第二章弹性力学基础.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑第二章弹性力学基础 其次章 弹性力学根基 弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支弹性力学任务是确定布局或机械零件在外载荷作用或温度变更等理由而发生的应力、位移和应变 弹性力学与材料力学总的任务是一致的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题 材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移 弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体布局对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学 布局力学-----研究杆状构件所组成的布局例如桁架、刚架 1 第一节 弹性力学假设 在弹性力学中，所研究的问题主要是梦想弹性体的线性问题，所谓梦想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体 1. 假设物体是线弹性的 假定物体按照虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变 由材料力学已知： 脆性材料的物体：在应力?比例极限以前，可作为近似的完全弹性体； 韧性（塑性）材料的物体：在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。

这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载依次无关 2. 假设物体是连续性的 假设整个物体的体积都被该物体介质完全弥漫，不留下任何空隙有了这一假定抉择了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律 注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离， 2 都比物体自己本身的尺寸小得好多，因此连续性假设不会引起显着的误差 3. 假设物体是平匀性、各向同性的 整个物体是由同一材料组成的这样整个物体的全体各片面才具有一致的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小片面来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体 各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是一致的，故物体的弹性常数不随方向而变化 对于非晶体材料，是完全符合这一假定而由木材，竹材等做成的构件，就不能作为各向同性体来研究；钢材构件根本上是各向同性的 弹性常数？ 只要符合以上三个假定的物体，就称为梦想弹性体。

4. 假设物体的位移和应变是微小的 假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，应变分量和转角都远小于1 因此 ① 在建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差 3 ② 在研究物体的应变和位移时，其二次幂或乘积，可略去不计 按照以上四个根本假设研究物体中的应力、应变和位移问题的弹性力学，称为线性弹性力学 4 其次节 外力、应力、应变和位移的符 号和记号 介绍弹性力学中常用的根本概念：外力、应力、应变和位移 一、 外力 作用在物体上的外力，可分为两类：体积力和外观力 1. 体积力（简称体力） 体积力分布在物体体积内部的力 例如重力和惯性力 注： ① 在物体内部各点的体积力是不一致的； ② 任一点P处的单位体积内所作用的体积力，沿着直角 坐标轴x,y,z三个方向的投影X,Y,Z，称为该物体在P点的体积力分量 体积力只与质量成正比，为位置坐标的函数一般表示为 Qv???XYZ?? 规定：体积力分量X,Y,Z以坐标轴的正方向为正。

量纲：[力]/[长度] 2. 外观力（简称面力） 作用在物体外观上的外力 例如：压力容器所受到的内压、水坝所受的静水压力、 5 3 T 物体与物体之间接触压力及摩擦力等等 注： ① 物体在其外观各点的外观力是不一致的； ② 在物体外观上任一点P处的单位外观上的外观力，沿 着直角坐标轴x,y,z三个方向的投影X,Y,Z，称为该物体在P点的外观力分量 通常处境下，外观力是位置坐标的函数一般用下式来表示 Qs??XY?定） 量纲：[力]/[长度] 二、应力(stress) 2 Z??T 规定：X,Y,Z以坐标轴的正方向为正（弹性力学的规 弹性体在外力作用下，其内部将要产生应力 某一点P处的应力状态：取PA=dx，PB=dy，PC=dz的一个无穷小的正六面体，如图2-1所示 将一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行即每个面上的应力都可用三个应力分量来表示 6 C?z?xy?x?y?yx?zxP?zy?xz?xy?z?yz?yzoAy?yz?zy?x?xz?zx?yxBx 图 2-1 直角坐标系下的应力分量 正应力(normal stress)：用σ表示。

角标表示正应力的作用面和作用方向例如σx是作用在垂直x轴的面上，同时沿x轴方向的正应力 剪应力(shear stress)：用τ表示，加上两个角标第一个角标表示作用面垂直哪一个坐标轴，其次个角标表示作用方向沿哪一个坐标轴例如τxy是作用在垂直x轴的面上、而沿y轴方向的剪应力 7 应力分量的符号规定 （1）当某一截面的外法线与坐标轴正方向一致，称为正面 （如上面、右面和前面）正面上的应力分量以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴的负方向为负 （2）当某一截面的外法线与坐标轴负方向一致，称为负面（如下面、左面和后面）负面上的应力分量以沿坐标轴 的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负 留神： （1）图中所示的应力分量全部为正（黑色为正面应力，红色为负面应力）； （2）对于正应力，其符号规定与材料力学中的规定一致（拉应力为正，压应力为负）； （3）对于剪应力，其符号规定与材料力学中的规定不完全一致； （4）六个剪应力存在互等关系，即： ?xy??yx,?yz??zy,?zx??xz （5）可以证明：假设?x，?y，?z，?xy，?yz，?zx这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。

一般说来，弹性体内各点的应力状态都不一致，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而 8 是坐标x、y、z的函数 六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示： ??x?????y??T??z?????????????x?y?z?xy?yz?zx?? ?xy???yz??????zx??（6）应力分量的量纲：[力]/[长度] 三、应变 (strain) 物体受外力作用之后，要发生外形的变更 长度的变更----正应变 角度的变更----剪应变 1. 正应变 线段的单位长度的伸缩，用?来表示 例如?x---x方向的线段PA的正应变 规定：以伸长为正，缩短为负 2. 剪应变 各线段之间的直角变更量，以弧度来表示符号为?例 如?yz---y与z两方向(即PB与PC)的线段之间的直角变更 规定：以直角变小为正，变大时为负 9 2 注： 物体内任一点的应变有六个分量： ?x,?y,?z,?xy,?yz,?zx 一般说来，弹性体内各点的应变都不一致，。

因此，描述弹性体内应变的上述六个应变分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数 六个应变分量的总体，可以用一个列向量来表示： ??x?????y??T??z?????????????x?y?z?xy?yz?zx?? ?xy???yz??????zx??是无量纲的物理量 四、位移 (displacement) ---- 位置的移动 物体内任意一点的位移用它在x,y,z三个坐标轴上的投影u、v、w表示---位移分量 规定：以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴的负方向为负 量纲： [长度] 10 第三节 弹性力学中的两种平面问题 任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系严格来说，任何一个实际的弹性力学都是三维空间问题但是，假设所研究的弹性体具有某种特殊的几何外形，并且承受是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题这样的处理，分析和计算的工作量裁减，而计算结果仍得志工程上对精度的要求 一、 平面应力问题（plane stress） 1. 特点 （1）几何外形上---等厚度的平面薄板（其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板）； （2）受力状态上---只在板边上受有平行于板面、并且不沿厚度变化的外观力和体积力。

例：深梁（短而高） 11 2. 应力 设薄板的厚度为t以薄板的中面为xy面，垂直于中面的任意直线为z轴 yyxOzt2t2 图 2.2 t由于在Z=?处的两个外外观上不受任何载荷所以，在 2tZ=?处有: ?z??yz??zx?0 2另外，由于z方向的尺寸很小，外力又不沿厚度变化，那么可以认为在整个薄版的全体各点都有 ?z??yz??zx?0 又由剪应力互等关系，有 ?zy??xz?0 而其余的三个应力分量?x,?y,?xy---平行于xy面，都是x,y的函数，与z无关 12 3．应变与位移 与三个应力分量?x,?y,?xy对应的独立应变分量 ?x,?y,?xy 独立的位移分量 u，v 它们也都是x,y的函数，与z无关 注：另外，薄板在z方向可以任意变形，故沿分量?z和位移w 并不为零即 ?z?0 ，而 ?z?0 13 z方向的应变二、 平面应变问题（plane strain） 1. 特点 （1）几何外形上---是一个近似等截面的长柱体，其长度比横截面的尺寸大的好多； （2）受力状态上---只受有平行于横截面、且沿纵向长度平匀分布的面力和体力。

例：重力水坝、隧道和挡土墙 2. 变形处境 设长柱体的任一横截面为xy面，任意纵线（沿长度方向）为z轴 yx 图2.3 那么全体一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x和y函数此外，在这一处境下，由。