3圆锥曲线的性质与结论-简单难度-讲义.pdf

读万卷书 行万里路 1 圆锥曲线的性质圆锥曲线的性质 与结论与结论 知识讲解知识讲解 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1.1.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 位置关系：相交、相切、相离 判定条件：设直线l：0AxByC++=，椭圆方程C：()0f xy =，，由 0 ()0 AxByC f xy ++= = ， 消去y（或消去x）得： 2 0axbxc++= 2 4bac =， 0 相交，直线与椭圆有两个交点； 0相离，直线与椭圆无交点； 0 =相切，直线与椭圆有一个交点 2.2.直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系 位置关系：相交、相切、相离； 对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切； 判定条件：设直线l：0AxByC++=，双曲线C：()0f xy =，，由 0 ()0 AxByC f xy ++= = ， 消去y（或消去x）得： 2 0axbxc++= 若0a ， 2 4bac =， 0 相交，直线与双曲线有两个交点； 0相离，直线与双曲线无交点； 读万卷书 行万里路 2 0 =相切直线与双曲线有一个交点 若0a =，得到一个一次方程，与双曲线相交，有一个交点，l与双曲线的渐近线平行 3.3.直线与抛物线的直线与抛物线的位置关系位置关系 位置关系：相交、相切、相离 对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切； 判定条件：设直线l：0AxByC++=，抛物线C：()0f xy =，，由 0 ()0 AxByC f xy ++= = ， 消去y（或消去x）得： 2 0axbxc++= 若0a ， 2 4bac =， 0 相交； 0相离； 0 =相切 若0a =，得到一个一次方程，与抛物线相交，有一个交点，l与抛物线的对称轴平行 4.4.圆锥曲线的圆锥曲线的弦弦：：连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦 求弦长方法： 1）将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来 求； 2）如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为 1122 () ()xyxy，，，，则弦 长公式为 2 2 1212 1 ||11ABkxxyy k =+=+ 两根差公式：如果 12 xx，满足一元二次方程： 2 0axbxc++=， 则 2 2 2 121212 4 ()44 bcbac xxxxx x aaaa =+=== （0 ） 注意： （1）讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消 元（x或y） ，若消去y得到 2 0axbxc++=，讨论根的个数得到相应的位置关系，这里要注 意的是： 二次项系数a可能有0a =或0a 两种情况，只有当0a ，才能用判断根的个数； 直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但有一个公共点不一定相切 （2）在讨论直线与双曲线的交点时，要注意数形结合的方法，结合图象作出判断有时更方 便快捷，要注意双曲线的渐近线的斜率，以及直线与渐近线的斜率比较 （3）当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长；涉 读万卷书 行万里路 3 及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起 来，相互转化 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 王新敞 特级教师 源头学子小屋 新疆 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就 能事半功倍 二、圆锥曲线的常用结论 1.1.椭圆椭圆 1）点P处的切线PT平分 12 PFF在点P处的外角. 2）PT平分 12 PFF在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3）以焦点半径 1 PF为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 4）若 000 (,)P x y在椭圆 22 22 1 xy ab +=上，则过 0 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x xy y ab +=. 5）若 000 (,)P x y在椭圆 22 22 1 xy ab +=外 ，则过 0 P作椭圆的两条切线切点为 1 P、 2 P，则切点 弦 12 PP的直线方程是 00 22 1 x xy y ab +=. 6）椭圆 22 22 1 xy ab += (0)ab的左右焦点分别为 1 F， 2 F，点P为椭圆上任意一点 12 FPF=，则椭圆的焦点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF Sb =. . 7）椭圆 22 22 1 xy ab +=(0)ab的焦半径公式： 10 ||MFaex=+, , 20 ||MFaex=( ( 1( ,0)Fc ，， 2( ,0) F c，， 00 (,)M xy).). 8）AB是椭圆 22 22 1 xy ab +=的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为AB的中点，则 2 2 OMAB b kk a = ，即 0 2 0 2 ya xb KAB=。

9 ） 若 000 (,)P x y在 椭 圆 22 22 1 xy ab +=内 ， 则 被 0 P所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 22 0000 2222 x xy yxy abab +=+. 读万卷书 行万里路 4 10 ） 若 000 (,)P x y在 椭 圆 22 22 1 xy ab +=内 ， 则 过 0 P的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 22 00 2222 x xy yxy abab +=+. 2.2.双曲线双曲线 1）点P处的切线PT平分 1 PFF2在点P处的内角. 2）PT平分 1 PFF在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3）以焦点半径 1 PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在 左支） 4）若 000 (,)P x y在双曲线 22 22 1 xy ab =(0,0)ab上，则过 0 P的双曲线的切线方程是 00 22 1 x xy y ab =. 5）若 000 (,)P x y在双曲线 22 22 1 xy ab =(0,0)ab外 ，则过 0 P作双曲线的两条切线切点为 1 P、 2 P，则切点弦 12 PP的直线方程是 00 22 1 x xy y ab =. 6）双曲线 22 22 1 xy ab =(0,0)ab的左右焦点分别为 1 F， 2 F，点 P 为双曲线上任意一点 12 FPF=，则双曲线的焦点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF b S =. 7）双曲线 22 22 1 xy ab =(0,0)ab的焦半径公式：( ( 1( ,0)Fc , , 2( ,0) F c) ) 当 00 (,)M xy在右支上时， 10 ||MFexa=+, , 20 ||MFexa=. . 当 00 (,)M xy在左支上时， 10 ||MFexa= , , 20 ||MFexa= + 8）AB是双曲线 22 22 1 xy ab =(0,0)ab的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为AB的中点， 则 0 2 0 2 ya xb KK ABOM =，即 0 2 0 2 ya xb KAB=。

9）若 000 (,)P x y在双曲线 22 22 1 xy ab =(0,0)ab内，则被 0 P所平分的中点弦的方程是 读万卷书 行万里路 5 22 0000 2222 x xy yxy abab =. 10）若 000 (,)P x y在双曲线 22 22 1 xy ab =(0,0)ab内，则过 0 P的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 x xy yxy abab =. 3.3.抛物线抛物线 1）基本性质 标准方程： 2 2(0)ypx p= 焦点：0 2 p ， 通径：2ABp= 准线： 2 p x = ； 焦半径： 1 2 p CFx=+， 过焦点弦长： 1212 22 pp CDxxxxp=+++=++， 2 2 1212 4 p x xy yp== ， 2）抛物线切线性质 性质 1： 过抛物线一弦AB的中点平行于对称轴的直线与抛物线交于点P， 若过P的切线为 PT，则PT/ / AB 性质 2：过抛物线上一点P的切线交其对称轴于点T，则PFTF= 性质 3：过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上 性质 4：过抛物线的准线上任一点所作的两条切线必须相互垂直 性质 5：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 性质 6：切线交点与弦中点连线平行于对称轴 性质 7：过抛物线准线上的一点引抛物线的两条切线，则准线上这点与焦点连线与准线的夹 角被切线平分 性质 8：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径 性质 9：从抛物线的焦点向它的任意切线作垂线，则其垂足必在抛物线顶点的切线上 性质 10：过抛物线的焦点作直线与抛物线的任意切线垂直，则此直线与准线的交点和切线 的连线必平行于此抛物线的对称轴 性质 11：抛物线的三切线围成的三角形的垂心必在准线上 读万卷书 行万里路 6 3）抛物线焦点弦性质 已知：AB过焦点，Q为AB的中点， 1122 ( ,), (,)A x yB x y 性质 1：AQBQ以AB为直径的圆与准线相切于Q 性质 2：A FB F 性质 3：Q FAB 性质 4：Q B垂直平分B F，Q A垂直平分A FAQ平分A AF，BQ平分B BF 性质 5： 2 Q FAF BF= 性质 6： 2 2 1212 , 4 p x xy yp== 性质 7： 2 minQ AB Sp= 性质 8：以,AF BF为直径的圆分别与y轴相切 性质 9：AB过原点O，A B过原点O 性质 10：过A点作AO并延长交准线于B，则BB平行于x轴 性质 11： 1 cos p AF = ;() 1 cos p BFAFx == + 112 ; AFBFp += 12 2 2 sin p ABxxp =++= 2 2sin ABC p S = 性质 12： 2 4A BAF BF= 读万卷书 行万里路 7 经典例题经典例题 一选择题（共 9 小题） 1 （2016 秋周村区校级期末）直线与双曲线 x 2y2=1 仅有一 个公共点，则实数 k 的值为（ ） A1 B1 C1 或1 D1 或1 或 0 2 （2016 秋永昌县校级期末）直线 y=x+3 与曲线=1（ ） A没有交点 B只有一个交点 C有两个交点 D有三个交点 3 （2015 秋长安区校级期末）过原点的直线 l 与双曲线 y 2x2=1 有两个交点， 则直线 l 的斜率的取值范围为（ ） A （1，1） B （，1）（1，+） C （1，0）（0，1） D 4 （2016 春宜春校级月考）过点 M（1，3）作直线 l，与抛物线 y 2=4x 只有一个 公共点，满足条件的直线有（ ） A0 条 B1 条 C2 条 D3 条 读万卷书 行万里路 8 5 （2017 秋林芝县校级期末）椭圆+=1，以下选项正确的是（ ） Aa=5，b=4，c=3 Ba=4，b=5，c=3 Ca=3，b=5，c=4 Da=5，b=3，c=4 6 （2018新课标）已知椭圆 C：+=1 的一个焦点为（2，0） ，则 C 的离心 率为（ ） A B C D 7 （2018武汉模拟）曲线=1 与曲线=1（k9）的（ ） A长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等。