酉空间及其重要的线性变换.doc

酉空间及其重要的线性变换 酉空间 定义1 设V是复数域C上的一个向量空间．若V中任意一对向量α，β，有一个确定的复数<α, β>与它们对应，叫做α与β的内积，并且对于"α，β，g∈V，k∈C，以下条件成立：1)áα, βñ=á〉，áñ是áβ, αñ的共轭复数；2)áα+β, g ñ=áα, g ñ+áβ,gñ；3)ákα, βñ=káα, βñ；4)áα, αñ是非负实数，并且当α≠q 时áα, αñ＞0，则称V对于这个内积是一个酉空间．例1 在C n里，对于任意两个向量α= (x1，…，xn)，β= (y1，…，yn)，规定áα, βñ=，则C n对于这个内积作成一个酉空间．设V是一个酉空间．由定义可以直接推出，áα, β＋gñ=áα, βñ＋áα, g ñ； (1)áα,kβñ=áα, βñ ,是k的共轭复数； (2)áα, q ñ=áq , αñ= 0． (3)由(1)和(2)，设"αi，βj∈V，ai ，bj∈C，i =1，…，m ；j =1，…，n，则． (4)因为对于"α∈V，〈α, α〉是一个非负实数，所以在酉空间V中，可以像Euclid空间那样，定义向量α的长度为 |α| =．这样，V中任意非零向量的长度总是一个正实数，长度是1的向量称为单位向量．显然，"k∈C，α∈V，都有． (5)在一个酉空间中，Cauchy-Schwarz不等式仍然成立．设"α，β∈V，则≤， (6)当且仅当α与β线性相关时等号成立．在一个酉空间中，内积一般是一个复数，因此不能像Euclid空间那样，合理地定义两个非零向量的夹角，但是仍然可以定义两个向量正交的概念．酉空间中两个向量α与β说是正交的，若〈α, β〉= 0．在一个酉空间里，同样可以定义正交组和标准正交组的概念．酉空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组．若一个正交组的每一个向量都是单位向量，则称这个正交组是一个标准正交组．定理1在酉空间里仍然成立．在一个有限维酉空间V中，同样可以定义正交基和标准正交基的概念．Gram-Schmidt正交化方法对于酉空间的向量仍然适用，并且对于V的任意一个基，可以通过正交化方法将它化为标准正交基．设W是酉空间V的一个有限维子空间，令W^={α∈V|áα, βñ=0，"β∈W}．则W^也是V的子空间，叫做W的正交补．与定理9.3.2相平行，我们有V=WÅW^． (7)与正交矩阵相平行的概念是酉矩阵．设U=(uij)nnÎMn(C)，记(是uij的共轭复数)，．定义2 一个n阶复矩阵U叫做一个酉矩阵，若．定理2 n维酉空间的一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵．2 酉变换与对称变换在酉空间中，与Euclid空间的正交变换相平行的概念是酉变换．定义3 酉空间V的一个线性变换σ叫做一个酉变换，若对于"α，β∈V，都有áσ(α),σ(β)ñ= áα, βñ．与定理9.4.2相平行，我们有定理3 设σ是n维酉空间的一个线性变换，则下列陈述彼此等价：1)σ是酉变换；2)若a1，…，an是V的一个标准正交基，则σ(a1)，…，σ(an)也是V的一个标准正交基；3)σ在V的任一标准正交基下的矩阵是酉矩阵．进而介绍酉空间的对称变换，引入定义4 酉空间V的一个线性变换σ叫做一个对称变换，若"α, β∈V，都有áσ(α), βñ=áα,σ(β) ñ．定义5 设A∈Mn( C)．若AH=A，则称A是一个Hermite矩阵．显然，实对称矩阵是Hermite矩阵的特殊情形．与定理9.5.1和9.5.2相平行，我们有定理4 设σ是n维酉空间V的一个线性变换，则σ是对称变换，当且仅当σ在V的任意标准正交基下的矩阵是Hermite矩阵．对称变换和Hermite矩阵还有以下性质．定理5 设σ是n维酉空间的一个对称变换，那么1)σ的特征值都是实数；2)σ的属于不同特征值的特征向量彼此正交；3)存在V的一个标准正交基，使得σ在这个基下的矩阵是实对角矩阵．证 我们只证1)，其余的证明留给同学们完成．设l∈C是σ的一个特征值，α是属于l的一个特征向量．则．因为〈α, α〉≠0，所以必须，即l是实数． 定理6 设A是一个n阶Hermite矩阵，则存在一个n 阶酉矩阵U，使得UHAU=U－1AU是一个实对角矩阵，即任意Hermite矩阵都“酉相似”于一个实对角矩阵．3 Hermite型在§1中，我们已经阐述了n维Euclid空间的度量矩阵．类似地，我们来看酉空间V中的内积．在V中取一个基，构造矩阵， (8)这个矩阵是由酉空间V中的内积以及基唯一决定的，叫做V的基的度量矩阵．由于A的(i，j)元素是，而AH的(i，j)元素是=，所以AH=A．这表明，酉空间V的内积在V的任意一个基下的度量矩阵A是Hermite矩阵．设A=(aij)nn，，则， (9)特别地，当β=α时，有．定义6 n个复变量x1，…，xn的表达式， (10)其中aji =，叫做一个n元Hermite型；矩阵A=(aij)nn称为Hermite型f (x1，…，xn)的矩阵，它是一个Hermite矩阵．设=(x1，…，xn)，则Hermite型(10)可写成． (11)因此，酉空间的内积与Hermite型有着密切的联系．由于Hermite型(10)的矩阵是Hermite矩阵，因此．这表明XHAX总是实数．再注意到上述定理，知道n阶Hermite矩阵A酉相似于一个实对角矩阵D=diag{d1，…，dn}，即存在一个酉矩阵U，使得U－1AU=D．令X=UY，其中= (y1，…，yn)，则XHAX=YHUHAUY=YHU－1AUY=YHDY=．(12)这证明了定理7 对于Hermite型f(x1，…，xn)=XH AX，存在酉线性替换X＝UY(即U是酉矩阵)，使得f (x1，…，xn)=， (13)其中d1，…，dn是A的全部特征值，它们都是实数． 定义7 若对于"a∈C n，且a≠0，都有aHAα＞0， (14)则称XHAX是一个正定Hermite型．一个正定Hermite型XHAX的矩阵A称为正定Hermite矩阵．正定Hermite矩阵与第五章§4所说的实正定矩阵有相平行的结果，即定理8 设A是一个n阶Hermite矩阵，则下列陈述彼此等价：1)A是正定Hermite矩阵；2)对于任意n阶复可逆矩阵P，PHAP是正定Hermite矩阵；3)A的特征值全大于零；4)存在n阶可逆复矩阵P，使PHAP=In；5)A可以分解成QHQ，其中Q是n阶可逆复矩阵；6)A的所有顺序主子式全大于零．证 1)Þ2) 任取α∈C n，且α≠0， 则Pα≠0．因为A是正定Hermite矩阵，所以aH (PHAP)α=(Pα)HA(Pα)＞0．因此PHAP是正定Hermite矩阵．2) Þ3) 由假设，A是Hermite矩阵．于是存在酉矩阵U，使U－1AU=diag()＝D其中li是实数，i=1，…，n．由假设，U－1AU是正定Hermite矩阵，由此推出eiHDei>0，即li＞0，i=1，…，n．3) Þ4) 因为A是Hermite矩阵，所以存在酉矩阵U，使得U－1AU=diag()其中li>0，i=1，…，n．令Q=diag()则 U－1AU=，从而Q－1U－1AUQ－1=In．令P=UQ－1，则PH=(UQ－1)H= Q－1UH = Q－1 U－1．于是PHAP=In．4) Þ5) 由假设PHAP=In，于是A=(PH)－1P－1．令Q=P－1，则 所以A=QHQ．5) Þ1) 设A=QHQ，其中Q可逆．任取α∈Cn且α≠0，有．设，则＞0．所以A是正定的Hermite矩阵．1)Û 6)。