弹性力学-03讲义.ppt

第三章 平面问题的直角坐标解答,要点,—— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题§3-1 多项式解答,§3-2 位移分量的求出,§3-3 简支梁受均布载荷,§3-4 楔形体受重力和液体压力,§3-5 级数式解答,§3-6 简支梁受任意横向载荷,主 要 内 容,§3-1 多项式解答,适用性：,由一些直线边界构成的弹性体目的：,考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ，能解决什么样的力学问题——逆解法,其中： a、b、c 为待定系数检验φ(x,y) 是否满足双调和方程：,显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数1）,1. 一次多项式,（2）,（3）,对应的应力分量：,若体力：X = Y =0，则有：,结论1：,,（1）,（2）,一次多项式对应于无体力和无应力状态；,在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响2. 二次多项式,（1）,其中： a、b、c 为待定系数假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0),检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有,（2）,,(可作为应力函数 ),（3）,由式（2-26）计算应力分量：,,2c,2c,2a,2a,,结论2：,二次多项式对应于均匀应力分布。

试求图示板的应力函数例：,,3. 三次多项式,（1）,其中: a、b、c 、d 为待定系数检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有,（2）,,(可作为应力函数 ),(假定：X =Y = 0),（3）,由式（2-26）计算应力分量：,结论3：,三次多项式对应于线性应力分布讨论：,可算得：,图示梁对应的边界条件：,,可见：,—— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布常数 d 与弯矩 M 的关系：,(1),由梁端部的边界条件：,,(2),,,,,,可见：此结果与材力中结果相同，,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的说明：,(1),组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的2),若按其它形式分布，如：,则此结果不精确，有误差；,但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小3),当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大4. 四次多项式,（1）,检验φ(x,y) 是否满足双调和方程,（2）,,代入：,得,,可见，对于函数：,其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：,（3）,应力分量：,,—— 应力分量为 x、y 的二次函数4）,特例：,,（须满足：a + e =0）,总结：,（多项式应力函数 的性质）,（1）,多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 。

多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多2）,一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力3）,（4）,用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法按应力求解平面问题，其基本未知量为： ，下一步如何由 求出形变分量、位移分量？,问题：,（注: 逆解法只能解决简单直线应力边界等问题）弹性力学平面问题的基本方程,前面内容要点回顾：,按位移求解平面问题的基本方程,按应力求解平面问题的基本方程,常体力下可以简化：,,应力函数法求解平面问题的基本步骤,（常体力情形）,应力函数的求解方法：,（1）逆解法；,（2）半逆解法1）逆解法：,—— 多项式解答,多项式应力函数 的性质：,（1）,多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 。

多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多2）,一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力3）,（4）,用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法—— 只能解决简单直线应力边界问题,应力函数的求解方法：,（1）逆解法；,（2）半逆解法二次多项式：,其中： a、b、c 为待定系数结论2：,二次多项式对应于均匀应力分布三次多项式：,其中: a、b、c 、d 为待定系数结论3：,三次多项式对应于线性应力分布表明：该应力函数可解决梁的纯弯曲问题课堂练习：,1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y) 2. z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示不计自重，试确定其应力分量1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y) 1),(2),(3),解：,(1),将其代入相容方程，有,,满足相容方程，φ1可作为应力函数2),将其代入相容方程，有,,不满足相容方程，φ2不可作为应力函数。

1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y) 1),(2),(3),解：,(3),将其代入相容方程，有,,当D = 0时，满足相容方程，φ3可作为应力函数；,当D≠0时，不满足相容方程，φ3不可作为应力函数1）,（2）,2. z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示不计自重，且 h b试确定其应力分量解：,1 确定应力函数,2 确定应力分量,,3 由边界条件确定待定常数,,,,代入得：,,,上端：,—— 满足,左右侧：,—— 满足,下端：,（3）,（4）,—— 满足,,（2）半逆解法：,—— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法半逆解法思路：,位移分量求解：,（1）,将已求得的应力分量,（2）,（3）,代入物理方程，求得应变分量,将应变分量,代入几何方程，并积分求得位移分量,表达式；,由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果§3-2 位移分量的求出,以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？,1. 形变分量与位移分量,由前节可知，其应力分量为：,,平面应力情况下的物理方程：,（1）形变分量,(a),将式（a）代入得：,,(b),（2）位移分量,将式（b）代入几何方程得：,(c),,,,将式（c）前两式积分，得：,,(d),将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：,整理得：,（仅为 x 的函数）,（仅为 y 的函数）,要使上式成立，须有,,(e),式中：ω为常数。

积分上式，得,,将上式代入式（d），得,,(f),,（1）,(f),讨论：,式中：u0、v0、ω 由位移边界条件确定当 x = x0 =常数,—— u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角说明： 同一截面上的各铅垂线段转角相同横截面保持平面,—— 材力中“平面保持平面”的假设成立2）,说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同即,—— 材料力学中挠曲线微分方程,2. 位移边界条件的利用,（1）两端简支,其边界条件：,将其代入(f)式，有,,将其代回(f)式，有,,(3-3),,梁的挠曲线方程：,—— 与材力中结果相同,（2）悬臂梁,边界条件,,由式（f）可知，此边界条件无法满足边界条件改写为：,,（中点不动）,（轴线在端部不转动）,,代入式（f），有,可求得：,,,(3-4),挠曲线方程：,与材料力学中结果相同,说明：,（1）,求位移的过程：,（a）将应力分量代入物理方程,（b）再将应变分量代入几何方程,（c）再利用位移边界条件，确定常数2）,若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换3）,若取固定端边界条件为：,,（中点不动）,得到：,求得：,,此结果与前面情形相同为什么？）,位移分量求解：,（1）,将已求得的应力分量,（2）,（3）,代入物理方程，求得应变分量,将应变分量,代入几何方程，并积分求得位移分量,表达式；,由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。

1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(2-26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）按应力求解平面问题的基本步骤：,,按应力求解平面问题的方法：,,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式 ；,（2）,根据 与应力函数φ(x,y)的关系及 ，求出φ(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件—— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法半逆解法,§3-3 简支梁受均布载荷,要点,—— 用半逆解法求解梁、长板类平面问题1. 应力函数的确定,(1),分析：,—— 主要由弯矩引起；,—— 主要由剪力引起；,——由 q 引起（挤压应力）又∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，∴ 不随 x 变化推得：,(2),由应力分量表达式确定应力函数 的形式：,积分得：,,(a),(b),—— 任意的待定函数,(3),由 确定：,,代入相容方程：,方程的特点：,关于 x 的二次方程，且要求 －l≤ x ≤ l 内方程均成立。

由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零即：,对前两个方程积分：,,(c),此处略去了f1(y)中的常数项,对第三个方程得：,积分得：,(d),,(c),(d),将(c) (d) 代入 (b) ，有,(e),,式中含有9个待定常数e),2. 应力分量的确定,(f),(g),(h),,3. 对称条件与边界条件的应用,（1）对称条件的应用：,由 q 对称、几何对称：,—— x 的偶函数,—— x 的奇函数,,由此得：,,要使上式对任意的 y 成立，须有：,,（2）边界条件的应用：,(a) 上下边界（主要边界）：,,,,,由此解得：,,代入应力公式,( i ),( j ),( k ),,(b) 左右边界（次要边界）：,（由于对称，只考虑右边界即可—— 难以满足，需借助于圣维南原理静力等效条件：,,轴力 N = 0；,弯矩 M = 0；,剪力 Q = －ql；,,,,,,可见，这一条件自动满足p),截面上的应力分布：,,4. 与材料力学结果比较,材力中几个参数：,截面宽：b=1 ,,截面惯矩：,静矩：,弯矩：,剪力：,将其代入式 ( p ) ，有,,,（3-6）,比较，得：,（1）,第一项与材力结果相同，为主要项。

第二项为修正项当 h / l1，该项误差很小，可略；当 h / l较大时，须修正2）,为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑3）,与材力中相同注意：,按式（3-6），梁的左右边界存在水平面力：,说明式（3-6）在两端不适用解题步骤小结：,（1）,（2）,（3）,根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形式由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）4）,（5）,将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确定 中 的待定函。