概率论课件 数学期望.ppt

引例(分赌本问题) 17世纪中叶,一位赌徒向法国数学家帕斯卡(1623-1662)提出一个使他苦恼长久的分赌本问题:甲,乙两赌徒赌技相同,各出赌注50法郎,每局中无平局.他们约定,谁先赢三局,则得全部赌本100法郎.当甲赢了两局,乙赢了一局时,因故要终止赌博.问这100法郎如何分才算公平? 显然,平均分对甲不公平,而全部归甲对乙不公平.合理的分法应是:按一定比例,甲多分些,乙少分些.但按怎样的比例呢?有两钟分法: (1)甲得100法郎中的2/3,乙得100法郎中的1/3.这是基于已赌局数:甲赢了两局,乙赢了一局. (2)帕斯卡进行了分析:设想再赌下去,则甲最终所得X为一个随机变量,其可能取值为0或100.2.4 随机变量的 数学期望而即 XP0 1000.25 0.75帕斯卡认为:甲的”期望”所得为, 即甲得75法郎,乙得25法郎.这种分法不仅考虑了已赌局数,而且还包括了对再赌下去的结果的一种”期望”,分法更合理. 这就是”数学期望”这个名称的由来.从其计算方法来看,将其称为均值也很恰当,即再赌下去的话,甲平均可以赢75法郎.一、离散型随机变量的数学期望若级数 绝对收敛,则称其和为随机变量X的数学期望 则称X的数学期望不存在.如果级数 不绝对收敛, (或均值),记做E(X)，即 定义1 设离散型随机变量X的分布律为 , k=1，2，5 例1 一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等产品,就能创造5元财富;如果生产出一件乙等品,就创造3元 财富;如果生产出一件废品,则浪费2元.已知这台机器生产 甲等品、乙等品和废品的概率分别为0.6,0.3和0.1.问这台机器生产一件产品平均能创造多少财富？解 以X表示这台机器“每生产一件产品所创造的财富”,则X的分布律为0.1 0.3 0.6XP2 3 5即这台机器每生产一件产品平均能创造3.7元的财富。

故注 并非任何一个随机变量X的数学期望都存在.7是收敛的，但所以数学期望不存在.则虽然级数例2 设离散型随机变量X的概率分布为常用离散型随机变量的数学期望常用离散型随机变量的数学期望E E( (X X) )1. 01分布则 E(X)=0(1p)+1 p =p2. 二项分布即随机变量XB(1,p).Xp0 11p p其分布律为即随机变量X B(n, p). 其分布律为则3. 泊松分布即随机变量X P(). 其分布律为则4. 超几何分布即随机变量X H(n,M,N).其分布律为其中 l=minM,n;MN;nN. 则5. 几何分布设随机变量X服从参数为 p的几何分布，令利用幂级数逐项微分的方法可得二、连续型随机变量的数学期望如果积分 不绝对收敛, 则称X的数学期望不存在.例3 若随机变量X服从拉普拉斯分布,其密度函数为试求E(X).定义 设连续型随机变量X的概率密度函数为 ,如果广义积分 绝对收敛,则称为随机变量X的数学期望(或均值),记作E(X), 即 解1.均匀分布设随机变量XU(a, b).其密度函数为常用连续型随机变量的数学期望常用连续型随机变量的数学期望E E( (X X): ):试求E(X).解2. 指数分布设随机变量X服从参数为的指数分布. 其密度函数为则3. 正态分布若随机变量 XN(, 2). 其密度函数为则三、随机变量函数的数学期望+-=dxxfxgXgEYE)()()()(定理 设Y是随机变量X的函数： ,其中g是连续函数.(1) 若X是离散型随机变量,分布律为且 绝对收敛,则 (2) 若X是连续型随机变量,概率密度为 ,且 绝对收敛,则求随机变量Y=X2的数学期望解YPk1 0 XPk1 0 1例4 设随机变量X的分布律为解 X的概率密度函数为例5 设随机变量X服从均匀分布 试求的数学期望E(Y).所以 例6 假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是一个随机变量X(单位:吨),它服从2000，4000上的均匀分布.已知每出售一吨该商品,就可以赚得外汇3万美元,但若销售不出,则每吨需仓储费1万美元.外贸部门每年应组织多少货源,才能使收益最大？解 X的概率密度函数为 记 为组织的货源数量,Y为收益(单位:万美元),则所以Y的数学期望(即平均收益)为 故当t=3500时平均收益E(Y)达到最大,即外贸部门应组织3500吨该种商品,才能使收益最大.令得到唯一驻点 t=3500.四、数学期望的性质性质1 设C为常数,则证 将C看作一个离散型随机变量X,它只可能取得一个值C,显然按照数学期望的定义 性质2 设X是随机变量,C为常数,则 证 对于离散型随机变量X,设其分布律有对于连续型随机变量X, 设其密度函数为 ,有。