知识讲解-空间几何体的结构-基础.docx

空间几何体的结构【学习目标】1. 利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球的结构特征;2. 认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征；3. 能用上述结构特征描绘现实生活中简单物体的结构.【要点梳理】要点一、棱柱的结构特征1、 定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱.在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱 柱的侧而；相邻侧而的公共边叫做棱柱的侧棱.侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点.棱柱中不在同一平面上 的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线.过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面.2、 棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、 棱柱的表示方法：① 用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为ABCD-A4GD、ABCDE_A]BCD迟、ABCDEF -② 用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱AC或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱 AC“棱柱人耳等；六棱柱可表示为棱柱AC}.棱柱AD}.棱柱A厶等.4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.要点诠释：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面闱成的儿何体不一定是棱柱.如下图所示的儿何 体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱.判定一个几何体是否是棱柱吋，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这 两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的儿何体不是棱柱.要点二、棱锥的结构特征1、 定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这 个多边形面叫做棱锥的底面.有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面.各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.相 邻侧而的公共边叫做棱锥的侧棱；2、 棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……；C3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S-ABCD.要点诠释：棱锥有两个本质特征：（1） 有一个面是多边形；（2） 其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可.要点三、圆柱的结构特征1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何 体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴.垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面.平行 于轴的边旋转而成的曲而叫做圆柱的侧而.无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线.2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱00.要点诠释：（1） 用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面.（2） 经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底而直 径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面.（3） 圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴.要点四、圆锥的结构特征1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面 所围成的儿何体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴.垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面.不垂直于轴的边旋转而成的曲 血叫做圆锥的侧血.无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线.2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥S0.要点诠释：（1） 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面.（2） 经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线.（3） 圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线.要点五、棱台和圆台的结构特征1、 定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）； 原棱锥（圆锥）的底血和截血分别叫做棱台（圆台）的下底血和上底血；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面 叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后 剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角 边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、 棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台ABCD-A^C^；3、 圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台OO；要点诠释：（1） 棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体.所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有 侧棱，它们必相交于同一点.（2） 棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积Z比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高Z比的平方.（3） 圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.（4） 圆台的上、下底血的血积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方.要点六、球的结构特征1、 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径 叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、 球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球0.要点诠释：（1） 用一个平面去截一个球，截面是一个圆面.如果截面经过球心，则截面 圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径.（2） 若半径为/?的球的一个截面圆半径为厂，球心与截面圆的圆心的距离为d ,则有d = yjR2-r2 ・要点七、特殊的棱柱、棱锥、棱台特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直 棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥； 侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类如下表：圆柱柱体三棱柱 棱柱J四棱柱 I五棱柱棱柱锥体圆雄多面体s棱锥I棱台简单几何体棱锥三棱锥 i四棱锥 I五棱锥台体球体圆台1＜三棱台棱台四棱台＜五矗圆锥圆台I球体要点八、简单组合体的结构特征1、 组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的 几何体；2、 常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合. ①多面体与多面体的组合体由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体•如下图（1）是一个四棱柱与一个 三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组 合体.②多面体与旋转体的组合体由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个 圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成 的.③ 旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组合而成的儿何体称为旋转体与旋转体的组合体.如图（1）是由一个球体和一 个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和 一个圆锥组合而成的.要点九、几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：(1) 在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有 关证明及运算往往与两者相关.(2) 正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化 到这两个等腰梯形中.另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起來.(3) 研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主耍方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关 元素之间的位置、数量关系.(4) 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体儿何问题转化为平面儿何问题处理的重要手段之一.(5) 圆台问题有吋需要还原为圆锥问题来解决.(6) 关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于 球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面.【经典例题】类型一：简单几何体的结构特征例1・判断下列说法是否正确.(1) 棱柱的各个侧面都是平行四边形；(2) 一个n (n>3)棱柱共有2n个顶点；(3) 棱柱的两个底面是全等的多边形；(4) 如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形.【答案】(1)(2) (3)正确，(4)不正确.【解析】(1)由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面内两条底边也互相平行，所以各 侧面都是平行四边形.(2) —个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个项点，两个底面的顶点数 Z和即为棱柱的顶点数，即2n个.(3)因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的 对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等.(4)如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的 底边，但英余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不--定是矩形.故(1) (2) (3)正确，(4)不正确.【总结升华】解决这类与棱柱、棱锥、棱台有关的命题真假判定的问题，其关键在于准确把握它们的结构 特征，也就是要以棱柱、棱锥、棱台概念的本质内涵为依据，以具体实物和图形为模型來进行判定.举一反三：【变式1】如下图中所示儿何体中是棱柱有( )A. 1 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】C【高清课堂：空间几何体的结构394899同步练习】【变式2】有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱吗？【答案】不一定例2.有下面五个命题：（1） 侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（2） 侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（3） 底面是正方形的棱锥是正四棱锥；（4） 正四面体就是正四棱锥；（5） 顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，乂是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是（ ）・A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】A【解析】 本题主要考查正棱锥的概念，关键看是否满足定义中的两个条件.命题（1）中的“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保证顶点在底面上的 射影是底面的中心，故不是正棱锥，如下图（1）中的三棱锥S-ABC,可令SA二SB二BC二Ac二3, SC二AB二1,则 此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；命题（2）中的“侧棱都相等”并不能保证底面 是正多边形，如下图（2）中的三棱锥P-DEF,可令PD=PE=PF=1, DE = DF =迈,EF=1,三条侧棱都相等, 但它不是正三棱锥；命题（3）中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底而上的射影不一定是底面的中心，如 下图（3）,从正方体中截取一个四棱锥D-ABCD,底面是正方形，但它不是正四棱锥；命题（4）中的“正四 血体”是正三棱锥.三棱锥中共有4个面，所以三棱锥也叫四面体.四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也 叫正四面体；命题（5）中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心”，说明了底面是一个正 多边形，符合正棱锥的定义.举一。