函数的凹凸性与拐点.ppt

函数的函数的凹凸凹凸性及性及拐点拐点axyoββaoxy(1)(1)(2)观察图观察图1、、2中的两条曲线中的两条曲线图图1中的曲线是向下鼓鼓地增，而图中的曲线是向下鼓鼓地增，而图2中的曲线是向上鼓鼓地增中的曲线是向上鼓鼓地增 看看函数看看函数y=f(x)的导数有什么变化？的导数有什么变化？ x1x2x1x2y=f(x)y=f(x)axyoβ(3)观察图观察图3、、4中的两条曲线中的两条曲线axyoβ(4)图图3中的曲线是向下鼓鼓地减，而图中的曲线是向下鼓鼓地减，而图4中的曲线是向上鼓鼓地减中的曲线是向上鼓鼓地减 看看函数看看函数y=f(x)的导数有什么变化？的导数有什么变化？ x1x2x1x2定义定义1: 设函数设函数y=f(x)在某区间在某区间I内可导内可导;若若f `(x)在区间在区间I内是递增的，则曲线内是递增的，则曲线y=f(x)在在I内是凹的内是凹的 区间区间I称为凹区间，用符号称为凹区间，用符号“∪∪”表示若若f `(x)在区间在区间I内是递减的，则曲线内是递减的，则曲线y=f(x)在在I内是凸的内是凸的 区间区间I称为凸区间，用符号称为凸区间，用符号“∩”表示。

表示定义定义2: 设函数设函数y=f(x)在某区间在某区间I内连续，则曲线内连续，则曲线y=f(x) 在在I内的凹凸分界点称为曲线内的凹凸分界点称为曲线y=f(x)的拐点 xyo例例1. 考察考察 在在R上的凹凸性如右图：上的凹凸性如右图： 定理定理1. 设函数设函数y=f(x)在某区间在某区间I内具有二阶导数内具有二阶导数 1)、若、若y=f〞 (x)>0 ，则曲线，则曲线y=f(x)在区间在区间I内是凹的内是凹的 2)、若、若y=f〞 (x)<0 ，则曲线，则曲线y=f(x)在区间在区间I内是凸的内是凸的 xyo在凹凸区间的分界点（0,0）即拐点 定理2：（拐点的必要条件），若函数y=f(x)在x0处二阶导数存在，且点(x0 ,f (x0 ))为曲线y=f(x)的拐点，则f 〞(x)=0.定理3:（充分条件）若f 〞(x)=0 ，且在x0两侧变号， 则点(x0 ,f (x0 ))是曲线的拐点求曲线拐点的步骤：1)，求f(x)的定义域;2)，求f `(x) , f 〞 (x);3),求f 〞 (x)=0的点或f 〞 (x)不存在的点;4),判断f 〞 (x)在以上点左右两侧的符号变化，从而确定拐点。

x2f 〞(x)0f(x)n拐点u+-(-∞,2)。