也是f 〔 x〕正周期，而 rT 与 T 的最小性冲突，故 r 0,t nT2.（1）如f 〔 x〕 是数集 A 上的周期函数，就1f 〔x〕是数集{ x |f 〔 x〕0, xA} 上的周期函数（2）如f 〔x〕有最小正周期 T，就 T 也是函数1f 〔 x〕的最小正周期证：（1） 设 T 为f 〔 x〕 周期，就任 xA ， x TA ，且f 〔 x〕0 有 f 〔 x T 〕f 〔 x〕 从而1f 〔x T 〕1f 〔x〕，即 T 是1f 〔x〕的周期；（2）由（1）知 T 也是1f 〔 x〕的正周期， 假设 T 不是1f 〔 x〕的最小正周期， 就存在 T〔0,T 〕 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -是 1f 〔x〕的周期，即1f 〔x T 〕1f 〔 x〕f 〔x T 〕f 〔 x〕即 T 也是f 〔x〕 的周期， 且为正数， 这与 T 是f 〔 x〕 的最小正周期冲突， 所以 T 也是1f 〔x〕的最小正周期3. 函数f 〔 x〕 以 T 为最小正周期 函数F 〔x〕f 〔axb〕〔 a0〕 T 为最小正周期以a证（ 充分性）设T 是 F 〔 x〕 的最小正周期，令 ax bat ，就f 〔t 〕F 〔t b〕 a∴ f 〔x〕F 〔 x b 〕 a∴ f 〔x T 〕F 〔 x T b 〕 aF 〔 x b T 〕a aF 〔 x b 〕 af 〔 x〕假设 T 不是f 〔x〕的最小正周期，如存在 0 TT 是 f〔 x〕的周期，就 F 〔 x T 〕aTf [ a〔 xT 〕 b]aTf 〔 ax Tb〕 f 〔ax b 〕F 〔x〕即 是函数aF 〔 x〕 的周期与已知是 F 〔x〕 最小正周期冲突，得证（ 必要性）仿充分性a证明，略；4. （ 1）设 yf 〔u 〕 是定义在数集 A 上的函数， u〔 x〕是数集 B 上的周期函数，且〔 B 〕A ，就复合函数 yf [ 〔 x〕]为 B 上的周期函数；证明： 设 T 是 （ x ）的周期，就对任意x B ，且 x TB ，有〔 x T 〕〔x〕 ，从而 f [ 〔 xT 〕]f [ 〔x〕]即 y f [〔 x〕]为 B 上周期函数推论：如f 〔 x〕是周期函数，就 yf 〔 x〕c ， ycf 〔x〕 ， y[ f 〔 x〕] n （ cR, nN * ）y f 〔 x〕仍为周期函数（2）如 T 是 u〔 x〕的最小正周期，就复合函数y f [〔 x〕] 的最小正周期 T0 T如 f 〔u 〕u 2 , u〔 x〕cos x 复合函数f [ 〔 x〕]cos2x 为周期函数，且最小正周期T0 ，而〔 x 〕cos x 最小正周期 T2 ， T0 T（3）如 yf 〔u 〕 是数集 A 上具一一映射的函数， u〔x〕是数集 B 上具有最小正周期 T的函数，就 T 也是复合函数 y f [ 〔 x〕] 的最小正周期； 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -证： 由（ 1）T 也是复合函数f [ 〔 x〕] 的周期，假设 T 不 是 yf [ 〔 x〕]的最小正周期，就存在 T〔0, T 〕 为 f [〔x〕] 的周期，即对任 xB ， x TB 有 f [ 〔xT 〕]f [ 〔 x〕]而 y f〔u 〕 在 A 上具有一一映射，就〔 x T 〕(x) ，即 T 是函数〔 x〕 的周期，这与 T 是〔 x〕的最小正周期冲突得证；（ 4 ）设f1 〔 x〕 与f 2 〔 x〕是数集 A 上分别以 T1和 T2为正周期的函数，且T2 mT1 n（ m, nN * ），就它们的和、差、积是 A 上以mT1 （或nT2 ）为周期的周期函数证： f 〔 xmT1 〕g 〔 xmT1 〕f 〔 x〕g 〔 xnT2 〕f 〔 x〕g 〔 x〕f 〔xmT1 〕g〔 xmT1 〕f 〔x〕g 〔 x〕但是， 假如T1 与 T2 分别是f1 〔 x〕 与f 2 〔 x〕 的最小正周期， 那么T1 与 T 2 的最小公倍数不肯定是 f1 〔x〕f 2 〔 x〕 ， f1 〔x 〕f 2 〔x〕 的最小正周期， 如 sinx 与 cos2x 的最小正周期都是 ，明显，最小公倍数是 ，并不是sin 2 xcos2 x〔1〕 的最小正周期又如 sin x 的最小正周期是 2 ，明显 2 不是sin xsin xsin 2x 的最小正周期（5）对于定义在 R 上的函数f 〔x〕。