第3讲对角互补模型原卷版.doc

中考数学几何模型3：对角互补模型名师点睛 拨开云雾 开门见山共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.类型一：含90°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论：；； 作法1 作法2（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：；； 作法1 作法2类型二：含120°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论：；； 作法1 作法2（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：；； 作法1 作法2典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．变式练习>>>1. 角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．例题2. 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．变式练习>>>2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD=_______.例题3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　　．变式练习>>>3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（　　）A． B． C． D．例题4. 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．变式练习>>>4. 我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．例题5. 已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．（1）利用图1，求证：PA＝PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连结DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④DE长度的最小值为4；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是______________.2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长.3. 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：（1）CF的长；（2）OF的长．4. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是　 　；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为DE+DF＝AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．5. “如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E段AC上，则＝　 　；（2）数学思考：①如图3，若点E段AC上，则＝　　（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．6.（2019·贵阳适应性）如图①，已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公园门口的距离BD的长度.。