高考数学解析几何最值问题常用技巧-分式函数值域问题分类导析（可编辑）.docx

高考数学解析几何最值问题常用技巧-分式函数值域问题分类导析第一篇：高考数学解析几何最值问题常用技巧-分式函数值域问题分类导析 分式函数值域问题分类导析 求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具．本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法． p(x)首先我们给出分式函数的定义：形如f(x)=的函数叫做分式函q(x) 数，其中p(x)、q(x)是既约整式且q(x)的次数不低于一次．下面就p(x)、q(x)的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论． 1. 一次分式函数 p(x)、q(x)的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如ax+bf(x)=,xÎA,c¹0的函数． cx+d 一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成x=f-1(y)，由于xÎA，则f-1(y)ÎA，解出y的取值范围，即函数f(x)的值域． 2x+3例1． 求函数y=，xÎ[3,8]的值域． x- 22y+32y+3£8，解得解：改写成x=，因为xÎ[3,8]，所以3£y-2y-2 1919£y£9，即原函数的值域是[,9]． 66 ２．二次分式函数 p(x)、q(x)至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，ax2+bx+c,xÎA,a、d不全为零的函数． 即形如f(x)=2dx+ex+f 若A=，则可采用根的判别式法求值域． ｛x|dx2+ex+f¹0｝ x2+4x+ 5例２．求函数y=2的值域． x+4x+ 4解：化为关于x的方程(y-1)x2+4(y-1)x+4y-5=0．若ｙ＝１，则方程无解，即y¹1．因为xÎR，所以D³0，解得y³1，即原函数的值域是（1,+¥）． 若AÌ，则再分类讨论． ｛x|dx2+ex+f¹0｝2.1．形如f(x)= c ，xÎA,d¹0且c¹0的函数． 2dx+ex+f 先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数f(x)的值域． 例３．求函数f(x)= ,xÎ[-3,5]的值域． 2 x-2x- 3解：令g(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,xÎ[-3,5]， 1 1则g(x)=[-4,12]，所以函数f(x)的值域是(-¥,-]È[,+¥)． 412 bx+c 2.2．形如f(x)=2，xÎA,d¹0且b¹0(*) dx+ex+f ax2+bx+c 或f(x)=，xÎA,a¹0且e¹0的分式函数． ex+f 下面就形式(*)讨论解法． b 2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以ｘ，得f(x)＝．只要讨论 fdx++e x f 函数g(x)=dx+,xÎA且x¹0的值域． x 不妨设d>0．若f<0，则函数g(x)在(-¥,0)和(0,+¥)上分别是增函数；若f>0，则函数g(x)在(0, ff]和[-,0)上分别是减函数，在dd ff ]上分别是增函数．这样利用函数g(x)的单调性，先[,+¥)和(-¥,-dd 求出g(x)的值域，从而求出函数f(x)的值域． x ,xÎ[1,+¥)的值域． 2 x+2x+414 ,x³1．令g(x)=x+,x³1，则g(x)³4，所以解：f(x)= 4xx++2x1 函数f(x)的值域是(0,]． 6例４．求函数f(x)= 2.2.2．若c¹0，则换元，令t=bx+c，转化为２.２.1．形式的分式函数． x+1 例５．求函数f(x)=2,xÎ(-1,3)的值域． x+2x-3 t1 =,tÎ(0,4)． 解：令t=x+1，则y=2 4t-4 t-t 41 因为t-Î(-¥,3)，所以函数f(x)的值域是(-¥,0)È(,+¥)． t3 ax2+bx+c ,xÎA,a¹0且d¹0的分式函数． 2.3．形如f(x)=2 dx+ex+f 2.3.1．若b=c=0或e=f=0，则分子分母同除以x，转化为求关于的 x 二次函数的值域，从而求出函数f(x)的值域． x21 例６．求函数f(x)=2,xÎ[,1]的值域． x-4x+13111 =,Î[1,3]．因为函数 解：f(x)= 141x2 -+1(-2)-3x2xx 112 g(x)=(-2)-3,Î[1,3]的值域是[-3,-2]，所以函数f(x)的值域是 xx 11 [-,-]． 23 2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设 a(x+m)2 f(x)=2,xÎA,a¹0且d¹0，则可令t=x+m，转化为2.3.1 dx+ex+f 形式的分式函数． x2+4x+4 例７．求函数f(x)=2,xÎ[-1,0]的值域． x+4x+5 t2111 解：令t=x+2，则y=2=,Î[,1]．因为 1t+1t21+2 t 15141+2Î[,2]，所以函数f(x)的值域是[,]． t425 2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即 aeaf (b-)x+c-a，转化为2.2形式的分式函数． f(x)=+ddx2+ex+f x2+4x+5例８．求函数f(x)=2,xÎ[0,2]的值域． x+4x+322 =1+,xÎ[0,2]，解：f(x)=1+2所以函数f(x)的2 x+4x+3(x+2)-1 值域是[ 175 ,]． 153 3．分式函数值域在解析几何中的运用 解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域，掌握了前面的思想方 例９．已知直线l1：y=4x与点P(6,4)l1上求一点Q，使直线PQ与直线l1，以及xl1在第一象限内围成的三角形面积最小． 解：设Q(x0,4x0)，直线PQ的方程 y-4x-6 =是，直线PQ交x轴于点 4x0-4x0-6 5x0 A(,0)．根据题意 x0-1 10 ， 111-(-)2+x024 x0>1，所以SDOAQ 10x02115x0 =|OA|×yQ=××4x0==22x0-1x0-1 x0>1，当x0=2时，SDOAQ的最小值为40，\Q(2,8)． 此题的解法是将DOAQ的面积S表示为Q的横坐标x0的分式函数，运用求分式函数值域的方法，从而求出面积的最小值． 例10．设F 1、F2是椭圆3x2+2y2=6的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，试求△ABF2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB弦的位置． 解：设AB弦所在的直线方程是 y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 SDABF =|F1F2|×|x1-x2|=|x1-x2|． 2 ìy=kx+1 由方程组í2，消去y， 2 î3x+2y=6 得(2k+3)x-4kx-4=0，则x1+x2=21222 k+32k+3 -4k2-448(k2+1)22 \SDABF=(x1+x2)-4x1x2=(2)-4×2=， 22 2k+32k+3(2k+3) 令t=2k2+3,tÎ[3,+¥)， SDABF 24(t-1)112111 ==24[-(-)+],0<£， 2 tt24t3 SDABF当t=3时， 43 有最大值，此时k=0，即AB弦过焦点F1且平行于x轴． 此题的解法是将△ABF2面积的平方表示为k2的二次分式函数，从而求出最大值． 第二篇：二次函数最值问题 《二次函数最值问题》的教学反思 大河镇第二中学 姚朝江 本节课的教学目标是：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数知识解决实际问题中的最值。

会综合运用二次函数和其他数学知识的解决有关面积、利润等函数最值问题，发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活密切联系，了解数学的价值 现象：本节课设置了两个例题，第一个例题是有关利润的问题，第二个例题是有关面积的问题，为了顺利完成任务，我对这节课的内容、任务、进程都具体以时间来分解，其中复习5分钟、新授25分钟、巩固7分钟、作业5分钟、小结3分钟课堂教学“五环节”做到丝丝入扣，但是在实际操作过程中，第一个例题就用了一节课的时间 例题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件 问：销售单价是多少元时，可以获得最多？ 办法：例题的数学是采用了分层设问，逐步突破难点的办法来展开的，先用列方程解应用题的思想，把这个问题当作应用题，列出一个二元二次方程，然后把它转化为二次函数的表达式如：此例可以用下列问题来分层教学： （1）销售量可以表示为 ； （2）销售额可以表示为 ； （3）所获利润可以表示为 ； （4）当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 元； 分析：获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润乘以T恤衫的数量，设销售量单价为x元，则降低了(13.5-x)元，每降低1元，可多售200件，降低（13.5x-x）元，则可多售出200（13.5-x）件，因此，共售出500＋200（13.5-x） 第 1 页 共 2 页 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。

把问题转化怎样求这个函数的最值问题 b4ac-bb4ac-b根据a>0时，当x=－，y最小＝；a 10 / 10。