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专题7轨迹方程1. 定义法：如果动点p的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可 先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程步骤：一定型，二定位，三定方 程，四定范围2. 直接法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些Illi线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易 于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x, y)表示该等量关系式，即口J 得到轨迹方程当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、 限制说明”五个基本步骤求轨迹方程，称Z直接法3. 参数法：如果采用肓译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的菜个几何最t,以此量作为参变 数,分别建立P点坐标x, y与该参数t的函数关系x = f (t), y=g (t),进而通过消参化为轨迹的普通方程 F (x, y) =0参数法求轨迹方程的步骤：设参：一切町以控制运动系统的量都吋以设参(基本原则)，从中选择与动点关连密切的为参数(一般依据)设 参数不要求唯一，多个参数Z间不一定独立用参：列式要弃繁就简，n个参数需列n+1个式。

消参：视x、y为常数，代人消参，两式作用消参，整体元消参.假含参式(即虽有x、y,但并非动点坐标)不 能参与消参议参：儿何直观与参数函数相结合.4. 代入法(也称相关点法、转移法)：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律 已知,(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出P (x, y),用(x, y)表示出相关点P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现耍求两动Illi线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交 点(含参数)的他标，再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到 轨迹方程)，该法经常为参数法并用6. 几何法：指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到 动点的轨迹方程一、定义法【例1】(1) 已知A(2,3),且|PA| = 3,则点P的轨迹是什么?(2) 已知MBC的一•边BC的长为3,周长为8,贝I」顶点A的轨迹是什么？(3) 若 A(l,0), B(5,0),且 — = 则点 M 的轨迹是什么？(4) 过点(2,0)且与兀=—2相切的圆的圆心的轨迹是什么？【例2】己知AABC中，ZA、ZB、ZC的对边分别为a、b、c,若a,c,b依次构成等差数列，一H.a>c>b, AB =2,求顶点C的轨迹方程.解析：如右图，以直线A3为兀轴，线段A3的中点为原点建立直角坐标系.由题意，a,c,b构成等差数列,.•・2c = a十b, 即| CA\ + \CB\=2\AB\=4, X|CB|>|CA|, :. C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，/ = 2," = 1, ^ = 73 ,故C的轨迹方程为—+ ^- = l(x<0,^^-2).【例3】讨论一：一动圆与圆(x + 3)2+r = 4外切，同时与［^102： (x-3)2+y2 =64内切，求动圆圆心的轨迹 方程，并说明它是什么样的曲线。

讨论二 一动圆与圆(x + 3)2 + y2 = 4外切，同时与圆0. (x-3)2 + y2 =16内切，求动圆圆心的轨迹 方程，并说明它是什么样的曲线讨论三：一动圆与圆Q： (x + 3)2 + y2 = 4外切，同时与圆2： (%-3)2 + / =9内切，求动圆圆心的轨迹 方程，并说明它是什么样的曲线练习1］已知圆的方程为x2 + r = 4,动抛物线过点A(-l,0), 3(1,0)，且以圆的切线为准线，求抛物线的 焦点的轨迹方程设切线ax+by-l=0 ,圆心到切线距离等于羽■\a2 + b2=|『设焦点(x , y ),抛物线定义|a?l|a2 + b2(y+l)2+x2=Ra?l|> a2 + b2j(y?l)2+x2=平方相加得：2x2+2+2y2=8 ( a2+l)相减得：4y=16a , a二彳所以2x2+2+2y2=8 ( xi+1)16即：疋+疋二13 4点不能与A , B共线.•.xhO换物线的焦制迹弭^导普=l(x#0)二、直接法(一) 、代入题设中的已知等式若动点的规律山题设中的已知等式明显给出，则采用肓接将数量关系代数化的方法求其轨迹.I pA I【例4】动点P (x,y)到两定点A (-3, 0)和B (3, 0)的距离的比等于2 (即一=2),求动点P的轨迹 丨阳方程。

解析：・・・|刖|= J(x + 3)2+b,| pb |= J(x-3)2 + y2代入= 2得彳"+ 3)二 2 n (x + 3)2 + y2 = 4(x 一 3)2 + 4y2㈣ J(—3)2+y2化简得(x—5) 2+>,2=16,轨迹是以(5, 0)为圆心，4为半径的圆(二)、列出符合题设条件的等式有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出具轨 迹方程.【例5】动点P到一高为〃的等边AABC两顶点久B的距离的平方和等于它到顶点 C的距离平方，求点P的轨迹解析：以C为原点，AB的髙线CQ所在总线为兀轴建立直角朋标系设动点P(x,y),则A (/?,令),)列出等式PA2 + PB2 =PC2 =>(兀一/沪+()，_ 备尸+(兀+)2+0 +务)2 =〒+y2 即：(兀一 2防2+y2 =訓2(三)、运用冇关公式有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点处标，并作和应的恒等变换即得其轨迹方程.【例6】AABC的两顶点是B (—3, 0), (3, 0),两底角B、C之和恒为135 ,求第三顶点A的轨迹方程.yx-3解析：VZB+ZC=135 , .-.ZP=45 , kPB =^—,kPC 兀+ 3y yx-3 x+36y1 +厶丄x2-9+jz2x-3 x + 3代入二直线交角公式电45。

化简得x2+(y+3)2 = 18(y<0) x2+(y-3)2 = 18(y>0),轨迹是两条优弧，B、C两点是轨迹的极限点.(四).借助平儿中的有关定理和性质 有时动点规律的数量关系不明显，这吋可借助平而儿何中的有关定理.性质、勾股定理、乖径定理、中线定理、 连心线的性质等等，从而分析出英数量的关系，这种借助儿何定理的方法是求动点轨迹的重要方法练习2】一条线段AB的长等于2d,两个端点A和B分别在兀轴和y轴上滑动，求 AB中点P的轨迹方程解析：由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM二丄AB =丄x2g = q,2 2・•・J/ +)" = aX2 y2 =a2 ]\4点的轨迹是以O为関心，d为半径的鬪周.三、参数法(一)、坐标定义法【例7】如图，OB是机器上的曲柄，长是r,绕点O转动，AB是连杆，M是AB一点，MA=a, MB=b当 点A在Ox上作往返运动，点B绕找点O作圆运动时，求点M的轨迹方程.则y=M M；再过B作X解析：轴垂线，垂轴为B,过M作BB的垂线交BB于N,于是，x=OM, =OB +B M,由观察可知：线段M M、B M及OB的长度与ZMAO的大小相关，所以设ZMAO= B ,则得曲线的参数方程x = b cos 0 yjr2-(a+b^sin2 0 y = asin0(二) 、配方法当动点是已知方程的圆锥曲线的中心或顶点吋，由丁•圆锥曲线的中心和顶点均可用配方法求得，所以，対此类 问题通常利用配方法求解。

例8】设曲线y2-2x-6ysin^-9cos2& + 8cos& + 9 = 0,当0变化时，求抛物线顶点的轨迹方程解析：因为，将方程配方后就可得抛物线的顶点处标，故将方程配方为：(y-3sin0)2 =2(x-4cos&){y — A COS G~ ,化为普通方程是：—+^- = 1y = 3sin& 16 9(三) 、公式定义法对于可用公式或定义表示的动点的轨迹，我们可以直接利用公式或定义直接表示该动点他标，然后再根据题意 选择参数(确定参数)，求出该曲线的轨迹方程例9】圆宀宀4上有定点A (2,0)和两动点B、C,且恒有0C =彳，求MBC的重心的轨迹方程解析：山重心坐标公式（音工嘗斗知，只要能表示出三角形三顶点的坐标,我们连接BO, CO,那么，其重心的坐标（即动点参数方程）就可求得，如图:[二，故设点 B（2cos&,2sin0）（ 2兀 ）则点C的处标为^2cos（^+y）,2sm^+y）j ,由重心处标公式得轨迹的参数方程:1( ( 2 八x = (2+2cos&+2cos(0+— I1( |y = -l 2sin& +2sini &+（0为参数）化为普通力程是:亍丿丿2)x—— + y3丿•（2 、轨迹为以点一,0为圆心，|为半径的圆。

U丿（四）、交轨法如果动点是儿条iih线的交点或与这儿条曲线的交点的有关，利川求交点（求交点的过程）或设交点坐标，再进 行适当的转化就能求出动点的轨迹方程2 2【例10】已知椭圆—+ ^- = 1,直线1： —+ ^ = 1, P是L上一点，射线OP交椭圆于R,有点Q在OP上,24 16 12 8解析:设Q（x,y）,pG],yJ,R&2』2）由条件||OP|=|OR|2和相似三角形性质,可得:兀=卅且厂必=； 所以，只需解出西，兀2或X，旳代入上式就可得出动点Q的轨迹方程由条件Q，P共线，P在L上,12 8A-2由此解出兀124x2x + 3y;同理解出球=53其轨迹为以点（1, 1）为中心，长轴长2a=V10 ,短轴长2b=Z05的椭圆3y = kx\ 解得)厂=2px2pr,2py=-p即A（孕,丸），同理可得BQpkS—Zpk）.由中点坐标公式,+ pkX = 2 ▲k ,消去ny2 =p(x-2p)f lit即点M的轨迹方程y = -- pkk ”x2 + y?工 o)；代入兀•兀严用，化简就得出q点的轨迹方程l#L+（y—1）2【练习3】过抛物线y2 =2px （ p > 0 ）的顶点0作两条互相垂直的弦04、OB ,求弦AB的中点M的轨 迹方程.解：设M（x,y）f直线Q4的斜率为k伙工0）,则直线OB的斜率为- +.直线OA的方程为尸kx,四、代入法【例11】如图，从双曲线C:x2-y2=\上一点Q引直线/:x+y = 2的垂线，垂足 为N ,求线段QN的中点P的轨迹方程.解：设P（x, y\ 4（兀］,必），则”（2兀一兀］,2）一必）.・・・/V在直线/上，・・・2x-西+2歹一必=2.①乂 PN丄［得上二艺=1,即兀一歹+必一码=o.② X-Xj3x + y — 2联解①②得""——.又点Q在双曲线C上，・・.（3x+y — 2）2—（3y + x — 2）2 ",3y+ x-2 2 2化简整理得：2x2-2/-2x + 2y-l = 0,此即动点P的轨迹方程【练习4】已知双曲线x2-/=2的左、右焦点分別为片，耳，过点耳的动直线与双曲线相交。