解析几何题型2——《解析几何中的定值定点问题》.docx

解析几何题型2——《解析几何中的定值定点问题》题型特点：定值、定点问题必然是在变化中所表现出來的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方 程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的 定点解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式 变换等寻找不受参数影响的量这类试题考查的是在运动变化过程中寻找不变量的方法典例1如图，已知双曲线C:二一)，=1(＞0)的右焦点为F,点A, B分别在C的两条渐近线上, CTAF丄x轴，AB丄OB, BFII0A (0为坐标原点)1) 求双曲线C的方程；(2) 过C上一点Pg，%))的直线l：^-yQy = i与直线AF相交于点M,与直线x 相交于点N,a~ 2证明：当点P在C上移动时，理匚恒为定值，并求此定值NF典例2 已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的眩MN的长为81) 求动圆圆心的轨迹C的方程；(2) 已知点5(-1,0),设不垂直于兀轴的直线/与轨迹C交于不同的两点P, Q,若兀轴是ZPBQ的 角平分线，证明直线/过定点典例3已知直线/: y = x +V6 ,圆 O: x2 + y2 = 5 ,v2 2 斤椭圆E^ + — = \(a>b>Q)的离心率e = 弋,直线/被圆。

截得的弦长与椭圆的短轴长相等1) 求椭圆E的方程；(2) 过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值典例4椭圆的两焦点坐标分别为(-73,0)和竹(、代,0),且椭圆过点(1,-—)1) 求椭圆方程；(2) 过点(--,0)作不与y轴垂直的直线/交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断ZM4N的大小是否为定值，并说明理由典例5 已知椭圆C的中心在原点，焦点在兀轴上，长轴长是短轴长的血倍,且椭圆C经过点M(2,V2)1) 求椭圆C的标准方程；(2) 过圆O:〒 + y2二一上的任意一点作圆的一条切线/与椭圆C交于A、B两点、,求证：Q4・OB为3定值2 2 R典例6椭圆C手+ *刊小〉0)的离心率为宁，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为(1) 求椭圆C的方程；(2) 设椭圆C的左、右顶点分别为A, B,点P是直线x = \上的动点，直线PA与椭圆的另一个交点为M , 直线PB与椭圆的另一个交点为求证：直线MN经过一定点一、定点、定值、定形问题中的两种常用方法1. “特殊”探求X2 V2 3例1.已知椭圆C：才+专二1. E、F是椭圆C上的两个动点，点A(l,|)是椭圆上的一个定点.如果直线AE. AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.2. “与参数无关”例2.已知双曲线x2-/=2的左、右焦点分别为百，鬥，过点&的动直线与双曲线相交于4, B两 点.(1) 若动点M满足F\M = F\A+F\B-^-F\d (其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程；(2) 在兀轴上是否存在定点C,使刃・西为常数？若存在，求岀点C的坐标；若不存在，请说明理由.例3.已知点P（x（）,北）是椭圆E: — +y2=l上任意一点x（）y（）H1,直线/的方程为童+ yy = 1. （1）2 2判断直线/与椭圆E交点的个数；（2）直线/（）过P点与直线/垂直，点M （-1, 0）关于直线厶的对称点为N, 直线PN恒过一定点G,求点G的坐标.二、先局部，后整体，有序地运算：“由局部〜整体的重组”解析几何中的数学顺序，表现为“由局部一整体的重组”，“整体消参”.而“对称运算”与“对偶运算” 是强力支撑.例4.过双曲线m2x2 -y2 = m2的右顶点A,作两条斜率分别为/、心的直线AM AN ,交双曲线于M、其中心・k2=-fn\ 心+心北0,且职,求直线MN的斜率为定值，并求这个定值.三、“代点配凑、代入消参”的运算定式“代点配凑、代入消参”的运算定式是非常重要的运算.“点差法”，本质上是这种定式的先期运用.反 之：“代点配凑、代入消参”的定式，是“点差法”运算的深化•同吋，“代点配凑、代入消参”的运算 定式，也是“先局部，后整体，有序地运算”的深化.复杂一点的问题，其题型特征是：①曲线上有两个 动点； ②于是很容易误导“直线与曲线相交于两点”运算模式； ③一旦用上式，得到的是无效运算.先看下面的一道“定值”形式的题，做完后再小结，期望得到解题定式.例5.已知P、0是椭圆7\ x2 + 2y2=l上两个不同的点,I K0P・Koq I是定值，并求这个定值•四、“代点配凑、代入消参”与求轨迹方程1・“代入法”求轨迹方程、曲线过定点中的“整体消元”2 2例6.已知点片（无）,儿）为双曲线話-十=1上任一点，F2为双曲线的右焦点.过片作右准线的垂线, 垂足为连接笃人并延长交y轴于4 •（1）求线段片笃的中点P的轨迹的方程；⑵设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点yj,直线QB、QD分别交y轴于M、N两点.求证：以MN为直径的圆过两定点.2. “参数法”求轨迹方程中的“整体消元”例7.已知曲线G：巴+出=1>/7>0)所围成的封闭图形的面积为4亦，曲线G的内切圆半径为 a h2 R于，记C2为以曲线G与坐标轴的交点为顶点的椭圆.(1) 求椭圆c?的标准方程(2) 设AB是过椭圆C?中心的任意弦，L是线段AB的垂直平分线，M是L上异于椭圆中心的点.① 若|MO|=X|OA|(O为坐标原点)，当点A在椭圆C?上运动时，求点M的轨迹方程；② 若M是L与椭圆C?的交点，求AAMB的面积的最小值.本节内容小结：这节内容的难度较髙，有题型、有方法、有运算定式.归纳起来：1・“曲线过定点”、“定点、定值”问题，两种常用方法：①先用特殊点、特殊位置、特殊直线、极端 位置、极限位置、特殊值、特殊图形，求出定点、定值.然后有目标地运算；②“与参数无关”问题的 求解方法；2.先局部，后整体，有序地运算：“由局部一整体的重组”，是解题方法.熟练地运用，功能很大；3. “先局部，后整体，有序地运算，由局部一整体的重组”是“先列分歩式，再列综合式”的高级形式;4. 由“点差法”、“局部一整体的重组”的解题思想，生成了 “代点配凑、代入消参”的解题定式.运 算过程比“点差法”多了 “消参”・模式化为：① 代点：因为 AO】，yj、B（x2,儿）在曲线 F（兀，y） = 0=> F（x（, y） = 0, F（x2, y2） = 0；② 配凑：按照求解目标，两式相加或相减，得到关于坷、勺、X、儿的整体关系式；把上述关系式，配凑为含有F（Xp y）、 F（兀2,旳）的式子，从而整体消除部分表达式，得到一个新的关系式 /（旺，y, x2, y2） = 0 ；③ 代入消参；6. “代点配凑、代入消参”的方法，主要运用于“定点、定值”、求轨迹方程两个方面，增加了 “对称、 对偶运算”、“代点配凑、代入消参”的方法。

同步训练1・已知△ ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(0-1), (0,1), H AC,BC所在直线的斜率之积等于丰0).(I )求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；(II)当心-+时，过点尸(1,0)的直线/交曲线E于两点，设点W关于x轴的对称点为Q (M,Q 不重合)•求证直线MQ与x轴的交点为定点，并求出该定点的坐标.v2 丫22.已知P(xo.Vo)(兀0丰Q)是双曲线E：冷—耳=1(> 0" > 0)上一点,M, N分别是双曲线E的左、右顶点, cT b~直线PM, PN的斜率之积为(1)求双曲线的离心率；仃I)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A, B两点,0为坐标原点,C为双曲线上一点，满足OC = AOA + OB^求X的值•3. 已知圆C:：” + l厂+〉二8及点F(1,O),P为圆C上一动点，在同一坐标平面内的动点M满足:而〃詡| 存 \ = \ !\1P \,⑴求动点M的轨迹E的方程；⑵过点F作直线1与⑴中轨迹E交于不同两点R, S,设^ = XFS, Xe [-2,-1),求直线1的纵截距的取值范围.4. 设4是单位圆<+员=1上的任意一点，/是过点A与x轴垂直的直线，D是直线/与x轴的交点，点M在 直线I上,且满足| DM |= m\ DA | (m > 0,且加Hl).当点A在圆上运动时，记点〃的轨迹为曲线C・(I) 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(II) 过原点斜率为k的直线交曲线C于P , Q两点，其中P在第一象限,且它在y轴上的射影为点N ,直 线QN交曲线C于另一点H .是否存在加，使得对任意的k>0,都有PQ丄PH ?若存在，求加的值；若 不存在，请说明理由.以 、,25已知椭呻炸=1(a>b>Q)的右焦点为F(c,0), M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且两焦点与短轴的两端点构成边长为J亍的正方形.(I)求椭圆的方程;(II)是否存在直线/交椭圆于P,Q两点，且使F PQM的垂心？若存在，求出直线I的方程;若不存在,请说明理由.6.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(l, 0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1) 求曲线的C方稈：(2) 是否存在正数m,对于过点M(m, 0)且与曲线C有两个焦点A、B的任一直线,都有甌•帀〈0?若存在,求出m的取值范围;若不存在，请说明理由.7. 面内与两定点(-, 0)、心⑺，0) ( > 0)连线的斜率之积等于非零常数加的点的轨迹，加上人、心两 点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.(I )求曲线C的方程，并讨论C的形状与加值的关系；(II)当m = -\时，对应的曲线为对给定的〃疋(-1, 0) U (0, +oo),对应的曲线为C?.设片、的是C? 的两个焦点.试问：在G上，是否存在点N,使得b F\NF?的面积S=| m\a2 .若存在,求tanFjTVF；的值;若不存在，请说明理由.。