高中数学方法讲解之放缩法（2022年整理）.pdf

第 页 共 4 页 1 放缩法放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法 放缩法的方法有： 添加或舍去一些项，如：aa+12；nnn+ ) 1( 将分子或分母放大（或缩小） 利用基本不等式，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log2=+； 2) 1() 1(+nnnn 利用常用结论： 、kkkkk21111+=+； 、kkkkk111) 1(112= ； 111) 1(112+=+kkkkk（程度大） 、)1111(21) 1)(1(111122+=+=kkkkkk ； （程度小） 例 1.若a, b, c, dR+，求证：21+caddbdccacbbdbaa 【巧证】 ：记m =caddbdccacbbdbaa+ a, b, c, dR+ 1=+cbaddbadccacbabdcbaam 第 页 共 4 页 2 2=+cdddccbabbaam 1 m 2 时，求证：1) 1(log) 1(log+nnnn 【巧证】 ：n 2 0) 1(log, 0) 1(log+nnnn 2222) 1(log2) 1(log) 1(log) 1(log) 1(log=+nnnnnnnnnn 12log22=nn n 2 时, 1) 1(log) 1(log+nnnn 例 3.求证：213121112222+n 【巧证】 ：nnnnn111) 1(112= 2121113121211113121112222=+nnnn 十二、放缩法十二、放缩法: : 巧练一：设x 0, y 0,yxyxa+=1, yyxxb+=11，求证：a b 巧练一： 【巧证】 ：yyxxyxyyxxyxyx+=+11111 巧练二：求证：lg9lg11 b c, 则0411+accbba 巧练四： 【巧证】： cacbbacbbacbba=+4)()(22)(12112 巧练五：)2,(11211112+nRnnnnn 巧练五： 【巧证】 ：左边11111122222=+=+nnnnnnnn 巧练六：121211121+nnn 巧练六： 【巧证】 ： 11121+nnnn中式 巧练七：已知a, b, c 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn 0, 22,cbcbcacann 1=+nncbca 放缩法是不等式的证明里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换法等。

所谓放缩法，要证明不等式 AB 成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将 A 放大成 C，即 AC，后证 CB，这种证法便称为放缩法 放缩法的常见技巧有： （1）舍掉（或加进）一些项 （2）在分式中放大或缩小分子或分母 （3）应用基本不等式放缩 （4）应用函数的单调性进行放缩 （5）根据题目条件进行放缩 放缩法的理论依据主要有： （1）不等式的传递性； 第 页 共 4 页 4 （2）等量加不等量为不等量； （3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较 放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法 注意： （1）放缩的方向要一致 （2）放与缩要适度 （3）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。