向量组的线性相关性(IV).ppt

Henan Agricultural University 一、解的判定定理 二、方程组的求解 结束回回 顾顾Henan Agricultural University•一、一、n 维向量的定义及线性运算维向量的定义及线性运算•二、向量组的线性相关性的定义二、向量组的线性相关性的定义•三、向量组的线性相关性的判定三、向量组的线性相关性的判定•四、向量组的线性相关性的系列性质四、向量组的线性相关性的系列性质第二节 向量组的线性相关性Henan Agricultural University一、一、n 维向量的定义及线性运算维向量的定义及线性运算1. n n 维向量的定义维向量的定义维向量的定义维向量的定义一维、二维、三维向量，推广到一维、二维、三维向量，推广到 n 维向量维向量v n维向量维向量 n个有次序的数a1 a2   an所组成的数组 (a1 a2   an ) 或 (a1 a2   an )T分别称为n维行向量行向量或或列向量列向量。

向量通常用黑体小写希腊字母 、  等表示显然，行向量即为行矩阵，列向量为列矩阵 这n个数称为向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 分量全为实数的向量称为实向量分量全为实数的向量称为实向量  分量为复数的向量称为复向量分量为复数的向量称为复向量  Henan Agricultural University 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算线性运算向量的线性运算满足向量的线性运算满足8 8个规则个规则：》》》 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间（或线性空间） 例如，全体3维向量的集合；闭区间上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间2.2.向量的线性运算向量的线性运算Henan Agricultural University 一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组  线性方程AmnX0的全体解当R(A)n时是一个含无限多个n维列向量的向量组 v向量组 若若干干个个同同维维数数的的列列向向量量(或或同同维维数数的的行行向向量量)所所组组成成的的集集合叫做向量组合叫做向量组  Henan Agricultural University 1. 线性组合与线性表示线性组合与线性表示 设 A a1 a2  am是一向量组 表达式 k1a1k2a2  kmam称为向量组A的一个线线性性组组合合 其中k1 k2  km是一组实数 称为这个线性组合的系数 如果向量b是向量组A的线性组合b 1a12a2  mam则称向量向量b能由向量组能由向量组A线性表示线性表示 二、向量组的线性相关性的定义二、向量组的线性相关性的定义例如，任一n维向量，都可以由n维基向量线性表示。

Henan Agricultural University 例例1 判断向量b1(4 3 1 11)T是否为向量组a1(1 2 1 5)T a2(2 1 1 1)T的线性组合 若是 写出表示式 考虑x1a1x2a2b1 解解 所以R(a1 a2 b1)R(a1  2) 从而方程组有解 即b1可由a1 a2线性表示 且存在x12 x21 使2a1a2b1 因为v定理定理1 向量b能由向量组A a1 a2  am线性表示的充分必要条件是矩阵A(a1 a2  am)与矩阵B(a1 a2  am b)的秩相等 即R(A)R(B) 此为非齐次线性方程组，Henan Agricultural University2.2.向量组线性相关的定义向量组线性相关的定义 定定义义1 1 向量组A a1 a2  am(m2)线性相关在向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示 定定义义2 2 给定向量组A a1 a2  am k个数k1 k2  km 构造 k1a1 k2a2     kmam 0  （（* *）） 如果存在不全为零的数k1 k2  km 使（*）式成立，称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 这两个定义是等价的：Henan Agricultural University 如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向量线性表示 即有1 2  m1 使am1a12a2  m1am1于是 1a12a2  m1am1(1)am0因为1 2  m1 1不全为0 所以向量组A线性相关 如果向量组A线性相关 则有k1a1k2a2  kmam0其中k1 k2  km不全为0 不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2  kmam)即a1能由a2  am线性表示 Henan Agricultural University 例2 设a1(1 2 3)T a2(0 2 5)T a3(2 0 4)T 讨论向量组a1 a2 a3的线性相关性 解 考察线性方程组1a12a23a3 0 即 即方程组有非零解 所以向量组a1 a2 a2线性相关 即R(A)﹤n﹤nHenan Agricultural University研究这个例子：＝(a1 a2 a3)R(A)﹤n﹤n方程组有非零解 向量组a1 a2 a2线性相关 R(A)＝＝n n方程组有唯一解 向量组a1 a2 a2线性无关 Henan Agricultural Universityv定理2 向量组a1 a2  am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(a1 a2  am)的秩小于向量个数m 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m 这是因为 向量组A a1 a2  am线性相关  x1a1x2a2  xmam0即Ax0有非零解 R(A)m 判定具体向量组的相关性可以用定义判定具体向量组的相关性可以用定义2 2和定理和定理2 2；；判定抽象向量组的相关性用定义判定抽象向量组的相关性用定义2.2.Henan Agricultural University n维单位坐标向量组构成的矩阵为E(e1 e2  en) 是n阶单位矩阵 由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量组中向量个数 所以此向量组是线性无关的 例3 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性 解 向量组a1 a2  am线性无关R(a1 a2  am)m Henan Agricultural University 例4 已知a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 n维单位坐标向量组e1 e2  en是线性无关的 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 向量组a1 a2  am线性无关R(a1 a2  am)m 可见R(a1 a2 a3)2 R(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关 Henan Agricultural University 设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为a1 a2 a3线性无关 故有 例5 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法一 由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性无关Henan Agricultural University 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 例5 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 因为矩阵A的列向量组线性无关 所以可推知Kx0 又因|K|20 知方程Kx0只有零解x0 所以矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关 记作BAK 设Bx0 以BAK代入得A(Kx)0 Henan Agricultural University 例5 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法三 因为A的列向量组线性无关 所以R(A)3 从而R(B)3 因此b1 b2 b3线性无关因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A) 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 记作BAK Henan Agricultural University (1)含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量a线性相关  a0 (3)两个非零向量a1 a2线性相关  a1ka2三、向量组的线性相关性的系列性质三、向量组的线性相关性的系列性质(4)若向量组A a1 a2  am线性相关 则向量组B a1 a2  am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 这这个个结结论论可可叙叙述述为为  一一个个向向量量组组若若有有线线性性相相关关的的部部分分组组  则则该该向向量量组组线线性性相相关关  一一个个向向量量组组若若线线性性无无关关  则则它它的的任任何何部部分分组组都都线性无关线性无关  特别地 含零向量的向量组必线性相关Henan Agricultural University 这是因为 记A(a1 a2  am) B( a1 a2  am am1) 有R(B)R(A)1 若向量组A线性相关 则有R(A)m 从而 R(B)R(A)1m1 因此向量组B线性相关 (4)若向量组A a1 a2  am线性相关 则向量组B a1 a2  am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 Henan Agricultural University (5)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关 这是因为 m个n维向量a1 a2  am构成矩阵Anm(a1 a2  am) 有R(A)n 若nm 则R(A)nm 故m个向量a1 a2  am线性相关Henan Agricultural University (6)设向量组A a1 a2  am线性无关 而向量组B a1 a2  am b线性相关 则向量b必能由向量组A线性表示 且表示式是唯一的 这是因为 记A(a1 a2  am) B( a1 a2  am b) 有即向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一有唯一解(a1 a2  am)xb因此方程组 即有R(B)R(A)m mR(A)R(B)m1 Henan Agricultural University (2) 用反证法 假设a4能由a1 a2 a3线性表示 而由(1)知a1能由a2 a3线性表示 例例6 设向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a2 a3 a4线性无关 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示 (1)因为a2 a3 a4线性无关 所以a2 a3也线性无关 证明证明 因此a4能由a2 a3线性表示 这与a2 a3 a4线性无关矛盾又a1 a2 a3线性相关 所以a1能由a2 a3线性表示 Henan Agricultural University小结相关性的定义相关性的判定方法相关性的性质。