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第十章第十章 股票价格模型股票价格模型 1股票价格模型第十章第十章 股票价格模型股票价格模型 n第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析2股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n一、随机游动模型一、随机游动模型n二、对数正态分布模型二、对数正态分布模型 返回 3股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型一、随机游动模型一、随机游动模型 n在股票交易中，每一个交易日都有一套股票交易的价格包括了开盘价、收盘价、最高价、最低价、平均价对这些价格及其交易日期进行有规律地记录所形成的价格序列称之为股票价格时间序列4股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n通常比较重要的股票价格时间序列有以每个交易日为基础得到的每日股票某种价格时间序列；以每个周、月、季、年的某个交易日为基础得到的每周、月、季、年某种股票价格时间序列还有整个股票市场指数的某种形式的指数时间序列n一般认为收盘价记录的股票价格时间序列相对重要，因为它是一天交易的最终价格。

n基于短期或中期或长期的研究价格的变化，则可以选择日、周或月、季乃至年的股票价格时间序列 5股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n设 是股票某一种价格时间序列在时点t时， 的取值为集合 ，简记为 ，因此它是一个随机变量，这样股票价格时间序列是随机时间序列n为了用股票价格时间序列对股票价格走势分析，必须研究它的随机变动的过程并借助于模型来加以描述，随机时间序列模型就是这样一种模型n我们把随机变量组成的序列 称为随机过程 6股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n如果随机过程满足对任何的时点集 以及任何实数k，都有 成立，其中 表示n个随机变量的联合概率分布函数，则称这个随机过程是强平稳的n由定义可见强平稳概念的表述只与时间相联系强平稳意味着随机过程所有存在的矩都不随时间的变化而变化n如果一个随机过程m阶以下的矩取值全部与时间无关，则称该随机过程是m阶平稳的 7股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n特别如果随机过程 满足：  (1) ，t取一切整数， 为常数。

 (2) ， , 为仅与时差k有关，而与起始时间t无关，称之为协方差函数，则称其为二阶平稳随机过程n随机过程的一次观测结果称为时间序列n在自然科学领域中许多时间序列都是平稳的，但经济领域中多数宏观经济变量的时间序列却都是非平稳的 8股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n白噪声过程白噪声过程 对于随机过程 ，如果： (1) ＜ (2) 则称 为白噪声过程n白噪声是平稳的随机过程，其均值为零，方差为常数，随机变量之间不相关显然白噪声是二阶平稳随机过程如果 还服从正态分布，即高阶矩是一阶、二阶矩的函数，则它就是一个强平稳的随机过程 9股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n下图给出由白噪声产生的一个时间序列白噪声过程的均值与方差都不随时间而变化图图10.1 10.1 白噪声序列白噪声序列 10股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n随机游动过程随机游动过程 对于随机过程 ，如果 其中 是白噪声过程，则称 为随机游动过程。

11股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n随机游动是一非平稳过程n事实上 的期望 为一常数，但它的方差 是时间t的函数，而且随发散到无穷大 12股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n下图给出由随机游动过程产生的一个时间序列，它的方差随时间变得越来越大图图10.2 10.2 非平稳序列非平稳序列13股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n单位根过程单位根过程 对于随机过程 ，如果 其中， 为一平稳过程，且 ，这里 ，则称 为单位根过程 14股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n显然，随机游动是单位根过程的一个特例单位根过程中的随机干扰项 只需服从一般的平稳过程n 和 这种假设上的差异使它们在现代金融学和经济学上有不同的应用当然从统计学的角度，单位根的处理在技术上更为困难 15股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n对于时间序列 ，一阶差分 可表示为 其中B称为一阶位移算子，定义为 ，k阶位移算子定义为 。

16股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n在这样的定义下，二次一阶差分可表示为 或17股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n对于单位根过程 可将其改写为 称为位移多项式， 称为它的特征方程n显然单位根过程的特征方程有根 当 时， 有一单位根，这就是单位根过程称呼的来历n今后分别以 和 表示单位根过程和平稳过程，可将 和 记为 18股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n1900年，法国经济学家巴歇利埃(Louis Bachelier)在研究法国商品价格走势时发现，商品价格呈随机波动这被认为是最早提出随机游动的概念n1959年，罗伯茨(Roberts)和奥斯本(Osborne)分别发表两篇研究股票市场价格波动的研究报告，得出了一致结论，即股价波动符合物理学上的布朗运动(Brownian Motion)n布朗运动是指悬浮在液体中的花粉微粒由于受到大量的液体小分子的无序碰撞而呈现出的随机运动状态而随机游动模型恰为布朗运动的离散形式。

19股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n随机游动模型所描述的股价波动过程是一个漂移率为0的扩散过程，即当前时刻股价的期望值等于前一个时刻的期望值因为对于随机游动过程两边求在 条件下的期望，则得20股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n如果考虑市场长期波动情况，比如时间间隔为1年按照随机游动的结论，当年的股票价格在前一年股价的条件下等于前一年的股价期望值，假如这样的话，那么很少会有投资者持股时间超过1年，这明显与现实市场不符n因此人们认为，由于上市公司经营所赚取的利润，公司的股票价格从长期看，应该呈现出逐渐增大的趋势，实际上，这就是对数正态分布模型 21股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n二、对数正态分布模型二、对数正态分布模型 我们考虑股票价格变动如下图图图10.3 10.3 股票价格变动图股票价格变动图22股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n将时期 划分成n个长度为 的子区间，我们将通过分析在每个小区间内股票价格的变化去了解在 内股价的变化过程。

n设 表示在时间t的股票价格在时刻t，股票价格 可以写成 23股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n设 表示在最后小区间的连续复利率，则在 时，由 定义有 其中 由于 ,所以推得 n显然 依赖于今天的股价 和从0到T这n个小区间的连续复利收益 24股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n令 ，则 表示了在 内连续复利收益的近似值n为了评价股票价格过程，假设连续复利率 是随机的，进一步提出如下假设： 假设假设1 1 在不相同的时间区间是 ，且服从随机游动； 假设假设2 2 ； 25股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型 假设假设3 3 n假设1是说，股票价格服从随机游动，假设2，3说明在长度为 的小区间，单位时间的连续复利的期望值为常数 ，单位时间内连续复利方差为常数 换言之，连续复利在小区间上，其期望值与方差与区间长度成比例。

26股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n在上述假设下，有 27股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n定理定理10.110.1 渐近服从正态分布 证明证明 当 充分小时，由假设1及中心极限定理即知 服从渐近正态分布 n推论推论1 1 28股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n设 是概率空间，T为实数集合，对每一个 , 是 上实值或复值随机变量，则称随机变量族 为一随机过程 29股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n对于随机过程 ，如果对任意的自然数 且 及任意的n个实数 , ,…, , ，恒有 则称 为马尔柯夫(Markov)过程30股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n在上式中，如果视 为现在时刻，那么 便是未来时刻， 就是过去时刻，于是Markov过程就具有性质： 已知现在，将来的概率分布与过去状态无关。

31股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n对于随机过程 如果对任意的 且满足 都能使 与 相互独立，则称 为独立增量过程n定理定理10.210.2 若 是 上的实数值独立增量过程，且满足 ，则 是Markov过程 32股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n对于随机过程 ，如果对 任意 ，增量 的概率分布只依赖于 而与t无关，则称 为时齐过程 33股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n定义定义10.1 10.1 设 是 上的随机过程，满足: (1) ；  (2) 具有独立的增量性；  (3) 具有时间齐性；  (4) 对任何 ；则称 为维纳(Wiener)过程特别当 时称为基本维纳过程。

34股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n维纳过程也称为布朗运动n以下考虑连续时间参数，对于连续复利率 的随机性，通常假设利用布朗运动，并根据假设2和假设3，将其表示为 其中 为 上的Wiener过程, 35股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n由定义 即 得 其中 表示在 内股价变化36股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n从而在随机收敛意义下，有股价运动的随机微分方程 我们称 遵循几何Brown运动，或对数正态模型 37股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型 更一般地，我们有n定义定义10.210.2 如果随机过程 满足随机微分方程 则称 遵循 过程其中 为 的漂移率， 为 的方差率 38股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n 引理引理 设 遵循 过程 则 和t的函数 遵循如下过程: 39股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型即G也遵循 过程，它的漂移率为方差率为 40股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n推论推论 假设股价S服从几何布朗运动： ，则， 从而41股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型其中： ——未来T时刻的股票价格； ——当前t时刻的股票价格； ——正态分布。

42股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n由对数正态分布模型给出的股票价格变动如下图所示图图10.4 10.4 对数正态分布模型的股票价格变动对数正态分布模型的股票价格变动 43股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型n例例10.1 10.1 考虑一个股票价格，他的初值为40元，预期收益率为16%，波动率为20%，求6个月后的股价变动 由推论，44股票价格模型第一节第一节 股票价格随机模型股票价格随机模型 如果考虑 变动，则， 即未来6个月股价在32.36至56.88之间变动的概率为95.4%45股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n在很多情形下，投资者对股票价格的预期将不会受到一周以前，一个月以前，甚至一年以前的股票价格的影响，而与股票价格预测有关的惟一信息是当前的股价，这样股票价格时间序列常常被假定为一个马尔柯夫链 返回46股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n所谓股票价格时间序列 是一个马尔柯夫链,如果对任意正整数 和任意的 有47股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n这时， 称为在时刻k的m步转移概率。

n马尔柯夫链的上述性质说明，如果把k视为现在， 是将来， 是过去，那么，在已知现在的条件下，将来状态与过去状态无关，这就是所谓的“无后效性” 48股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n对于马尔柯夫链，如果在时刻k的m步转移概率与k无关，即 则马尔柯夫链称为时齐的 49股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n马尔柯夫链为时齐的意义是，过程由状态i到状态j的m步转移概率只依赖时间间隔长短，与起始时刻无关n这时称 为从状态i到状态j的m步转移概率50股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n因为 是条件概率，所以 51股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n将状态数为n的有限时齐马尔柯夫链的所有m步转移概率构成一个阶矩阵 52股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析这个矩阵亦称为随机矩阵，而 53股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n根据Коломогоров-Chapmau方程 写成矩阵形式 其中 是单位矩阵，则54股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n对于时齐有限马尔柯夫链，如果m步转移概率 对一切状态 存在不依赖于初始状态i的概率 则称此马尔柯夫链是各态历经的。

此时记55股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n对于各态历经的马尔柯夫链，上述性质说明：随着P的幂次的增大，P的每列元素趋于同一个值，也就是经历一定时间的状态转移后，初始状态的影响逐渐消失，系统最终达到完全与初始状态无关的一种平稳状态，此时，称 为稳态概率，它满足 56股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n可以证明，如果存在 ，使 中每个元素均为正数，则马尔柯夫链是各态历经的，且稳态概率是方程组 在条件 之下的惟一解57股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n如果定义状态概率 ，它表示当系统在 时的状态为已知，在m次转移之后处在状态i的概率，则58股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n记 那么 由此递推得59股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n一般地  因此，初始状态概率向量 右乘转移概率矩阵的m次幂，可以求出m次转移后，系统处在它的每一个状态的概率 。

n可以证明，在各态历经的马尔柯夫链情形 60股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n在实际应用中，稳态概率有两种解释：一是作为 的极限分布，它告诉我们在过程的长期运行中不论初始状态i是什么, 经过一段时期后发现过程处于j的概率就是 另一解释是 也代表了就长期而言过程处于状态j的次数占整个转移次数的比例61股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n设 那么在m步转移中过程处于状态j的次数所占比例为 62股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n若初始状态为 ，则这一比例的条件期望为 当ｍ→∞时，由stolz定理 这就支持了第二种解释 63股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n例例10.210.2 设某证券一天的价格变化分为下跌（用-1表示这天该股下跌）、平盘（用0表示这天该股平盘）和上涨（用1表示这天该股上涨），某股票投资者对该股票的价格变化状况连续统计了40天，数据如下 投资者希望应用马尔可夫链对该股票价格变化状况进行分析，以确定明天或未来股票的涨跌变化状况64股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n若以 分别表示股票变动为 的三个状态，将该股票不同变化情况的变化数进行统计列入下表：表表10-1 10-1 频率表频率表 转移数θ1θ2θ3 行和θ1θ2θ334663446313131365股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n由于 是由状态i到状态j的转移次数，于是转移概率 的可用估计值 代替，得到一步转概率阵66股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n如果这只股票今天处于平盘，则 ，于是这只股票明天处于下跌、平盘和上涨的概率为 67股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n十天以后或三十天后的涨跌变化情况应归结为计算 和n显然， 和 的计算是比较麻烦的，这时可利用稳态概率来解决这一问题。

68股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n由方程组 ，可求得稳态概率 ，它可视为股票价格变动X的稳态状态的概率分布，于是 可见未来价格波动的处于较平均的状态进一步可以证明出未来价格的波动也是不依赖于其初始状态的1230.330.330.3469股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n进一步，对于一个具有m个状态的具有马尔柯夫性质的股价时间序列，仍用P表示其转移概率，且记 70股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n设表示 由状态i到状态j转移时产生的直接收益，其直接收益矩阵记为71股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n令 表示系统当前处在状态i，在下n次转移中的总预期收益n由于在n次转移中，若系统由状态i转移到状态j得到的收益为 ，当系统起始于j在做 次转移的总预期收益 ，于是总的收益即为 72股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n因为系统从i到j的概率为 ，所以系统由当前的状态i ，经过n次转移得到的总的预期收益为 即73股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n由于 不依赖于n，对每个i是常数，所以可令 则 写成矩阵形式为74股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析 其中 上述公式可以确定在当前状态下，经n次转移后的总预期收益。

75股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n对于一个具有马尔柯夫性质的股票价格时间序列，有时我们更关心它由状态i出发，首次到达状态j的平均时间为此我们再引入一个重要的概率，它表示从状态i出发经n步首次到达状态j的概率用式子表达即是 76股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n可以验证，对于时齐的马尔柯夫链的转移概率 与首次到达概率 之间具有如下关系：77股票价格模型第二节第二节 马尔柯夫分析马尔柯夫分析n令 则称 为由状态i出发，最终到达状态j的概率n这样当 时，它可视为一个概率分布，对应的数学期望 即为由状态i出发，首次到达状态j的平均时间n称 为最终返回状态i的概率，而当 时，相应的 为状态i的平均返回时间 78股票价格模型。