圆幂定理讲义带包括.doc

——）））圆幂定理STEP1:进门考理念：1.检测垂径定理的基本知识点与题型2. 垂径定理典型例题的回首检测3. 剖析学生圆部分的单薄环节 1）例题复习1. （2015?夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如下图搁置，三角板的直角极点C落在量角器的直径MN上，极点A，B恰巧都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN=cm．【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．【剖析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连结OA，作OE⊥AB于点E，第一求得CD的长，即OE的长，在直角△AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解．【解答】解：作CD⊥AB于点D，取圆心O，连结OA，作OE⊥AB于点E．在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中，∠B=90°﹣∠A=60°，∴CD=BC?sinB=4×=2（cm），∴OE=CD=2，在△AOE中，AE=AB=4cm，则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4．【评论】本题考察了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转变为解直角三角形．）））））））——）））2. （2017?阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰巧经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cmB．cmC．2cmD．2cm【考点】M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）．【剖析】经过作协助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，依据折叠的性质可知OA=2OD，依据勾股定理可将AD的长求出，经过垂径定理可求出AB的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连结OA，∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm），∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．应选：D．【评论】本题考察了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题重点．3. （2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．【考点】M2：垂径定理；F8：一次函数图象上点的坐标特色；KQ：勾股定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【剖析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，因为OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE）））））））——）））⊥AB，依据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把 x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．应选：B．【评论】本题考察了垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的两条弧．也考察了勾股定理和等腰直角三角形的性质．4. （2013?内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．【考点】FI：一次函数综合题．【专题】16：压轴题．【剖析】依据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再依据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．【解答】解：∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4，∴k（x﹣3）=y﹣4，∵k有无数个值，∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得x=3，y=4，∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，）））））））——）））∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；故答案为：24．【评论】本题考察了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，重点是求出BC最短时的地点．STEP2:新课解说教课目的1、娴熟掌握圆幂定理的基本观点。

2、熟习有关圆幂定理的有关题型，出题形式与解题思路3、能够用自己的话表达圆幂定理的观点4、经过课上例题，联合课下练习掌握此部分的知识学习内容一、订交弦定理订交弦定理（ 1）订交弦定理：圆内的两条订交弦，被交点分红的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分红的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA?PB=PC?PD（订交弦定理）（ 2）推论：假如弦与直径垂直订交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比率中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA?PB（订交弦定理推论）．基本题型：【例1】（2014秋?江阴市期中）如图，⊙O的弦AB、CD订交于点P，若AP=3，BP=4，CP=2，则CD长为（）A．6B．12C．8D．不可以确立【考点】M7：订交弦定理．）））））））——）））【专题】11：计算题．【剖析】由订交线定理可得出AP?BP=CP?DP，再依据AP=3，BP=4，CP=2，可得出PD的长，从而得出CD即可．【解答】解：∵AP?BP=CP?DP，∴PD=，∵ AP=3，BP=4，CP=2，∴PD=6，∴CD=PC+PD=2+6=8．应选C．【评论】本题考察了订交线定理，圆内两条弦订交，被交点分红的两条线段的积相等．【练习1】（2015?南长区一模）如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延伸AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）A．B．5C．+1D．【考点】M7：订交弦定理．【剖析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由订交弦定理求出EF，即可得出AF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴AE===，∵ BC=3，BE=1，∴CE=2，由订交弦定理得：AE?EF=BE?CE，∴EF==，∴AF=AE+EF=；应选：A．【评论】本题考察了矩形的性质、勾股定理、订交弦定理；娴熟掌握矩形的性质和订交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的重点．综合题型【例2】（2004?福州）如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），假如∠MNP=∠）））））））——）））MNQ，下边结论：①∠1=∠2；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN2=PN?QN．此中正确的选项是（）A．①②③B．①③⑤C．④⑤D．①②⑤【考点】M7：订交弦定理；M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；S9：相像三角形的判断与性质．【专题】16：压轴题．【剖析】依据圆周角定理及已知对各个结论进行剖析，从而获得答案．【解答】解：延伸MN交圆于点W，延伸QN交圆于点E，延伸PN交圆于点F，连结PE，QF∵∠PNM=∠QNM，MN⊥AB，∴∠1=∠2（故①正确），∵∠2与∠ANE是对顶角，∴∠1=∠ANE，∵AB是直径，∴可得PN=EN，同理NQ=NF，2∵点N是MW的中点，MN?NW=MN=PN?NF=EN?NQ=PN?QN（故⑤正确），∵∠PNM=∠QNM，∴△NPM∽△NMQ，∴∠Q=∠PMN（故③正确）．应选B．【评论】本题利用了订交弦定理，相像三角形的判断和性质，垂径定理求解．与代数联合的综合题【例3】（2016?中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（））））））））——）））A．B．C．D．【考点】M7：订交弦定理；KQ：勾股定理．【专题】11：计算题．【剖析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用订交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．在⊙O中，依据订交弦定理，得QA?QC=QP?QD．即（r﹣m）（r+m）=m?QD，所以QD=．连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，即，解得所以，应选D．【评论】本题考察了订交弦定理，即“圆内两弦订交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵巧应用定理是解题的重点．需要做协助线的综合题【例4】（2008秋?苏州期末）如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延伸⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB=8，BC=1，则AM=．。