第1 1课时 函数的单调性 一二一、增函数和减函数的定义1.画出函数f(x)=x,f(x)=x2的图象,观察它们的图象,图象的升降情况如何?提示:根据列表法的三个步骤:列表→描点→连线得两函数的图象如下.函数f(x)=x的图象由左到右是上升的;函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的. 一二2.如何利用函数解析式f(x)=x2来描述随着自变量x值的变化,函数值f(x)的变化情况?提示:在(-∞,0]上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐减小;在(0,+∞)上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐增大.3.如何用x与f(x)的变化来描述当x在给定区间从小到大取值时,函数值依次增大?如果是函数值依次减小呢?提示:在给定区间上任取x1,x2且x1f(x2). 一二4.填表:增函数和减函数 一二5.做一做:(1)f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是 .(填“增函数”或“减函数”) (2)f(x)=x2-1在区间[0,+∞)上是 .(填“增函数”或“减函数”) 答案:(1)减函数 (2)增函数 一二6.判断正误:对于函数f(x),若在区间[a,b]上存在两个数x1,x2,且x1f(x2)成立,则可认为f(x)在区间[a,b]上是减函数. ( )答案:× 一二二、函数的单调性与单调区间1.填空:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 一二2.做一做:(1)若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=- 为分界线. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2]. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究二证明函数的单调性探究二证明函数的单调性例2求证:函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数.分析:在区间(0,1)内任取x1,x2,且x1f(x2)即可.证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x10,x1x2-1<0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).故函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟反思感悟 证明或判断函数的单调性,主要是利用定义法,其基本步骤是: 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测特别提醒特别提醒 作差变形的常用技巧:(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例.(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究延伸探究判断并证明本例中的函数f(x)在区间[1,+∞)上的单调性.证明如下:任取x1,x2∈[1,+∞),且x10,x1x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)g(1-3t),求t的取值范围. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测因混淆“单调区间”和“在区间上单调”两个概念而致错典例若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的取值集合是 . 错解函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由于函数在区间(-∞,4]上单调递减,因此1-a≥4,即a≤-3.故实数a的取值集合为{a|a≤-3}.以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:错解中把单调区间误认为是在区间上单调.正解:因为函数的单调递减区间为(-∞,4],且函数图象的对称轴为直线x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故实数a的取值集合为{-3}.答案:{-3} 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测纠错心得纠错心得 单调区间是一个局部概念,比如说函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调,则是指该区间为相应单调区间的子集.所以我们在解决函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件的含义. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练若函数f(x)=2x2+7(a-3)x+2在区间(-∞,5]上单调递减,则实数a的取值范围是 . 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数y=f(x)的所有单调递减区间为( )A.[-4,-2]B.[1,4]C.[-4,-2]和[1,4]D.[-4,-2]∪[1,4]答案:C2.若函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则k的取值范围是( )解析:当2k+1<0,即k<- 时,函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数.答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.若函数y=f(x)满足f(-x)=f(x),且函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,则有( )答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间是 . 解析:由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和(1,+∞).答案:(-∞,1]和(1,+∞) 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.若函数f(x)在区间[-2,2]上是减函数,则f(-1) f(2).(填“>”“<”或“=”) 解析:∵f(x)在区间[-2,2]上是减函数,且-1<2,∴f(-1)>f(2).答案:>证明:对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1
