弹性力学课件 平板弯曲问题 (1).ppt

平板弯曲问题的有限元分析(1)Kirchhoff弹性薄板理论9-1 有关概念及计算假定9-2 弹性曲面的微分方程9-3 薄板横截面上的内力 9-4 边界条件 扭矩的等效剪力参考文献：“弹性力学(下册)”第13章徐芝纶9-1 有关概念及计算假定力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷如板不是平板而为曲的(指一个单元)，则称为壳问题如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题薄膜 t厚度薄板厚板 b板长宽最小值几何条件？载荷条件？薄板是厚度远小于板面尺寸的物体9-1 有关概念及计算假定薄板的上下平行面称为板面薄板的侧面，称为板边平分厚度的面,称为中面钱伟长钱学森9-1 有关概念及计算假定1有关概念:薄板: 板的厚度远小于中面最小尺寸的板纵向荷载: 平行于中面横向荷载: 垂直于中面挠度: 中面各点在垂直中面方向的位移.薄板小挠度弯曲理论的研究对象：很薄，但是仍然具有相当的弯曲刚度，挠度远小于厚度的薄板大挠度？厚板？2 2 计算假定计算假定: “: “自相矛盾的自相矛盾的”Kirchhoff Kirchhoff 计算假定计算假定a): 垂直于中面方向的线应变不计，取因此：在中面的任一根法线上各点具有相同的横向位移，也就等于挠度b):应力分量远小于其余个应力分量，所引起的变形可不计因此，中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，成为弹性曲面的法线 (为什么？)(9-1)矛盾之一：薄板的物理方程：c): 薄板中面内各点都没有平行于中面的位移因此，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在面上的投影形状却保持不变，(为什么？)(9-2)(9-3)矛盾之二：9-弹性曲面的微分方程(1) 将纵向位移 用挠度 表示.把式(9-1)对z积分，得应用假定(9-3)，得：于是纵向位移表示为：(2) 把上式代入几何方程，得到主要应变量表达式；（a）曲率？扭率？广义应变？(3) 由薄板的物理方程（9-2）得到主要应力分量的表达式：用挠度表示：(9-4)(4)由平衡微分方程和边界条件得到次要应力分量的表达式：其中，引用记号考虑到不存在纵向载荷，则有将上两式对z积分，得: (注意到 不是z的函数)根据薄板上，下板面的边界条件：求出以后，即得： (9-5)(5) 由平衡方程得：如果 不等于零，则薄板单位面积内体力面力都归于上板面的面力中，一并用q表示，即：(c)(d)将(9-5)式代入式(c),得，对z积分，得到：(e)可由薄板下板面的边界条件确定，代入(e)得：(9-6)将(9-6)式代入薄板上板面的边界条件：(f)得：(9-7)(9-8)(9-9)薄板的弹性曲面微分方程9-薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力，称为薄板内力，是指薄板横截面的单位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩。

从薄板内取出一个平行六面体，分析内力；如图所示，在x为常量的截面上，作用的 都与z轴成正比，因此它在薄板全厚度上的主矢量都等于零，只可能分别合成为弯矩和扭矩对x为常量的横截面上的每单位宽度，应力对中面合成的弯矩：将(9-4)式中第一式代入对z进行积分，得弯矩(a)类似，应力分量将合成横截面内的扭矩将(9-4)式中第三式代入对z进行积分，得(b)应力分量 只能合成横向剪力，在每单位宽度上为：将(9-5)式中第一式代入对z进行积分，得：(c)同样，在y为常量的截面上，每单位宽度内的 也分别合成如下的弯矩，扭矩，和横向剪力：(d)(e)(f)将式 (9-9) 代入式 (a)至(f)，薄板横截面上的内力可以简写为:(9-10)薄板弯曲刚度：广义应变 曲率扭率 薄板内力的正负方向是从应力的正负方向的规定得出的：正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矢为正，反之为负下图所示为所有薄板内力的正方向消去w可得各应力分量与弯矩，扭矩横向剪力，或荷载之间的关系：(9-11)材料力学中的梁的弯曲正应力公式？薄板弯曲问题中：主要应力是弯应力和扭应力；横向剪应力是次要应力，挤压应力是最次要的应力(9-12)应力分量 的最大值发生在板面，而 的最大值发生在板的上面，各个最大值为：9-边界条件 扭矩的等效剪力与薄板的上下板面相比，板边是次要的边界面。

因此，在板边可以应用圣维南原理，把应力边界条件替换为内力的边界条件，即横向剪力及弯矩的条件同时，板边的位移边界条件也相应地替换为中面的挠度及转角的条件9-13)(9-14)(a)(b)(c)薄板任一边界上的扭矩都可以变换为等效的横向剪力，即扭矩的等效剪力：AEFGBEFGBdx dx(a)A(b)假定AB边为任意边界，在其上一段微小长度上，将扭矩变换成等效的两个力， AB上总的分布剪力：A，B点未被抵消的集中剪力：（d）如果A，B边是自由边，它的边界条件(c)就可以变换成：（e）用w表示成为：(9-17) 如果早自由边上有力矩荷载M和横向荷载FSt 则(e)式右边不等于零，分别等于M和横向荷载FSt ，边界条件（9-15）不适用同样，对于边界BC (x=a)，则有：（g）改用挠度w表示成为：(9-15)在两边相交的一点，例如B点，总的集中反力为：用w表示：(9-18)如果B点有支柱阻止B点发生挠度，则上述角点条件应改为：如果B点没有支柱对其施加集中反力，则在B点还要补充角点条件FRB =0，即：(9-19)(9-20)而支柱对薄板所施加的反力如式（9-18）。