多元函数微分学总结.doc

`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求　　1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.　　2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质　　3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性 　　4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.　　5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.　　6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.　　7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法　　8.了解二元函数的二阶泰勒公式.　　9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算1）基本概念①二元函数极限的定义：设的定义域为,是的聚点.若常数，对于，总，使得当时，都有成立，则称为函数当时的极限，记作。

②二元函数的连续：设的定义域为,为的聚点，且.若，则称在点连续2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数存在的定义中，方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同① 证明二元函数的极限不存在：若的极限不同，则一定不存在（见例1）②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）例1证明：在原点的极限不存在分析】观察分子、分母中变量的各次幂的特点，可考虑选择路径证明：，，故不存在评注】证明二元函数的极限不存在是个难点，关键是选择适当的的路径，注意总结其选择路径的规律例2 分析】此题既可以直接利用等价无穷小代换，也可以先将分母有理化，再进行等价无穷小代换解：【评注】二元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质与运算法则，求法一般不难，这里不再多举例子例3 设，证明函数在点连续 分析】：通过观察分子、分母中变量的各次幂的特点，可以看出在点的极限存在且为，但不易利用例2中的评注直接求解，可以考虑将点转化成极坐标来表示。

证明： 在点连续2. 偏导数的概念 二元函数的偏导数的概念：设在点的某一邻域内有定义, 如果极限 存在, 则称此极限为函数在点处对x的偏导数, 记作, , , 或如果极限存在, 则称此极限为函数在点处对y 的偏导数，记作 , , , 或fy(x0, y0). 例4设则函数在原点偏导数存在的情况是 （研） 解：应选【C】，因为，故，所以故选【C】评注】开算数根也即含绝对值也即为分段函数，必要时需要用偏导数定义讨论偏导数，与一元函数类似，是重要考点例5 设, 则 （2008-北京赛）.【分析】为了利用偏导数的定义求出和，需要写出函数的表达式，为此要想到利用结论：其中 解：其中从而，故评注】此例中这种把极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想3. 全微分概念及以上几个概念之间的关系二元函数全微分的概念：如果函数在点(x, y)的全增量可表示为, 则称函数在点(x, y)可微分, 而称ADx+BDy为函数在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 关系：偏导连续可微偏导存在；可微连续；但偏导存在可微；连续偏导存在【评注】一元函数微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中。

例6设，（1）在（0，0）点是否连续？（2）求；（3）在（0，0）点是否可微；（4）在（0，0）点是否连续天津工业大学竞赛题）【分析】讨论分段函数在分段点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微分的定义解 (1)由夹逼准则 ，，故(2)当时,当，利用偏导数的定义得，故同理可得(3)为了考察在点是否可微，我们来考察是否为的高阶无穷小，因为，故，即所以在点可微 （4）由于不存在，所以【评注1】利用偏导数和全微分的定义讨论函数偏导数的存在性和可微性，既是重点也是难点，需掌握评注2】若在点连续，且偏导数存在，则判别在点是否可微，需考察是否为的高阶无穷小评注3】此例验证了偏导数连续是可微的充分条件，而非必要条件评注4】注意这几个概念之间的关系与一元函数的有关结论的不同之处例 7设函数,其中在点(0,0)的一个邻域内连续,证明: 在点(0,0)处可微的充要条件为2007-天津赛）证明：（必要性）已知在点(0,0)处可微，故与都存在而，其中由于存在，故充分性）已知，类似于必要性的过程容易推出欲证在点(0,0)处可微，只需证注意到： ，所以 又，由夹逼定理知从而在点(0,0)处可微，并且。

【评注】此题是一元函数中的重要结论“设在点连续，则在可导的”在多元函数中的推广，但证明过程要比一元函数复杂的多题型2 多元函数的偏导数的计算1. 复合函数求导例8 设函数，则（2011-研）解：，为了计算简便，由偏导数的定义，可得评注】同时 ，同时，利用后者往往可以大大简化计算，此例的解答就是利用的后者例9设，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数2005-天津赛） 【分析】本题是典型的利用复合函数求导法则求二阶偏导数的常规题解：，【评注1】多元复合函数的求导法则是重点，应理解链式法则的内涵常见的链式法则有：①：②：③：，④z=f(u, x, y), 且u=j(x, y)：, .其它情形可以此类推，此例中就涉及到①和③评注2】若具有二阶连续偏导数，则, 注意将此两项进行合并.例10设，这里可导且具有连续偏导数，求.解： 【评注】注意区分何时该用全导数记号，何时该用偏导数记号例11设，.解： 由上述表达式可知为自变量, 所以 评注】类似于一元函数，对于多层的复合关系，先要分清变量间的关系，然后逐层利用复合函数的链式法则即可。

例 12 设变换把方程化为，试确定.（2003-天津赛）分析】利用变量替换，借助求解多元复合函数的偏导数使方程变形，是常见题型，这里注意把握好与中间变量及自变量的树形关系： 解：计算一、二阶偏导数：， ， ， ，代入方程，得到以题意有，所以.例13设二元函数具有二阶偏导数，且，证明的充要条件为：2009-天津赛）证明：（必要性）若，则，显然有充分性）若，则，由于，所以，即，因此不含，故可设从而有，，即评注】此题的难点在充分性的证明上，注意是涉及到了关于商的偏导数运算法则的逆运算，看似简单，实际上非常能考察大家的基本功2. 隐函数求导例14 设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数；（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和；（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和；（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和2005-研）解：应选[D]令显然在点的一个邻域内具有连续的偏导数导数，且,而故可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 【评注】本题考查了对隐函数存在定理的三个条件及结论的理解例15设是由所确定的二元函数，求：，。

2010-天津赛）分析】此例是最基本的隐函数求导问题，可以直接利用隐函数的求导公式：，也可以方程两边分别对x，y求偏导数解1：利用隐函数的求导公式令，则由隐函数的求导公式得，，，解2:将等式两边分别对x，y求偏导数：，，，，， 【评注】一般地，若利用，求隐函数的二阶偏导数时，应注意到仍然是的函数，需进一步利用复合函数的求导法则去求，这是难点例16设函数是由方程确定的隐函数，其中具有连续的二阶偏导数，且求证：和2011-北京赛)解：令，则由隐函数的求导公式得 ，，由于所以将等式两边分别对求偏导数，得到，即，即，将上面的第一个式子两边同乘第二个式子两边同乘，然后相加并注意到和，得到评注】在证明第二个等式时，若先利用的表达式去求三个二阶偏导数，再代入待证明的等式的左端，显然很麻烦，而设法利用第一问的结果，两边同时对求偏导，问题便迎刃而解了例17 设，，，其中具有连续的一阶偏导数，且，求.（2002-天津赛）【分析】在求导之前要先分析清楚变量之间的关系，对于此题，变量都为的一元函数解：三式两端同时对求全导数得： 整理可得： 。

评注】分清函数关系后，此题也可以视为是利用方程组求导数的方法求得的隐函数的导数例18设，其中具有一阶连续偏导数，求【分析】这是典型的由方程组组成的隐函数的求导问题，方程组两边直接对求偏导数即可解：方程组两端同时对求偏导得：由此可知，当时有 ， .题型3多元函数微分学在几何中的应用1. 空间曲线的切线和法平面方程例19曲线在点处的切线方程为 .（2003-天津赛）解：方程组两边对求全导数得，解之得，从而，故评注】一般地，若G：，则在处，；若G：，则在处，切向量；若G：，则在点，（注意条件），此例题属第三种情形例20螺旋线上与平面平行的切线有（ ）（A）1条； （B）2条； （C）3条； （D）4条.(2012-天津赛)解：应选（B），，依题意，即，故，所以，故切线方程为评注】此题的切向量属例19【评注】中的第一种情形例21设函数在点附近有定义，且，则；曲面；曲线在点处的切向量为;曲线在点处的切向量为;（2001-研）解：应选函数在点的两个偏导数存在，并不一定能保证函数在点可微，因此不正确由于偏导数存在不一定能保证曲面在相应点处存在切平面，即便切平面存在，其，故不正确。

曲线的参数方程为，从而其切向量为，故正确评注】此题的概念性很强，所涉及的知识点也较多，易犯的典型错误是选2.空间曲面的切平面和法线方程例22曲面与平面平行的切平面的方程是 。