等腰三角形+角平分线.doc

第一部分：知识点回顾第一部分：知识点回顾角平分线的性质及判定：角平分线的性质及判定：1、角平分线：、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①①平分线上的点；平分线上的点；②②点点到边的距离；到边的距离；3、角平分线的判定定理：、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上4.注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号： 例：如图 角的平分线的性质定理的几何语言：角的平分线的性质定理的几何语言： ∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，∴PD=PE 角的平分线的判定定理的几何语言：角的平分线的判定定理的几何语言： ∵PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，PD=PE ∴点 P 在∠AOB 的平分线上 等腰三角形的性质及判定：等腰三角形的性质及判定： 1. .等腰三角形等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边， 两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.2.等腰三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定性质 1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ）性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一” ）判定判定 (1)有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形 (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角 对等边” ） 3.等边三角形等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 4.等边三角形的性质等边三角形的性质 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 5.5.等边三角形有关判定等边三角形有关判定 (1 )三条边都相等的三角形是等边三角形 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.6.6.由对等边三角形推出的一个关于直角三角形的一个性质由对等边三角形推出的一个关于直角三角形的一个性质 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它对的直角边等于斜边的一半.第二部分：典型例题第二部分：典型例题如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，BE，CD 相交于Ｏ，ＯＢ＝ＯＣ。

求证∠１＝∠２．四边形 ABCD 中，AD∥BC，AE 平分∠DAB,BE 平分∠ABC，点 E 恰在 DC 上，∠C=∠D=90° （1）求证：AE⊥BE （2）猜想 AB、AD、BC 之间有何数量关系？请证明你的结论 如图，D、E、F 分别是△ABC 的三条边上的点，CE=BF，△DCE 和△DBF 的面积相等． 求证：AD 平分∠BAC．如图，某铁路 MN 与公路 PQ 相交于点 O，且夹角为 90°，其仓库 G 在 A 区，到公路和铁 路距离相等，且到公路距离为 5cm．（1）在图上标出仓库 G 的位置． （比例尺为 1：10 000，用尺规作图） ． （2）求出仓库 G 到铁路的实际距离如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A 的度数.如图，△ABC 中 BA=BC，点 D 是 AB 延长线上一点，DF⊥AC 于 F 交 BC 于 E， 求证：△DBE 是等腰三角形．EDCABF已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB．1 4第三部分：思维误区第三部分：思维误区DCAB一、忽视“垂直”条件 例 1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。

求证：AF 为∠BAC 的平分线 错误解法：线上）距离相等的点在角平分的平分线上（到角两边在点CABFBFCFQ正确解法： ∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）∴∠CDF=∠BEF=90° ∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等)，BF=CF(已知) ∴△DFC≌△EFB(S.S.A.) ∴DF=EF(全等三角形对应边相等) ∵FE⊥AB,FD⊥AC（已知） ∴点 F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线 上)即 AF 为∠BAC 的平分线 错因：在应用角平分线定理及逆定理时遗漏了“垂直” 的条件 在解等腰三角形的问题时，当给出的条件（如边、角）情况不明时，一般要分两种情 况逐一分析否则，易出现错解或漏解的错误 一、考虑不周造成的错误一、考虑不周造成的错误 例例 1、已知等腰三角形一边长为 7，另一边长为 3，求它的周长 错解错解：当腰长为 7 时，底边长为 3所求周长为：7×2+3=17 当腰长为 3 时，底边长为 7所求周长为：3×2+7=13 剖析剖析：错解分腰长为 7 或 3 两种情况求周长貌似严密，但 3+3=6＜7 违背了三角形的三边 关系定理，犯了考虑不周的错误。

正解正解：当腰长为 7 时，底边长为 3所求周长为：7×2+3=17 当腰长为 3 时，底边长为 7所求周长为：3×2+7=13 但当三角形的三边长为 3，3，7 时，3+3=6＜7 违背了三角形的三边关系定理，不能 为成一个三角形 所以所求周长为 7×2+3=17 二、腰大于底的习惯思维造成的疏漏二、腰大于底的习惯思维造成的疏漏 例例 2、、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成 12㎝和 15㎝两部 分，求这个三角形腰长和底边长 错解：错解：∵BD 为等腰△ABC 的中线∴AD=DC 设 AB 为 x㎝ ，BC 为 ycm.  122152yxxx解得   710 yx所以这个三角形腰长为 10㎝，底边长为 7㎝ 剖析剖析：在处理等腰三角形的问题时，有的同学习惯上总认为腰大于底，这是造成错误的原 因所在事实上本题有两种情况 正解正解：此题有两种情况：∵BD 为等腰△ABC 的中线 ∴AD=DC 设 AB 为 x㎝ ，BC 为 ycm.(1)   122152yxxx解得   710 yx或 (2)   152122yxxx解得   118 yx所以这个三角形腰长为 10㎝，底边长为 7㎝或腰长为 8㎝，底边长为 11㎝。

三、概念不清造成的错误三、概念不清造成的错误 例例 3、已知在等腰三角形中，一个角是另一个角的 2 倍，求等腰三角形三个内角的度数 错解错解：设等腰三角形的顶角为 x°，则底角为 2 x° 根据题意，得 x+2x+2x=180 解得 x=36 ∴2x=72 ∴这个等腰三角形的三个内角为：36°、72°、72°. 剖析：剖析：错误在于误认为等腰三角形的底角一定大于顶角，是概念不清造成的错误想法本 题应分底角大于或小于顶角两种情况解答 正解正解：当等腰三角形的底角大于顶角时，设顶角为 x°，则底角为 2 x° 根据题意，得 x+2x+2x=180 解得 x=36 ∴2x=72 ∴这个等腰三角形的三个内角为：36°、72°、72°. 当等腰三角形的底角小于顶角时，设底角为 x°，则顶角为 2 x° 根据题意，得 2x+x+x=180 解得 x=45 ∴2x=90 ∴这个等腰三角形的三个内角为：90°、45°、45°.第四部分：方法规律第四部分：方法规律角平分线：角平分线： （1）有角平分线，通常向角两边引垂线 （2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。

常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两 边的距离 （3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直 接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次 这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路． 等腰三角形：等腰三角形： 1. 等腰三角形的性质定理提示了三角形边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等， 这是证明两角相等的常用依据 2. 作等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线，是三种重要的辅助线，在做题的时 候要灵活选择，用最方便、简捷的方法解题 3. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的搞这“三线合一”的性质有多重 功能，可以证明两线段相等，两个角相等以及两条直线的互相垂直，也可以证明线段 成角的倍分问题但要注意使用性质 2 是以等腰三角形为前提的巩固练习：巩固练习：1． （2011•衢州）如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动 点，若 PA=2，则 PQ 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42． （2011•恩施州）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为 F，DE=DG，△ ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39，则△EDF 的面积为（ ）A ．11B ．5.5C ．7D ．3.5第 1 题 第 2 题 第 3 题 3． （2010•鄂州）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 交AC 于点 F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则 AC 长是（ ）A ．4B ．3C ．6D ．5二．填空题二．填空题4． （2011•岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC 的角平分线 BP 与∠BAD 的角平分线 AP 相交于 点 P，作 PE⊥AB 于点 E．若 PE=2，则两平行线 AD 与 BC 间的距离为 _________ ．5.（2012•海南）如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点 O，过点 O 作DE∥BC，分别交 AB、AC 于点 D、E．若 AB=5，AC=4，则△ADE 的周长是 ___________________．6． （2010•曲靖）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 BC=10，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，且 BD：CD=3：2，则点 D 到线段 AB 的距离为 _________ ．第 4 题 第 5 题 第 6 题12．如图, 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE.13．如图， AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点 F 是 CD 的中点．求证：AF⊥CD.14. 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为 D，BE 平分∠ABC，交 AC 于 E，交 AD 于 F. 试判断△AEF 的形状，并说明理由.。