一级倒立摆系统仿真及分析.docx

一级倒立摆系统仿真及分析1. 摘要 本次课程设计，我们小组选择一级倒立摆系统作为物理模型，首先通过物理分析 建立数学模型，得到系统的传递函数，通过对传递函数的极点，根轨迹，单位阶 跃响应来分析系统稳定性建立状态空间模型，利用ma tlab进行能控能观性分析， 输入阶跃信号，分析系统输出响应通过设定初始条件，查看系统稳定性，利用 simulink绘制系统状态图再对系统进行极点配置，进行状态反馈，使得系统在 初始状态下处于稳定状态，并绘制系统状态图2. 课程设计目的 倒立摆系统是一个经典的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统，是用 来检验某种控制理论或方法的典型方案倒立摆控制理论产生的方法和技术在半 导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统和航空器对接控制技术等 方面具有广阔的开发利用前景因此研究倒立摆系统具有重要的实践意义3. 课程设计题目描述和要求 本次课程设计我们小组选择环节项目三：系统状态响应、输出响应的测量 环节目的：1. 利用 MATLAB 分析线性定常系统2. 利用 SIMULINK 进行系统状态空间控制模型仿真，求取系统的状态响应及 输出响应环节内容、方法：1. 给定系统状态空间方程，对系统进行可控性、可观性分析。

并利用SIMULINK 绘制系统的状态图，求取给定系统输入信号和初始状态时的状态响应及输出响 应2. 给定两个系统的状态空间模型，分别求两个系统的特征值；将两个系统的 系统矩阵化为标准型；求出给定系统初始状态时，状态的零输入响应；求两个系 统的传递函数并分析仿真结果4. 课程设计报告内容4.1 数学模型的建立及分析对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难 但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动 的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程下 面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车图l直线一级倒立摆系统我们不妨做以下假设：M小车质量、m摆杆质量、b小车摩擦系数、l摆杆转动轴心到杆质心的长度、 I摆杆惯、F加在小车上的力、x小车位置、©摆杆与垂直向上方向的夹角、e 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图2，图3分别是系统中小车和摆杆的受力分析图其中， N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意： 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定 义如图所示，图示方向为矢量正方向：图 2 小车隔离受力图图 3 摆杆隔离受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程MX 二 F - bx - N1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：即：N = mx + ml0 cos0 - ml0 2 sin02)把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：(m + M )X + bX + mb cos0 一 ml0 2 sin0 )=F (3)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：P - mg = m ——(l cos 0 ) dt 2即：P 一 mg = -ml0 sin 0 - ml0 2 cos0 (4)力矩平衡方程如下：-Pl sin0 - Nl cos0 = lO (5)方程中力矩的方向，由于0 = k +^,cos©=-cos0,sin©=-sin0 ,故等式前面 有负号合并这两个方程，约去P和N,得到第二个运动方程：+ ml 2 0 + mgl sin 0 = -mlx cos0 (6)设0=兀+© （©是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设©与l（单位是弧度）相比很小，即©《1,则可以进行近似处理:cos 0 = -1, sin 0 =一札用 u 代表被控（ 对象的）输入力 F ， 线性化后两个运动方程如下J Y + ml 2 4 - mgl© = mlx|+ mX）+ bX - ml© = u （7）4.2 传递函数建立及分析对方程组(7)进行拉普拉斯变换，得到：J V + ml2>Q(s)s2 -mgl①(s)= mlX(s)s2I+ m)X (s )s 2 + bX (s )s - ml①C )s 2 = U (s 丿⑻注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度©，求解方程组（3.8）的第一个方程，可以得到:X(s)=(9)把上式代入方程组（8）的第二个方程，得到：+ ml 2) gml s① C )s — ml① C )s 2 _ U (s )(M + m 丿①(s )s 2 + b皿+兰ml s 2(10)整理后得到传递函数：mls 2bmgls 2 - sq qu(s) _ bi 卜 m )m l(11)其中：qs 4 + s 3 - _ [ (m + M )( + ml 2)- (ml)2 ]实际的系统模型如下：M 小车质量 1.096 Kgm 摆杆质量 0.109 Kgb 小车摩擦系数 0 .1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mI 摆杆惯量 0.0034 kg*m*mT 采样频率 0.005秒将参数代入(11)中，求得q=0.0115635,①(s )_ 2.35655 s 2U(s)_ s4 + 0.0883167s3 - 27.83s - 2.31s利用MATLAB求出该传递函数的极点为：s1=5.2728 s2=-5.2781S3=-0.0830 s4=0 由此可以看出存在正极点，故系统不稳定。

对该系统输入单位阶跃信号，其输出信号为： clearnum = [2.356553 0 0]den = [1 0.0883167 -27.83 -2.31 0]g=tf(num,den)[y,t,x]=step(g)plot(t,y)再利用用MATLAB绘制出根轨迹：clearnum = [2.356553 0 0]den = [1 0.0883167 -27.83 -2.31 0] rlocus(num,den)[k,poles]=rlocfind(num,den); 根轨迹如下图所示：SD01 ldcu s.e总tEnmE0通过对传递函数的分析，可知该系统，需要添加控制器来控制系统使其稳定4.3 状态空间结构方程建立及分析系统状态空间方程为x=AX+Bu (⑵ y = CX + Dn方程组(3. 12 )对无6解代数方程，得到解如下:x = x ‘ 、.. 一6 + ml 2)?.x = \ x +I M + m + Mml2 0 =0= 一 mlb . + mgl (M + m) ©7tMTm^+MmZ2 I (M + m) + Mml 2» + " + m 12)Mml 2 ~T(M~+m)+Mml2ml+ uI (M + m) + Mml 2-0100_- 0 -x00-C + ml 2 )bm 2 gl 200xI + ml 2x/(M + m )+ Mml 2/(M + m ) Mml 2x- I(M + m )+ Mml 20• •00010■+00_f\一 mlbmgl(M + m )f\0ml・・0/(M + m )+ Mml 2/(M + m )+ Mml 20-I(M + m )+ Mml 2u(13)整理后得到系统状态空间方程：14)y=0]u (15)由公式(3.7)的第一个方程为G + ml 2 A - mgl0 = mlx (16)对于质量均匀分布的摆杆有：I = 1 ml 2 (17)3于是可以得到：(1 )••-ml 2 + ml 2 © -13 丿mgl0 = mlx (18)化简得到：xX (19)(20)把上述参数代入，可以得到系统的实际模型摆杆角度和小车位移的传递函数：①(s) 0.0275s 2= (21)X &) 0.0102125s2 - 0.267050.0275s2摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：①C)_V(s) — 0.0102125s 2 - 0.267050.02725(22)摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：①(s ) 2.35655 s 2 ()UO 二 s4 + 0.0883167 s3 - 27.83s 一 2.31s2.35655s2X「0100_XX0- 0.08831670.6293170X0001e0- 0.22565527.82850e以外界作用力作为输入的系统状态方程：0.883167+2.35655x(24)以小车加速度作为输入的系统状态方程：x「0100_xx0000xe0001e0029.40eU (25)首先我们对以小车加速度作为输入的系统状态方程（25）式进行能控能观性分析。

「0100「o「1000「00001C 二「0A =B =0010D =0001000029.403利用 matlab 对系统进行仿真求系统能观能控性 代码：A=[0,1,0,0,;0,0,0,0;0,0,0,1;0,0,29.4,0]; B=[0;1;0;3];C=[1,0,0,0;0,0,1,0];D=[0;0];Qc=ctrb(A,B); n=rank(Qc);if(n==4),disp('系统能控'); else,disp('系统不能控');endQo=obsv(A,C); m=rank(Qo);if(m==4),disp('系统能观'); else,disp('系统不能观');End运行结果如下:系纯能控 系纟克能观利用 matlab 中的 simulink 绘制系统状态图Sccp-ElIntE^ratDiIntE召 iratorl现在我们向系统输入单位阶跃信号，利用 matlab 仿真观察系统单位阶跃响 应代码：A=[0,1,0,0,;0,0,0,0;0,0,。