超限归纳法-详解.docx

超限归纳法-详解 目录 1 什么是超限归纳法 2 超限归纳的分析 3 同选择公理的联系 4 相关条目什么是超限归纳法　　超限归纳法是数学归纳法的形式之一，可以应用于(大的)良序集，比如说应用到序数或基数，甚至于所有有序的集是向(大)良序集合比如基数或序数的集合的扩展　　超限归纳法可用於证明一个函数P在所有序数中成立：　　基础：证明 P(0) 成立；　　归纳：证明对于任何一个序数 b，如果 P(a) 在所有序数 a

那么超限归纳告诉我们P对于所有序数为真　　就是说，如果P(α)为真只要P(β)对于所有β<α为真，则P(α)对于所有α为真或者更实用的说:为了证明对于所有序数α的一个性质P，你可以假定它已经对于所有更小β<α是已知的　　通常证明被分为三种情况: 零情况:证明P(0)为真 后继情况:证明对于任何后继序数β1，P(β1)得出自P(β) (如果必需的话，证明P(α)对于所有α<β)极限情况:证明对于任何极限序数λ, P(λ)得出自[P(α)对于所有α<λ]　　注意第二和第三种情况是同一的，除了对于所考虑的序数类型不同之外它们不是必须在形式上分开证明，但在实践中它们的证明典型的非常不同而需要分别表述　　超限递归是密切相关于超限归纳概念的构造或定义某种东西的方法例如，集合序列Aa被定义于所有的序数α，通过指定三个事情: A0是什么 如何确定Aa1自Aa (也可能从整个序列达到Aa) 对于极限序数λ，如何确定Aλ从Aa的对于α<λ的序列　　更形式的说，陈述超限递归定理如下给定函数类G1,G2,G3，存在一个唯一的超限序列F带有dom(F)=Ord(Ord是所有序数的真类)使得 F(α+1) = G2(F(a))，对于所有 F(α) =)，对于所有极限　　注意我们要求G1,G2,G3的定义域足够广阔来使上述性质有意义。