立体几何证明题考点1:点线面的位置关系及平面的性质例1•下列命题：① 空间不同三点确定一个平面；② 有三个公共点的两个平面必重合；③ 空间两两相交的三条直线确定一个平面；④ 三角形是平面图形；⑤ 平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥ 垂直于同一直线的两直线平行；⑦ 一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧ 两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是 .【解析】 由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面B' C D'中，直线BB'只有一条公共线（当这三个公共点共线时），②错•③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若 为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面•⑤中平行四边形及梯形 由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图 ⑴所示.丄AB, BB'丄CB,但 AB与CB不平行，二⑥错. AB/CD, BB，n AB= B,但 BB'与 CD不相交，.••⑦错.如图（2）所示，AB= CD, BC= AD,四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错.【答案】 ④2•若P是两条异面直线I、m外的任意一点，则A.过点P有且仅有一条直线与1、m都平行B.过点P有且仅有条直线与1、m都垂直C.过点P有且仅有条直线与1、m都相交D.过点P有且仅有一条直线与I、m都异面答案 B解析 对于选项A,若过点P有直线n与I, m都平行，则I // m,这与I, m异面矛盾.对于选项B,过点P与I、m都垂直的直线，即过 P且与I、m的公垂线段平行的那一条直线.对于选项C,过点P与I、m都相交的直线有一条或零条.对于选项D,过点P与I、m都异面的直线可能有无数条.3•已知异面直线a, b分别在平面a ,卩内，且a n 3 = c,那么直线c 一定A. 与a, b都相交B. 只能与a, b中的一条相交C. 至少与a, b中的一条相交D. 与a, b都平行答案 C解析 若c与a, b都不相交，则c与a, b都平行，根据公理 4，则a // b，与a , b异面矛盾.考点2 :共点、共线、共面问题例1•下列各图是正方体和正四面体,①在A中易证PS// QR,R、S四点共面.P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是② 在C中易证PQ// SR••• P、Q、R、S四点共面.③ 在D中，T QR?平面ABC,PSn面 ABC = P 且 P?QR,•直线PS与QR为异面直线.• P、Q、R、S四点不共面.④ 在B中P、Q、R、S四点共面，证明如下：取BC中点N,可证PS NR交于直线BiCi上一点，• P、N、R、S四点共面，设为a . 可证PS// QN,「. P、Q、N、S四点共面，设为 3 •Ta、3都经过P、N、S三点，• a与3重合，• P、Q、R、S四点共面.【答案】 D2•空间四点中，三点共线是这四点共面的 （ ）A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A3•下面三条直线一定共面的是A. a、b、c两两平行B. a、b、c两两相交C. a II b, c与a、b均相交D. a、b、c两两垂直答案 C4. 已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交于一点.【解析】 设aA 3 = a,卩门丫= b, Y a = c,由 a? 3 , b? 3 ,则 aA b= O,如图(1),或 a // b，如图(2),若 a A b= O,O€ a, a? a ,贝y O€ a , O€ b, b? y ,贝U O€ y,又 Y A a = C,因此 O€ c；若 a // b, a? y, b? y ,贝U a // y ,又 a? a , a A 丫 = c，贝U a I c.因此三条交线相交于一点或互相平行.5•如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边 AB, AD的中点,F, G分别是边BC, CD上的点，且 CB= CD= I-⑴求证：三条直线 EF, GH,AC父于一点.⑵若在本题中，ebAE CFFb= 2,ah cgAH CG= 3，其他条件不变.求证:GDHDBD三线EH、FG共点.【解析】 ⑴T E,H分别是AB,AD的中点,•••由中位线定理可知,EH 綊 |bd.又••CF= CG= 2CB= CD= 3,2•••在厶 CBD 中，FG// BD,且 FG= §BD.•由公理 4知，EH// FG,且EHHG.•四边形EFGH为梯形.设EH与FG交于点P,贝U P€平面 ABD, P€平面 BCD.• P在两平面的交线 BD 上.• EH FG BD三线共点.考点3 :异面直线的夹角1. 在正方体 ABCD- AiBiCiDi中，E为AB的中点.求 BDi与CE所成角的余弦值.【解析】 连接ADi, AiD交点为M，连接ME, MC,则/ MEC（或其补角）即为异面直线 BDi与CE所成的角，设 AB= i, CE=-^, ME= iBDi^23, CM2= CD2+ DM2= 2.在厶 MEC 中，cos/ MEC34-谭因此异面直线BDi与CE所成角的余弦值为誉.ME2.如图，若正四棱柱ABCD- AiBiCiDi的底面边长为2，高为4，则异面直线BDi与AD所成角的正切值3.已知正四棱柱 ABCD- AiBiGDi中，AAi= 2AB, E为AAi中点，则异面直线 BE与CDi所成角的余弦值为 ( )答案 C解析 连接BAi，则CD1 // BA1,于是/ AiBE就是异面直线 BE与CDi所成的角（或补角），设AB= 1，则BE= ,'2, BAi= ：5, AiE= 1 ,在厶 AiBE 中,cos/ AiBE=3 , i0io,选C.4•已知正方体 ABCD- AiBiCiDi中，E为CiDi的中点，则异面直线 AE与BC所成角的余弦值为 【解析】 取AiBi的中点F,连接EF, FA,则有EF/ BiCi / BC, / AEF即是直线 AE与BC所成的角或其补角.设正方体 ABCD— AiBiCiDi的棱长为2a,则有 EF= 2a , AF= •； 2a 2 + a2 = ;5a , AE= ; 2a 2+ 2a 2+ a2 = 3a.在厶 AEF 中，cos/ AEF=A^+ EP — AF22AE- EF —9a2+ 4a2 — 5 a22X 3ax 2a=3.因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值是|.2【答案】2 考点4 :直线与平面平行的判定与性质i.下列命题中正确的是 .① 若直线a不在a内，贝U a / a ;② 若直线I上有无数个点不在平面 a内，则I // a ;③ 若直线I与平面a平行，则I与a内的任意一条直线都平行；④ 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤ 若I与平面a平行，则I与a内任何一条直线都没有公共点；⑥ 平行于同一平面的两直线可以相交.答案⑤⑥解析 an a = A时，a不在a内，.••①错；直线I与a相交时，I上有无数个点不在 a内，故②错；I // a时，a内的直线与I平行或异面，故③错；a / b, b // a时，a // a或a? a ,故④错；I // a,则I与 a无公共点，「• I与a内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中， AiCi与BiDi都与平面ABCD平行，二⑥正确.2. 给出下列四个命题：① 若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；② 若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；③ 若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行;④ 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行. 其中正确命题的个数是 个.答案 1解析 命题①错，需说明这条直线在平面外.命题②错，需说明这条直线在平面外.命题③正确，由线面平行的判定定理可知.命题④错，需说明另一条直线在平面外.3•已知不重合的直线 a, b和平面a ,① 若 a// a , b? a,贝y a // b;② 若 a/ a , b// a，贝U a // b;③ 若 a// b, b? a ,贝U a / a ;④ 若 a// b, a? a ,贝U b// a 或 b? a ,上面命题中正确的是 （填序号）.答案④解析 ①若a // a , b? a ,则a, b平行或异面；②若a // a , 平行、相交、异面都有可能；③若 a // b, b? a , a// a或a? a .4•正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于 AB,在AE、BDQ,且 AP= DQ.求证：PQ//平面 BCE【证明】 方法一 如图所示.作 PM // AB 交 BE 于 M ,作 QN// AB 交 BC于 N,连接MN.•••正方形 ABCD和正方形 ABEF有公共边AB,「. AE= BD.又 AP= DQ,「. PE= QB.f ” ” PM PE QB QN BQ又 PM// AB// QN」-pB= QD，QC=而..PM_QN…AB = DC..PM綊QN,即四边形PMNQ为平行四边形..PQ// MN.又 MN?平面 BCE, PQ?平面 BCE.PQ//平面 BCE方法二 如图，连接AQ,并延长交BC延长线于K,连接EK•/ AE= BD , AP= DQ ,.PE= BQ,.生' PE BQ.QM.• PM // BE,AP_ AM Mb.又 AD // BK,• DQ AQ • AP AQ ••- BQ= QK，・ PE= QK，・ PQ〃 EK又PQ?平面BCE EK?平面 BCE,• PQ//平面BCE方法三 如图，在平面 ABE F内，过点P作PM// BE,交AB于点M，连接••• PM//平面 BCE又•••平面 ABEFA平面 BCE= BE,又 AE= BD, AP= DQ,.・.PE= BQ.AP_ DQ • AM _ DQ PE= BQ'…MB = QB.• MQ // AD.又 AD// BC,• MQ // BC, • MQ //平面 BCE又 PM n MQ = M ,•平面 。
